제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

1. 연립방정식과 행렬

 행렬은 다원일차연립방정식을 간결하게 나타내는 데 효과적으로 쓰임

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

 행렬A는 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며, 열벡터 R이 AR=B를 만족시키고

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

2. 크레머의 공식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

3. 크레머의 공식을 이용한 역행렬계산

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제2절 연립일차방정식과 행렬식

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

1. 가우스-조던 소거법의 원리

 연립일차방정식의 해는 크레머의 공식을 이용하여 구할 수도 있지만, 미지변수의 수가 방정식의 개수보다 많을 수도 있는 보다 일 반 적 인 연 립 일 차 방 정 식 은 가 우 스 - 조 던 (Gauss-Jordan) 의 소거법(elimination)을 많이 이용한다.

 연립방정식을 만족하는 해를 라 할 때 각각의 일차방 정식에 0이 아닌 상수를 곱하거나, 각 방정식의 위치를 뒤바꾸거 나 또는 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하여 다른 식에 더하거나 빼더라도 연립방정식의 해인 의 값에는 변함이 없음

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

 가우스-조던 소거법은 이 원리를 이용하여 연립방정식의 형태를

과 같이 변환시켜 을 구하고자 하는 기법임

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

2. 미지변수의 개수가 방정식 개수보다 많은 경우

 미지변수의 개수가 일차방정식의 개수보다 많은 경우에는 일반적 으로 수없이 많은 해가 존재

 일차방정식의 수가 미지변수의 수보다 적기 때문에 가우스-조던 소거법을 더 이상 적용하기는 어려움. 기저변수(basic variable)와 비기저변수(non-basic variable) 개념 이용.

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

3. 역행렬의 도출

 AX=B의 해가 존재하는 경우 가우스-조던 소거법을 적용하면

I_nX=B’의 형태가 된다. AX가 I_nX로 변했다는 것은 곧 A^-1에 AX를 곱해 준 결과로 해석할 수 있는데, 이는 다시 B’= A^-1 B 임을 의미

B’= (A^-1I_n) B

 행렬 A 옆에 I_n을 추가한 뒤 전체에 가우스-조던 소거법을 적용하여 A 를 I_n으로 변환시키면 I_n은 A^-1이 됨

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

3. 역행렬의 도출

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

4. 추축연산법

 일반적으로 n x n행렬 A의 0이 아닌 원소 a_ij 에 대하여 추축연산을 하고자 할 때, a_ij 를 추축원소, i 행을 추축행이라 하고, j 열을 추축 열이라고 부르며 다음의 규칙에 따라 변환된다.

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제3절 가우스-조던 소거법과 역행렬

4. 추축연산법