행렬과 행렬식

 10장

행렬과 행렬식

• 행렬(matrix)

• 데이터의 저장을 위해 m개의 행과 n개의 열로 구성된 데이터 구조

• a_ij는 행렬의 i번째 행, j번째 열의 값을 의미하고, ij-항 또는 ij-성분이 라고 말함

• 행렬의 크기는 행의 개수 m과 열의 개수 n의 곱하기로 표현(mⅹn)

1. 행렬과 행렬의 연산

행렬

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1 a_i2 … a_in

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn A =

←1행

←2행

←i행

←m행

↑ 1

↑ 2

↑ n열

a₁₁ a₁₂ … a_1n

1행

a₁₁ a₂₁

⋮

a_i1

⋮

a_m1

1 열

• 행 벡터(row vector)와 열 벡터(column vector)

• 단일 행을 갖는 행렬은 행 벡터, 단일 열을 갖는 행렬은 열 벡터라고 말함

• 정방 행렬(square matrix)

• nⅹn 행렬, 즉 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬

• n개의 행과 열을 갖는 정방 행렬을 n차 정방 행렬(square matrix of order n)이라고 말함

• 행과 열의 첨자가 같은 요소들의 나열을 주 대각선(main diagonal) 이라고 말함

1. 행렬과 행렬의 연산

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1 a_i2 … a_in

⋮

a_n1 a_n2 … a_nn A = ^주대각선

n차 정방행렬

• 행렬의 합

• 크기가 같은 두 행렬의 합은 대응하는 항의 값을 더함

• 즉, mⅹn 행렬 A와 B가 있을 때, 행렬 A와 B이 합은 행렬 A의 a_ij와 행렬 B의 b_ij의 합으로 결정함

• 행렬의 차

• 모든 조건은 행렬의 합과 동일하고, 다만 행렬 A의 a_ij와 행렬 B의 b_ij 의 차로 결정함

1. 행렬과 행렬의 연산

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1 a_i2 … a_in

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn A=

b₁₁ b₁₂ … b_1n b₂₁ b₂₂ … b_2n

⋮ ⋮ ⋮

b_i1 b_i2 … b_in

⋮ ⋮ ⋮

b_n1 b_n2 … b_nn B=

a₁₁±b₁₁ a₁₂±b₁₂ … a_1n±b_1n a₂₁±b₂₁ a₂₂±b₂₂ … a_2n±b_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1±b_i1 a_i2±b_i2 … a_in±b_in

⋮ ⋮ ⋮

a_n1±b_n1 a_n2±b_n2 … a_nn±b_nn A±B=

행렬의 합과 스칼라 곱

• 행렬의 스칼라 곱(scalar multiplication)

• k가 실수 값이고, 행렬 A가 있을 때 k∙A=k∙a_ij(단, a_ij는 행렬 A를 구성 하는 모든 항)를 행렬에 대한 스칼라 곱이라고 말함

• 행렬의 법칙(단, 행렬 A, B, C의 크기는 같고, c는 스칼라 값임)

• 덧셈의 교환 법칙 : A+B=B+A

• 덧셈의 결합 법칙 : (A+B)+C=A+(B+C)

• 덧셈의 항등 법칙 : A+O=O+A(단, 행렬 O는 덧셈의 항등 행렬)

• 덧셈의 역원 : A+(-A)=(-A)+A=O(단, 행렬 O는 덧셈의 항등 행렬)

• 스칼라 곱의 배분 법칙 : c(A+B)=cA+cB

• 스칼라 곱의 배분 법칙 : (c+d)A=cA+dA

1. 행렬과 행렬의 연산

1 -2 3 0 4 5

A= 4 6 8 1 -3 -7

B= 2A-3B= 1 -2 3 0 4 5

2 4 6 8 1 -3 -7 - 3

-10 -22 -18 -3 17 31

=

• 행렬의 곱(multiplication)

• 2개의 행렬 A와 B가 존재하고, A=[a_ij]는 mⅹn, B=[b_ij]는 nⅹp의 크 기를 가질 때, 두 행렬 A와 B의 곱 C=[c_ij]는 다음과 같이 정의되는 크 기 mⅹp의 행렬임

1. 행렬과 행렬의 연산

행렬의 곱

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1 a_i2 … a_in

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn A=

b₁₁ b₁₂ b_1j … b_1p b₂₁ b₂₂ b_2j … b_2p

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

b_n1 b_n2 b_nj … b_np B=

c₁₁ c₁₂ … c_1p c₂₁ c₂₂ … c_2p

⋮ ⋮ ⋮

c_i1 c_i2 … c_ip

⋮ ⋮ ⋮

c_m1 c_m2 … c_mp AⅹB=

1. 행렬과 행렬의 연산

• 행렬의 곱 예제

• 다음 두 행렬 A와 B를 곱할 수 있는지 우선 판별하고, 곱할 수 있다면 곱한 결과의 2번째 행의 값을 구하라.

2 4 -1 -1 3 3 4 -2 1 -3 0 2 A=

4 -2 -2 1 3 -1 B=

두 행렬의 곱이 가능한지를 알기 위해 서는 두 행렬의 크기를 먼저 봐야 하 는데 행렬 A는 4ⅹ3 행렬이고, 행렬 B는 3ⅹ2 행렬이므로 앞의 행렬의 열 의 크기와 뒤의 행렬의 행의 크기가 일 치하므로 곱이 가능함

2 4 -1 -1 3 3 4 -2 1 -3 0 2

A

4 -2 -2 1 3 -1

B

-3 1 -1 2 23 -11

-6 4

ⅹ =

AⅹB 2ⅹ4+4ⅹ(-2)+(-1)ⅹ3 = -3

1. 행렬과 행렬의 연산

• 행렬의 법칙(단, 행렬 A와 B는 크기가 같고, c는 스칼라 값임)

• 곱셈의 교환 법칙 : AⅹB≠BⅹA

• 곱셈이 성립하기 위해서는 곱해지는 두 행렬 중 앞의 행렬의 열의 수와 뒤의 행렬의 행의 수가 일치해야 하는데 행렬 A가 3ⅹ4 행렬이고, 행렬 B가 4ⅹ2 행렬이라면 AⅹB는 가능하지만 앞뒤를 교환한 BⅹA는 4ⅹ2와 3ⅹ4이므로 앞의 행렬의 열의 수와 뒤의 행렬의 행의 수가 일치하지 않음

• 단, 동일한 크기의 두 정방 행렬이라면 곱셈의 교환 법칙이 성 립함

• 3ⅹ3 행렬과 3ⅹ3 행렬은 곱셈이 가능하고, 결과도 3ⅹ3 행렬이 되고, 4ⅹ4 행렬과 4ⅹ4 행렬은 곱셈이 가능하고, 결과도 4ⅹ4 행렬이 됨

• 곱셈의 결합 법칙 : A(BC)=(AB)C

• 왼쪽 배분 법칙 : A(B+C)=AB+AC

• 오른쪽 배분 법칙 : (B+C)A=BA+CA

• 스칼라 곱 : kAB=(kA)B=A(kB)

• 행렬 곱셈의 항등식 : I_nA=A=AI_n

• 대각 행렬(diagonal matrix)

• nⅹn 정방 행렬에서 주 대각선을 제외한 모든 항의 값이 0인 경우 대 각 행렬이라고 말함

• 대각 행렬에서 주 대각선 위의 모든 항을 대각항이라고 하고, 대각항 의 합을 대각합(trace)이라고 함

• 대각 행렬 A의 대각합은 tr(A) 또는 trace(A)으로 표기함

2. 특수한 행렬

특수한 행렬

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_i1 a_i2 … a_in

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn 대각 행렬 A

2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 대각 행렬 B

trace(B)=7

trace(A)=a₁₁+a₂₂+…+a_ii+…+a_nn

• 항등 행렬(identity matrix)

• nⅹn 정방 행렬이 대각 행렬이고 주 대각선의 모든 항의 값이 1이면 항등 행렬 또는 단위 행렬이라고 말함

• 영 행렬(zero matrix)

• 행렬의 모든 항의 값이 0인 행렬

• 전치 행렬(transpose matrix)

• mⅹn 행렬 A의 모든 항 a_ij에 대해, b_ji=a_ij가 되는 nⅹm 행렬 B를 행 렬 A의 전치 행렬이라고 말하고 B=A^T로 표기함

• 전치 행렬은 본래의 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬임

2. 특수한 행렬

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

항등 행렬

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

영 행렬

1 2 -1 -3 2 7

행렬 A

1 -3 1 2 -1 7 행렬 A^T

• 대칭 행렬(symmetric matrix)

• nⅹn 정방 행렬 A와 그 전치 행렬이 같을 때(A=A^T) 대칭 행렬이라고 말함

• 교대 행렬(skewed symmetric matrix)

• nⅹn 정방 행렬 A가 있을 때 행렬 A를 구성하는 모든 항목에 대해 A=-A^T인 경우 교대 행렬이라고 말함

• 삼각 행렬(triangular matrix)

• nⅹn 정방 행렬의 주 대각선 밑의 모든 항이 0인 행렬을 상부 삼각 행렬(upper triangular matrix)이라 하고, 반대의 경우는 하부 삼각 행 렬(lower triangular matrix)이라 함

2. 특수한 행렬

1 -2 2 3

2 4 0 -4 1 -6

0 6 3 교대 행렬

7 1 -1 0 2 1 0 0 3 상부 삼각 행렬

7 0 0 1 -4 0 -1 1 -5 하부 삼각 행렬

• 행렬의 기본 행 연산(elementary row operation)

• Type 1 : 어떤 2개의 행을 서로 바꿈

• Type 2 : 어떤 행에 0이 아닌 값을 곱함

• Type 3 : 어떤 행에 상수를 곱한 후 다른 행에 더함

• 피봇(pivot)

• 행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나오는 수로 선행자(leading one)라고도 함

3. 행렬의 기본 연산과 사다리꼴

행렬의 기본 연산

1 0 0 0 1 0 0 0 1

행렬 A

0 1 0 1 0 0 0 0 1 행렬 A에서

1행과 2행 을 바꿈

1 0 0 0 1 0 0 0 -2 행렬 A에서 3행에 -2를

곱함

1 0 0 0 1 0 0 -3 1 행렬 A에서 2행 에 -3을 곱하고

3행에 더함

피봇

<행렬의 기본 행 연산 예>

• 행 사다리꼴(row echelon form)

• mⅹn 행렬 A가 다음과 같은 3가지 조건을 충족하는 경우

• 0으로만 이루어진 행이 있는 경우, 행렬의 아래쪽에 위치함

• 모두가 0은 아닌 값으로 행이 구성되었을 때 가장 왼쪽에 처음 나오는 0이 아닌 수(통상 1)를 피봇이라고 함

• 모두가 0은 아닌 두 행이 연속하는 경우, 아래 행의 피봇은 위 행의 피봇보다 오른쪽에 위치함

• 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form)

• mⅹn 행렬 A가 행 사다리꼴이고, 다음 조건을 만족하는 경우

• 한 행의 피봇을 포함하는 열에는 피봇 이외의 값은 모두 0임

3. 행렬의 기본 연산과 사다리꼴

행 사다리꼴

1 2 3 0 1 5 0 0 1

<행 사다리꼴>

1 -1 6 4 0 1 2 -8 0 0 0 1

1 0 0 5 0 0 1 2

<기약 행 사다리꼴>

1 0 0 0 1 0 0 0 1

• 기약 행 사다리꼴 구하기

• 전향 단계(forward phase) : 피봇의 아래 부분이 0이 되도록 함

• 후향 단계(backward phase) : 피봇의 위 부분이 0이 되도록 함

• 가우스 소거법(Gaussian elimination)

• 전향 단계까지의 연산 과정을 실행하여 행 사다리꼴을 구하는 소거 법으로 연립방정식을 행렬로 풀 때 사용하는 기법

• 가우스-조단 소거법(Gaussian-Jordan elimination)

• 후향 단계까지 실행하는 소거법으로 가우스 소거법과 함께 연립방 정식을 행렬로 풀 때 사용하는 기법

• 계수(rank)

• 행렬을 행 사다리꼴로 만들었을 때 행 전체가 0이 아닌 행의 개수

3. 행렬의 기본 연산과 사다리꼴

1 1 0 0 2 2 1 0 -3 -3 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0 -3 -3 1 1

1행 2행 3행

피봇 2행을 소거

하기 위해 1행에 -2 를 곱해서

2행에 더함 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1

3행을 소 거하기 위

해 1행에 3을 곱해 서 3행에

더함 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1

3행의 3열 의 값 1을 소거하기 위해 2행 에 -1을 곱

해서 3행 에 더함

• 기약 행 사다리꼴 구하기 예

• 기약 행 사다리꼴을 구함으로써 다음과 같은 3원1차 연립방정식의 해 를 구하는 과정

• x+y+z=5

• 2x+3y+5z=8

• 4x+5z=2

3. 행렬의 기본 연산과 사다리꼴

R1 R2 R3

R2=

R2-2R1

1 1 1 2 3 5 4 0 5

5 8 2 1 1 1

2 3 5 4 0 5

5 8 2

1 1 1 0 1 3 4 0 5

5 -2

2

R3=

R3-4R1 1 1 1 0 1 3 0 -4 1

5 -2 -18

R3=

R3+4R2

1 1 1 0 1 3 0 0 13

5 -2 -26

1 1 1 0 1 3 0 0 1

5 -2 -2

R2=

R2-3R3 1 1 1 0 1 0 0 0 1

5 4 -2

R1=

R1-R3

1 1 0 0 1 0 0 0 1

7 4 -2

R1=

R1-R2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 4 -2

x y z

• 행렬식(determinant)

• nⅹn 정방 행렬 A에 하나의 스칼라 값을 대입시키는 함수로 Det(A) 또는 ｜A｜로 나타냄

• 정칙 행렬(non singular matrix)과 특이 행렬(singular matrix)

• nⅹn 정방 행렬 A 의 행렬식 값이 0이 아닐 때 행렬 A를 정칙 행렬이 라고 하고, 0일 때 행렬 A를 특이 행렬이라고 함

4. 행렬식의 개념

행렬식

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₁₁

<1ⅹ1 행렬의 행렬식>

A= Det(A)=a₁₁ A= Det(A)=a₁₁∙a₂₂- a₁₂∙a₂₁

<2ⅹ2 행렬의 행렬식>

A= Det(A)=a₁₁∙a₂₂∙ a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙ a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙ a₃₂- a₁₁∙a₂₃∙ a₃₂-a₁₂∙a₂₁∙ a₃₃-a₁₃∙a₂₂∙ a₃₁

a₃₁ a₂₁

a₃₂ a₂₃

a₃₃ a₃₂

<3ⅹ3 행렬의 행렬식>

• 성질 1

• nⅹn 정방 행렬 A의 두 행의 값이 같으면 행렬식의 값은 0임

• 성질 2

• nⅹn 정방 행렬 A의 두 행 또는 열이 바뀐 행렬을 B라 한다면 Det(B)=-Det(A)임

• 성질 3

• nⅹn 정방 행렬 A의 행렬식의 값은 A의 전치 행렬 A^T의 행렬식의 값 과 같음. 즉, Det(A)=Det(A^T)

5. 행렬식의 일반적인 성질

행렬식의 성질

4 5 -1 3 3 3 3 3 3

｜A｜ = = 0

<성질 1>

1 2 3 4

<성질 2>

= - 2 1

4 3 = -2 1 2 3 4

<성질 3>

= 1 3

2 4 = -2

• 성질 4

• 행렬 A와 B가 nⅹn 정방 행렬이면 곱의 행렬식과 행렬식의 곱은 같 음. 즉, Det(A∙B)=Det(A)∙Det(B)

• 성질 5

• 행렬식의 임의의 행 또는 열에 임의의 스칼라 값 k를 곱해서 얻은 행 렬식은 원래의 행렬식에 k를 곱한 것과 동일함

• 성질 6

• nⅹn 정방 행렬 A의 한 행 또는 열의 모든 원소가 0이면 Det(A)=0임

5. 행렬식의 일반적인 성질

<성질 4>

1 -1 3 1

<성질 5>

1 2 1 -1

5ⅹ2 3

5ⅹ(-1) 1 = 5 2 3

-1 1 = 25 Det(A)=4 Det(B)=-3

0 3 4 5

Det(AB)=-12 Det(A)∙Det(B)=-3 ∙4=-12

A B AB

k

0 0 5 2

<성질 6>

= 0

• 성질 1

• 1개의 행 또는 열에 k배 한 행렬식은 원래 행렬식의 k배와 같음

• 성질 2

• 2개의 행 또는 열을 교환한 행렬식은 원래 행렬식에서 부호만 바뀜

• 성질 3

• 1개의 행 또는 열에 k배 하여 다른 행 또는 열에 더해서 만든 행렬식 은 원래의 행렬식과 같음

5. 행렬식의 일반적인 성질

기본 행 연산을 통한 행렬식의 계산

1 2 3 2 3 5 3 -3 7 Det(A) =

R1 R2 R3

1 2 3 0 -1 -1

3 -3 7

R2=

R2-2R1

R3=

R3-3R1 1 2 3 0 -1 -1 0 -9 -2

R3=

R3-9R2 1 2 3 0 -1 -1

0 0 7

1ⅹ(-1) ⅹ7=-7 행 사다리꼴을

이용한 계산법

• 역 행렬(inverse matrix)

• nⅹn 정방 행렬 A, B가 있을 때 AB=BA=I(항등 행렬)가 성립하는 하 나 뿐인 행렬 B를 행렬 A의 역 행렬이라고 함

• 행렬 A의 역 행렬은 A^-1로 표기함

• 가역적(nonsingular, invertible)

• nⅹn 정방 행렬 A, B가 있을 때 AB=BA=I(항등 행렬)인 행렬 B가 존 재하는 경우, 행렬 A를 가역적이라고 말함

• 다음 예는 A∙B와 B ∙ A의 결과 모두 항등 행렬을 만들어내기 때문에 가역적임

6. 역 행렬

역 행렬의 정의와 성질

2 5 1 3

A = 3 -5

-1 2

B = A ∙ B = 2ⅹ3+5ⅹ(-1)=1 2ⅹ(-5)+5ⅹ2=0 1ⅹ3+3ⅹ(-1)=0 1ⅹ(-5)+3ⅹ2=1 2 5

1 3 3 -5 A =

-1 2

B = B ∙ A = 3ⅹ2+(-5)ⅹ1=1 3ⅹ5+(-5)ⅹ3=0 (-1)ⅹ2+2ⅹ1=0 (-1)ⅹ5+2ⅹ3=1

• 첨가 행렬(augmented matrix)

• 특정 목적 달성을 위해 주어진 행렬 A의 오른쪽에 추가적으로 삽입 한 행렬

• 가우스-조단의 역 행렬 알고리즘

<1단계> 주어진 행렬 A에 항등 행렬 I를 첨가하여 첨가 행렬 [A｜I]

를 만듦

<2단계> 행렬 A 부분이 항등 행렬로 바뀔 때까지 행 연산을 계속 실 시함

<3단계> A가 가역적인지 결정함

• A를 항등 행렬로 변환할 수 있으면 원래 I 위치에 있는 행렬이 A-1이 됨

• 만일 A의 행 연산 과정에서 한 행이 모두 0이 되면 A는 비가역 적 행렬이므로 역 행렬 구하는 과정을 중단함

6. 역 행렬

역 행렬을 구하는 방법

[A｜I] [I｜A^-1]

• 가우스-조단의 역 행렬 구하는 예제

6. 역 행렬

3 4 2 3

A = ^R1

R2

3 4 2 3

1 0 0 1

항등 행렬 을 첨가함

R2=

R2-2R1

R2=3R2 1 0

0 1

3 -4 -2 3

<가우스-조단 방법으로 구한 역 행렬>

3 4 2 3

A= w x

y z

A^-1= A∙A^-1= 3 4 2 3

w x y z

∙ = 3w+4y 3x+4z 2w+3y 2x+3z

1 0 0 1

= 3w+4y=1 3x+4z=0

2w+3y=0 2x+3z=1

3 -4 -2 3

<연립 방정식으로 구한 역 행렬>

A^-1

• 선형 방정식의 해

• n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형 시스템 Ax=b가 있고, 행렬 A가 가역적이면 선형 시스템은 유일한 해 x=A^-1b를 가짐

• 선형 방정식의 해를 구하는 예제

7. 선형 방정식의 해법

선형 방정식의 해 구하는 방법

x+2y+3z=1 x+3y+6z=3 2x+6y+13z=5

1 2 3 1 3 6 2 6 13

A= 1

3 5

b= A^-1=

3 -8 3 -1 7 -3

0 -2 1

A^-1b =

3 -8 3 -1 7 -3

0 -2 1

1 3 5

∙ =

-6 5 -1

x=-6 y=5 z=-1

7. 선형 방정식의 해법

A= 1 2 3 1 3 6 2 6 13

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3

1 3 6 2 6 13 A=

A의 역 행렬 구하기

R2=

R2-R1

R1 R2 R3

1 2 3 0 1 3 2 6 13

1 0 0 -1 1 0

0 0 1

R3=

R3-2R1 1 2 3 0 1 3 0 2 7

1 0 0 -1 1 0 -2 0 1

R1=

R1-2R2 1 0 -3 0 1 3 0 2 7

3 -2 0 -1 1 0 -2 0 1

R3=

R3-2R2 1 0 -3 0 1 3 0 0 1

3 -2 0 -1 1 0 0 -2 1

R1=

R1+3R3 1 0 0 0 1 3 0 0 1

3 -8 3 -1 1 0 0 -2 1

R2=

R2-3R3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

3 -8 3 -1 7 -3 0 -2 1

3 -8 3 -1 7 -3 0 -2 1 A^-1=