조건 (나)에서 - 여러 가지 적분법 - EBS 올림포스 고난도 미적분 답지 정답

여러 가지 적분법

14 조건 (나)에서

f(x)+xf '(x)={xf(x)}'=x`sin`x 이므로

xf(x)=:` x`sin`x dx

이때 u(x)=x, v'(x)=sin`x라 하면 u'(x)=1, v(x)=-cos`x이므로 xf(x)=:` x`sin`x dx

=-x`cos`x+:` cos`x dx

=-x`cos`x+sin`x+C (단, C는 적분상수) yy ㉠ 조건 (가)에 의하여 ㉠에 x=p를 대입하면

pf(p)=-p`cos`p+sin`p+C p=p+C

즉, C=0이므로

xf(x)=-x`cos`x+sin`x yy ㉡

㉡에 x=;2Ò; 를 대입하면

;2Ò;`f {;2Ò;}=-;2Ò;`cos`;2Ò;+sin`;2Ò;

;2Ò;`f {;2Ò;}=1 따라서 f {;2Ò;}=;@;

 ①

15

^u(x)=ln`;[!;, v'(x)=x라 하면 u'(x)= 1

;[!;_{- 1xÛ` }=-;[!;, v(x)=;2!; xÛ`이므로 :!e` x`ln`;[!; dx=[;2!;xÛ``ln`;[!;]e!+;2!;`:!e``x dx

= eÛ`2 `ln`;e!;+;2!; [;2!;xÛ`]e!

=- eÛ`2 +;2!; {eÛ`

2 -;2!;}

=- eÛ`+14

 ③

16

:)È` eÅ``sin`x dx+:)È` eÅ``sin`{;2Ò;-x} dx

=:)È` eÅ``sin`x dx+:)È` eÅ``cos`x dx

=:)È` eÅ``(sin`x+cos`x) dx 이때

u(x)=sin`x+cos`x, v'(x)=eÅ` 이라 하면 u'(x)=cos`x-sin`x, v(x)=eÅ` 이므로 :)È` eÅ``(sin`x+cos`x) dx

=[eÅ` (sin`x+cos`x)]È)-:)È` eÅ``(cos`x-sin`x) dx

=-e^p-1-:)È` eÅ``(cos`x-sin`x) dx yy ㉠ 또한,

u(x)=cos`x-sin`x, v'(x)=eÅ` 이라 하면 u'(x)=-sin`x-cos`x, v(x)=eÅ` 이므로 :)È` eÅ` (cos`x-sin`x) dx

=[eÅ` (cos`x-sin`x)]È)+:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx

=-e^p-1+:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx

㉠에 대입하면

:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx

=-e^p-1-[-e^p-1+:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx]

=-:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx

2:)È` eÅ` (sin`x+cos`x) dx=0 따라서

:)È` eÅ``sin`x dx+:)È` eÅ``sin`{;2Ò;-x} dx

=:)È` eÅ``(sin`x+cos`x)dx=0

 ③

17

^:_^;2Ò;_;2Ò;` f(x)`cos`x dx

=:_0_;2Ò;`(x+1)`cos`x dx+:)^;2Ò;`` (-x+1)`cos`x dx

=:_0_;2Ò;`x`cos`x dx+:_0_;2Ò;`cos`x dx-:)^;2Ò;`` x`cos`x dx+:)^;2Ò;`` cos`x dx

=:_0_;2Ò;`x`cos`x dx-:)^;2Ò;`` x`cos`x dx+:_^;2Ò;_;2Ò;` cos`x dx

=-2:)^;2Ò;`` x`cos`x dx+2:)^;2Ò;`` cos`x dx yy ㉠ :)^;2Ò;`` x`cos`x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos`x라 하면

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 79 2019-02-15 오후 1:03:00

u'(x)=1, v(x)=sin`x이므로

:)^;2Ò;`` x`cos`x dx=[x`sin`x])^;2Ò;`` -:)^;2Ò;`` sin`x dx

=;2Ò;-[-cos`x])^;2Ò;``

=;2Ò;-1

㉠에 대입하면

:_^;2Ò;_;2Ò;` f(x)`cos`x dx=-2:)^;2Ò;`` x`cos`x dx+2:)^;2Ò;`` cos`x dx

=-2{;2Ò;-1}+2[sin`x])^;2Ò;``

=2-p+2

=4-p

 ④

18

f(x)= sin(ln`x)x +:!e`^È` f(t)dt에서 :!e`^È` f(t)dt=a라 하면 f(x)= sin`(ln`x)x +a 이므로

:!e`^È` f(t)dt=:!e`^È` [ sin(ln`t)t +a]dt=a 이때 ln`t=y라 하면 t=1일 때 y=0, t=e^p일 때 y=p이고 ;t!; dtdy =1이므로 :!e`^È` f(t)dt=:!e`^È`[ sin(ln`t)t +a]dt =:!e`^È`sin(ln`t)

t dt+:!e`^È`a dt =:)È``sin`y dy+[at]!e`^È`

=[-cos`y]È)+(ae^p-a) =(1+1)+(ae^p-a) =2+ae^p-a=a 즉, (2-e^p)a=2이므로 a= 22-e^p

 ②

19

:!/` f(t)dt=e^xÛ`+aeÅ` 에서 x=1을 대입하면 0=e+ae이므로 a=-1

따라서 :!/` f(t)dt=e^xÛ`-eÅ` 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=e^xÛ`_2x-eÅ`

다시 미분하면

f '(x) =e^xÛ`_2x_2x+e^xÛ`_2-eÅ`

=4xÛ`e^xÛ`+2e^xÛ`-eÅ`

이므로

f '(1)=4e+2e-e=5e

 ⑤

20

^F(x)=:)/``f(t) dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x) =f(x)

=sin`2x+a

이때 -1Ésin`2xÉ1이고 a>0이므로 함수 F(x)가 극값을 갖지 않 기 위해서는

F'(x)=sin`2x+a¾0 즉, a-1¾0이므로 a¾1

 ④

21

g(t)=f(t)_f '(t)라 하고 함수 g(t)의 한 부정적분을 G(t)라 하면

limx`Ú1 1 x-1 :!/` { f(t)_f '(t)}dt=limx`Ú1 1 x-1 :!/` g(t)dt

=lim

x`Ú1 1 x-1 [G(t)]/!

=lim

x`Ú1 G(x)-G(1) x-1

=G'(1)

=g(1)

=f(1)_f '(1)

이때 f '(x)=2x ln`(x+1)+ xÛ`x+1 이므로

limx`Ú1 1 x-1 :!/` { f(t)_f '(t)}dt=f(1)_f '(1)

=ln`2_{2 ln`2+;2!;}

=2(ln`2)Û`+;2!; ln`2

 ①

22

xÛ`+1=t라 하면 2x dxdt =1이므로 f(x)=:` x"ÃxÛ`+1 dx

=:` 12't dt

=;2!;:` t^-;2!; dt

=;2!;_2t^;2!;+C

="ÃxÛ`+1+C (단, C는 적분상수)

(가)

이때 f(0)=1+C=1에서 C=0이므로 f(x)="ÃxÛ`+1

(나)

정답과 풀이 81 따라서 함수 f(x)="ÃxÛ`+1의 그래프와 직선 y=2가 만나는 점의 x좌

표는

"ÃxÛ`+1=2, xÛ`+1=4 xÛ`=3

즉, x=-'3 또는 x='3 이고 두 점 A, B는 y축에 대하여 대칭이므로 ABÓ='3-(-'3 )=2'3

(다)

 2'3

단계 채점 기준 비율

(가) 치환적분을 구한 경우 50`%

(나) f(x)를 구한 경우 20`%

(다) ABÓ를 구한 경우 30`%

23

함수 f(x)가 x=0에서 연속이어야 하므로

x`limÚ0- (eÅ`+k)= lim

x`Ú0+ (x`cos`x) 1+k=0, 즉 k=-1

(가)

따라서 f(x)=àeÅ`-1 (x<0) x`cos`x (x¾0)이므로 :_Èù` f(x)dx=:_0ù`(eÅ`-1)dx+:)È` x`cos`x dx 이때

:_0ù`(eÅ`-1)dx=[eÅ`-x]0_ù

=1-(e^-p+p)

=1-e^-p-p

(나)

:)È` x`cos`x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos`x라 하면 u'(x)=1, v(x)=sin`x이므로

:)È``x`cos`x dx=[x`sin`x]È)-:)È``sin`x dx

=-[-cos`x]È)

=-1-1=-2

(다)

따라서

:_Èù` f(x)dx=:_0ù` (eÅ`-1)dx+:)È` x`cos`x dx

=1-e^-p-p+(-2)

=-p-e^-p-1

(라)

 -p-e^-p-1

단계 채점 기준 비율

(가) k의 값을 구한 경우 20`%

(나) :_0ù (eÅ`-1)dx의 값을 구한 경우 30`%

(다) :)È` x`cos`x dx의 값을 구한 경우 40`%

(라) :_Èù` f(x)dx의 값을 구한 경우 10`%

:!3` |1-;[@;|dx

=:!2` {-1+;[@;}dx+:@3` {1-;[@;}dx

=[-x+2 ln`x]2!+[x-2 ln`x]3@

=(-2+2 ln`2)+1+(3-2 ln`3)-(2-2 ln`2)

=4 ln`2-2 ln`3

=ln`;;Á9¤;;

 ①

25

xf '(x)+f(x)={xf(x)}'=;[!;+2x 이므로

xf(x)=:`{;[!;+2x}dx

=ln`x+xÛ`+C (단, C는 적분상수) yy ㉠

이때 f(e)=1이므로 ef(e)=ln`e+eÛ`+C e=1+eÛ`+C

즉, C=e-eÛ`-1 이므로 ㉠에 x=1을 대입하면 f(1)=1+(e-eÛ`-1)=e-eÛ`

 ②

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 81 2019-02-15 오후 1:03:01

26

^f(x)=:` (ln`3_9Å` )dx =ln`3:` 9Å` dx =ln`3_ 9Å``ln`9 +C

=;2!;_9Å`+C (단, C는 적분상수) 이때 f(1)=;2(;+C=;2(;에서 C=0이므로 f(x)=;2!;_9Å`

따라서 Á¦

n=1 1 f(n) = Á¦ n=1 29Ç` =

;9@;

1-;9!;=;4!;

 ③

27

^:)1`_e^2x_+eÅ`+1^e^3x ^dx-^:)1`_e^2x_+eÅ`+1¹ ^dx

=:)1` e^3x-1 e^2x+eÅ`+1dx

=:)1` (eÅ`-1)(e^2x+eÅ`+1) e^2x+eÅ`+1 dx

=:)1` (eÅ`-1)dx

=[eÅ`-x]1)

=(e-1)-(1-0)=e-2

 ⑤

28

^f(x)=:` sinÛ``x1+cos`x dx =:` 1-cosÛ``x

1+cos`x dx

=:` (1+cos`x)(1-cos`x) 1+cos`x dx =:` (1-cosx)dx

=x-sin`x+C (단, C는 적분상수) 이때 f(0)=C=2 이므로

f {;2Ò;}=;2Ò;-1+2=;2Ò;+1

 ④

29

f '(x)=k(cos`x+2ÑÅ` )이므로 f(x)=:`k(cos`x+2ÑÅ` )dx

=k{sin`x- 2ÑÅ``ln`2 }+C (단, C는 적분상수) 또한, 조건 (나)에서 x`Ú 0에서 (분자)`Ú 0이어야 하므로

limx`Ú0` f(x)=f(0)=k{- 1`ln`2 }+C=0 즉, C= k`ln`2이므로

f(x)=k{sin`x- 2ÑÅ``ln`2 }+ k`

ln`2

=k{sin`x- 2ÑÅ``ln`2 + 1`

ln`2 } 다시 조건 (나)에서

limx`Ú0 f(x)`

x =k lim_x`

Ú0 { sin`xx - 2ÑÅ`-1x _ 1`ln`2 } =k{1-ln`2ÑÚ`_ 1`ln`2 }

=2k=6

따라서 k=3이므로

f(p)=3{sin`p- 2ln`2 +^-p 1`

ln`2 }

= 3`ln`2 (1-2^-p)

 ③

30

^{` f '(x)=}^à^2Å`a`cos`x (x¾0)^(x<0)에서 f '(x)는 x=0에서 연속이므로

x`limÚ0-`f '(x)= lim

x`Ú0+`f '(x)에서 1=a

따라서 f '(x)=à 2Å` (x<0) cos`x (x¾0)이므로

f(x)=

({ 9

ln`2 +CÁ (x<0)2Å`

sin`x+Cª (x¾0) (단, CÁ, Cª는 적분상수) 또한, f(x)도 x=0에서 연속이므로

x`limÚ0-`f(x)= lim_x`

Ú0+`f(x)에서 ln`2 +CÁ=Cª, 즉 Cª-CÁ=1` 1

ln`2 :_0!` f(x)dx-:)1` f(x)dx

=:_0! { 2Å``ln`2 +CÁ}dx-:)1` (sin`x+Cª)dx

=[ 2Å``(ln`2)Û`+CÁx]0_!-[-cos`x+Cªx]1)

= 1`

(ln`2)Û`- ;2!;

(ln`2)Û`+CÁ-{(-cos`1+Cª)-(-1)}

= 1`

2(ln`2)Û`+cos`1-1+CÁ-Cª

= 1

2(ln`2)Û`- 1`ln`2 +cos`1-1

 ④

정답과 풀이 83

34

^{:_0! x}"ÃxÛ`+adx에서 xÛ`+a=t라 하면

x=-1일 때 t=a+1, x=0일 때 t=a이고 2x dxdt =1이므로 :_0! x"ÃxÛ`+adx=:AaÐ! 1

2'tdt

=;2!; [2t^;2!;]aAÐ!

='a-'Äa+1

=- '2 4 'a='Äa+1- '2

4 의 양변을 제곱하여 정리하면 a=a+;8(;- '2

2 _'Äa+1 '22 _'Äa+1=;8(;

다시 양변을 제곱하면 32(a+1)=81, a+1=;3*2!;

따라서 a=;3$2(;

 ④

35

f(x)=t라 하면 x=0일 때 t=f(0)=0, x=1일 때 t=f(1)=1, x=2일 때 t=f(2)=8이고 f '(x) dxdt =1이므로

:)2`{e ^f(x)_f '(x)}dx=:)1` {e ^f(x)_f '(x)}dx+:!2` {e ^f(x)_f '(x)}dx

=:)1` e^tdt+:!8` e^tdt

=:)8` e^tdt

=[e^t]8)

=e¡`-1

 ②

36

^:)^;2!;`f(2x)dx=-2에서 2x=t라 하면

x=0일 때 t=0, x=;2!;일 때 t=1이고 2 dxdt =1이므로 :) ^;2!;`f(2x)dx=:)1` ;2!;`f(t)dt=-2

즉, :)1``f(t)dt=-4 yy ㉠

:) ^;3!;`f(3x+1)dx=2에서 3x+1=t라 하면

x=0일 때 t=1, x=;3!;일 때 t=2이고 3 dxdt =1이므로 :) ^;3!;`f(3x+1)dx=:!2` ;3!;`f(t)dt=2

31

^:)^;4Ò;_{1+sin`x dx}^1`

=:)^;4Ò; 1-sin`x

(1+sin`x)(1-sin`x) dx

=:)^;4Ò;1-sin`x 1-sinÛ``xdx

=:)^;4Ò; { 1

1-sinÛ``x- sin`x 1-sinÛ``x }dx

=:)^;4Ò; { 1cosÛ``x - sin`x cosÛ``x }dx

=:)^;4Ò;(secÛ``x-sec`x`tan`x)dx

=[tan`x-sec`x])^;4Ò;

=(1-'2 )-(-1)

=2-'2

 ①

32

^f(x)=:` (1-sin`x)Û``cos`x dx에서 1-sin`x=t라 하면 -cos`x dxdt =1이므로 f(x)=:` (1-sin`x)Û``cos`x dx

=:`(-tÛ`)dt

=-;3!;tÜ`+C

=-;3!;(1-sin`x)Ü`+C (단, C는 적분상수) 이때 f(p)=-;3!;+C=1에서 C=;3$;이므로 f(0)=-;3!;+;3$;=1

 ⑤

33

f '(x)= 2x+1x+1 =2(x+1)-1

x+1 =2- 1x+1 이므로

f(x)=:` {2- 1x+1 }dx

=2x-ln|x+1|+C (단, C는 적분상수) 이 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로

f(2)=4-ln`3+C=0 C=ln`3-4

즉, f(x)=2x-ln`|x+1|+ln`3-4이므로 f(0)=ln`3-4

따라서 함수 y=f(x)의 그래프와 y축이 만나는 점은 (0, ln`3-4)이다.

 ④

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 83 2019-02-15 오후 1:03:01

즉, :!2``f(t)dt=6 yy ㉡

㉠, ㉡에서

:)1``f(t)dt+:!2``f(t)dt=:)2``f(t)dt=2 또한, 조건 (가)에 의하여

:)1`0``f(x)dx

=:)2``f(x)dx+:@4``f(x)dx+y+:*1`0``f(x)dx

=:)2``f(x)dx+:)2``f(x)dx+y+:)2``f(x)dx

=5:)2``f(x)dx

=5_2=10

 ⑤

37

f(-x)+f(x)=0에서 f(-x)=-f(x)이므로 함수 y=f(x) 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 y=xf(x)의 그래프 는 y축에 대하여 대칭이므로

:_1!`xf(x)dx=2:)1` xf(x)dx=4 :)1` xf(x)dx=2

또한, 함수 y=(e^xÛ`+xÛ`)f {;2{;}의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 :_2@ (e^xÛ`+xÛ`)f {;2{;}dx=0

즉,

:_2@ (e^xÛ`+xÛ`+x)f {;2{;}dx

=:_2@ (e^xÛ`+xÛ`)f {;2{;}dx+:_2@ xf {;2{;}dx

=2:)2` xf {;2{;}dx

또한, ;2{;=t라 하면 x=0일 때 t=0, x=2일 때 t=1이고 ;2!; dxdt =1 이므로

:)2` xf {;2{;}dx=:)1` 4tf(t)dt

=4:)1` tf(t)dt

=4_2=8

따라서 :_2@ (e^xÛ`+xÛ`+x) f {;2{;}dx=2_8=16

 ④

38

f '(x)=ln`;[!;=-ln`x이므로 f(x)=:` (-ln`x)dx

=-:` ln`x dx =-(x ln`x-x)+C

=-x ln`x+x+C (단, C는 적분상수) f(e)=-e+e+C=1에서 C=1이므로 f(x)=-x ln`x+x+1

또한, f '(x)=-ln`x에서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값을 가지므로 f(1)=1+1=2

 ②

39

u(x)=x, v'(x)=sin`2x라 하면 u'(x)=1, v(x)=-;2!;`cos`2x이므로 f(x)=:` x sin`2x dx

=-;2!;x cos`2x+;2!;:` cos`2x dx =-;2!;x cos`2x+;2!;_;2!;`sin`2x+C

=-;2!;x cos`2x+;4!;`sin`2x+C (단, C는 적분상수) 이때 f(0)=C=0이므로

f(x)=-;2!;x cos`2x+;4!;`sin`2x 또한,

f(x)=:` x sin`2x dx에서 f '(x)=x`sin`2x이므로 :)È` e ^f(x)x sin`2x dx=:)È` e ^f(x) f '(x)dx

=[e ^f(x)]È)

=e ^f(p)-e ^f(0)

=e^-;2!;p-eâ`=e^-;2!;p-1

 ①

40

:!2` f(x)g '(x)dx

=[ f(x)g(x)]2!-:!2` f '(x)g(x)dx

=f(2)g(2)-f(1)g(1)-:!2` f '(x)g(x)dx

=-:!2` f '(x)g(x)dx=2 즉, :!2` f '(x)g(x)dx=-2이다.

:!^'2 xf '(xÛ`)g(xÛ`)dx에서 xÛ`=t라 하면

x=1일 때 t=1, x='2 일 때 t=2이고 2x dxdt =1이므로 :!^'2 xf '(xÛ`)g(xÛ`)dx=:!2` ;2!; f '(t)g(t)dt

=;2!;:!2` f '(t)g(t)dt

정답과 풀이 85

=;2!;_(-2)=-1

 ②

41

^:_1! |x|e^2x^dx=^:_0! (-x)e^2x^dx+^:)1` xe^2x^dx

=-:_0! xe^2x dx+:)1` xe^2x dx :_0! xe^2x dx에서 u(x)=x, v'(x)=e^2x이라 하면 u'(x)=1, v(x)=;2!;e^2x이므로

:_0! xe^2x dx=[;2{;e^2x]0_!-:_0! ;2!;e^2x dx

=;2!;eÑÛ`-[;4!;e^2x]0_!

=;2!;eÑÛ`-{;4!;-;4!;eÑÛ`}

=;4#;eÑÛ`-;4!;

:)1` xe^2x dx=[;2{;e^2x]1)-:)1` ;2!;e^2x dx

=;2!;eÛ`-[;4!;e^2x]1)

=;2!;eÛ`-{;4!;eÛ`-;4!;}

=;4!;eÛ`+;4!;

따라서

:_1! |x|e^2x dx=-:_0! xe^2x dx+:)1` xe^2x dx

=-{;4#;eÑÛ`-;4!;}+{;4!;eÛ`+;4!;}

= eÛ`-3eÑÛ`+24

 ④

42

^:_2! e^f(x)^f(x)dx

=:_0! e ^f(x)f(x)dx+:)2` e ^f(x)f(x)dx

=:_0! e^x+1(x+1)dx+:)2` e^-x+1(-x+1)dx

:_0! e^x+1(x+1)dx에서 u(x)=x+1, v'(x)=e^x+1이라 하면 u '(x)=1, v(x)=e^x+1이므로

:_0! e^x+1(x+1)dx=[(x+1)e^x+1]0_!-:_0! e^x+1dx

=e-[e^x+1]0_!

=e-(e-1)=1 yy ㉠

:)2` e^-x+1(-x+1)dx에서

u(x)=-x+1, v'(x)=e^-x+1이라 하면 u '(x)=-1, v(x)=-e^-x+1이므로 :)2` e^-x+1(-x+1)dx

=[-(-x+1)e^-x+1]2)-:)2` e^-x+1dx

=eÑÚ`+e-[-e^-x+1]2)

=eÑÚ`+e-(-eÑÚ`+e)=2eÑÚ` yy ㉡

㉠, ㉡에서

:_2! e ^f(x)f(x)dx=1+;e@;

 ②

43

함수 y=ln`x의 그래프를 x축, y축의 방향으로 각각 a, b만큼 평 행이동하면

y-b=ln`(x-a), y=ln`(x-a)+b 이므로

f(x)=ln`(x-a)+b

이때 함수 y=f(x)의 점근선은 x=-2이므로 a=-2

또한, 점 (0, ln`2)를 지나므로 f(0)=ln`2+b=ln`2에서 b=0 즉, f(x)=ln`(x+2)

따라서

:!2`` f(x)dx=:!2``ln`(x+2)dx

=:#4``ln`x dx

=[x ln`x-x]4#

=(4 ln`4-4)-(3 ln`3-3)

=4 ln`4-3 ln`3-1

 ④

44

^:)^;2Ò;`tf(t)dt=a라 하면 f(x)=sin`x+a이므로

:)^;2Ò;`t(sin`t+a)dt=:)^;2Ò;`t`sin`t dt+:)^;2Ò;`at dt

또한, :)^;2Ò;`t sin`t dt에서 u(t)=t, v '(t)=sin`t라 하면 u'(t)=1, v(t)=-cos`t이므로

:)^;2Ò;`t sin`t dt=[-t cos`t])^;2Ò;+:)^;2Ò;`cos`t dt

=[sin`t])^;2Ò;=1

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 85 2019-02-15 오후 1:03:02

즉,

:)^;2Ò;`t(sin`t+a)dt=:)^;2Ò;`t sin`t dt+:)^;2Ò;`at dt

=1+[;2A; tÛ`])^;2Ò;

=1+ apÛ`

8 =a 8+apÛ`=8a, a(pÛ`-8)=-8 a=:)^;2Ò;`xf(x)dx=- 8

pÛ`-8

 ③

45

:)/` (x+t)f(t)dt=x:)/` f(t)dt+:)/` tf(t)dt

=x(e^2x+1)

이므로 양변을 x에 대하여 미분하면

:)/` f(t)dt+xf(x)+xf(x)=e^2x+1+2xe^2x

:)/` f(t)dt+2xf(x)=e^2x+1+2xe^2x 다시 양변을 x에 대하여 미분하면

f(x)+2f(x)+2xf '(x)=2e^2x+2e^2x+4xe^2x 3f(x)+2xf '(x)=4e^2x+4xe^2x

따라서 x=1을 대입하면 3f(1)+2f '(1) =4eÛ`+4eÛ`=8eÛ`

 ⑤

46

:!e` g(t)dt=a, :!e` f(t)dt=b라 하면 :!e` g(t)dt=:!e` {;t!;+b}dt

=[ln`t+bt]e!

=1+be-b=a

a+(1-e)b=1 yy ㉠

:!e` f(t)dt=:!e` (ln`t+a)dt

=[t ln`t-t+at]e!

=e-e+ea+1-a

=(e-1)a+1=b

(e-1)a-b=-1 yy ㉡

㉠, ㉡에서 a=b= 1 2-e 따라서

f(1)_{ g(1)-1}=b_a

= 1

2-e _ 1 2-e

= 1

(2-e)Û`

 ①

47

함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 :!^xÛ`` f(t)dt=[F(t)]!^xÛ`=F(xÛ`)-F(1) 이므로

F(xÛ`)-F(1)=xÛ`+4 ln`x-1 양변을 x에 대하여 미분하면 f(xÛ`)_2x=2x+;[$;

f(xÛ`)=1+ 2xÛ`

이때 xÛ`=t라 하면 f(t)=1+;t@;이므로 :!2` ;[!;`f {;[!;}dx=:!2` ;[!;(1+2x)dx

=:!2` {;[!;+2}dx

=[ln`x+2x]2!

=(ln`2+4)-2

=ln`2+2

 ②

48

^lim_x`Ú2 g(x)-g(2) xÛ`-4 =lim

x`Ú2 g(x)-g(2) (x-2)(x+2)

=lim_x`

Ú2 [ g(x)-g(2) x-2 _ 1

x+2 ]

= g '(2)

또한, g(x)=:)^;4Ò{;` f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 g '(x)=f {;4{;}_;4!;

이므로

limx`Ú2 g(x)-g(2)

xÛ`-4 = g '(2) 4

= f {;2!;}_;4!;

=;2!; tan`;4Ò;_;4!;

=;3Á2;

 ④

49

:A/` f(x)dx= xÛ`+bx-2 x+2 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)= (2x+b)(x+2)-(xÛ`+bx-2) (x+2)Û`

= xÛ`+4x+2b+2 (x+2)Û`

정답과 풀이 87 f '(x)= (2x+4)(x+2)Û`-(xÛ`+4x+2b+2)_2(x+2)(x+2)Ý`

= (2x+4)(x+2)-2(xÛ`+4x+2b+2)(x+2)Ü`

= -4b+4 (x+2)Ü`

따라서 조건 (가)에 의하여 f '(1)= -4b+427 =0이므로 b=1

:A/``f(x)dx= xÛ`+x-2x+2 에 x=a를 대입하면 :Aa``f(x)dx= aÛ`+a-2a+2 , 0=(a+2)(a-1)

a+2 a-1=0

즉, a=1 따라서 a+b=2

 ②

50

^f(x)=^:?^x+1^(t+1) cos`;2Ò;t dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=(x+2) cos`;2Ò;(x+1)-(x+1) cos`;2Ò;x

limh`Ú0 ;h!;:!1_ÑHh``f '(x)dx

=lim_h`

Ú0 ;h!; [f(x)]1!Ñ_hH

=lim_h`

Ú0 f(1+h)-f(1-h) h

=limh`Ú0 f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1) h

=limh`Ú0 f(1+h)-f(1)

h +lim

h`Ú0 f(1-h)-f(1) -h

=f '(1)+f '(1)

=2f '(1)

=2{3_(-1)-2_0}

=-6

 ①

51

:)1` f(x)dx=:_0!` f(x+1)dx =:_0!`{ f(x)+e^2x}dx =:_0!` f(x)dx+:_0!`e^2x dx =:_0!` f(x)dx+[;2!;e^2x]0_!

=:_0!` f(x)dx+{;2!;-;2!;eÑÛ`}

(가)

또한, 조건 (가)에서

:_1!` f(x)dx=:_0!` f(x)dx+:)1` f(x)dx

=:_0!` f(x)dx+:_0!` f(x)dx+;2!;-;2!;eÑÛ`

=2:_0!` f(x)dx+;2!;-;2!;eÑÛ`=4

(나)

이므로

2:_0!` f(x)dx=;2&;+;2!;eÑÛ`

따라서 :_0!` f(x)dx=;4&;+ 1 4eÛ`

(다)

 ;4&;+ 1 4eÛ`

단계 채점 기준 비율

(가) :)1` f(x)dx의 식을 변형한 경우 50`%

(나) 정적분의 성질을 이용하여 :_1!` f(x)dx의 식을 변형한

경우 20`%

(다) :_0!` f(x)dx의 값을 구한 경우 30`%

52

tx=y라 하면 x=0일 때 y=0, x=1일 때 y=t이고 t dxdy =1이므로

:)1` xf(tx)dx=:)t` y tÛ``f(y)dy

= 1tÛ` :)t` yf(y)dy

=sin`t

(가)

즉, :)t` yf(y)dy=tÛ``sin`t이므로 양변을 t에 대하여 미분하면 tf(t)=2t`sin`t+tÛ``cos`t

f(t)=2`sin`t+t`cos`t

(나)

따라서 f {;2Ò;}=2이다.

(다)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) 치환적분을 구한 경우 50`%

(나) f(t)를 구한 경우 30`%

(다) f {;2Ò;}의 값을 구한 경우 20`%

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 87 2019-02-15 오후 1:03:02

=g(2)-g(1)

=-;;Á2»;;eÑÛ`-{-;;¢4£;;}eÑÚ`

=-;;Á2»;;eÑÛ`+;;¢4£;;eÑÚ`

즉, p=-;;Á2»;;, q=;;¢4£;;이므로 20(p+q)=20{-;;Á2»;;+;;¢4£;;}=25

 25

54

함수 f(x)=x"Ãa+xÛ` 의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기울기가 ;2%;일 때, :)^;2Ò;` f(cos`h)dh의 값은?

(단, a는 양의 상수이다.)

① ;6Ò;+;2!; ② ;6Ò;+ '3

2 ③ ;3Ò;+;2!;

④ ;3Ò;+ '2

2 ⑤ ;3Ò;+ '3 2

접선의 기울기를 이용하여 a의 값을 구한 후 치환적분법을 이용한다.

접선의 기울기를 이용하여 a의 값을 구한다.

f(x)=x"Ãa+xÛ` 에서 f '(x)="Ãa+xÛ` +x_ 1

2"Ãa+xÛ`_2x

="Ãa+xÛ` + xÛ`

"Ãa+xÛ`

= a+2xÛ`

"Ãa+xÛ`

또한, 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기울기 가 ;2%;이므로

f '(1)= a+2

"Ãa+1=;2%;, 2(a+2)=5'Äa+1 4(aÛ`+4a+4)=25(a+1)

4aÛ`-9a-9=0, (a-3)(4a+3)=0 a>0이므로 a=3

치환적분법을 이용하여 식을 변형한다.

:)^;2Ò;`f(cos`h)dh=:)^;2Ò;`cos`h"Ã3+cosÛ``h dh

=:)^;2Ò;`cos`h"Ã4-sinÛ``h dh

이때 sin`h=t라 하면 h=0일 때 t=0, h=;2Ò;일 때 t=1이고 cos`h dhdt =1이므로

풀이전략

문제풀이

내신 변별력 문항

53

²⁵

54

^⑤

55

^③

56

^④

57

^⑤

58

^①

59

¹¹

본문 87~88쪽 4%상위

53

두 함수 f(x)=(axÛ`+b)eÑÅ`, g(x)={cxÛ`+dx-;;ª2£;;}eÑÅ` 이 다 음 조건을 만족시킨다.

(가) f(-2)=11eÛ`, f '(-2)=-10eÛ`

(나) 모든 실수 x에 대하여 g '(x)=f(x)이다.

x에 대한 항등식임을 이용한다.

:$4Cd`` f(x)dx=peÑÛ`+qeÑÚ`일 때, 두 유리수 p, q에 대하여 20(p+q)의 값을 구하시오. (단, a, b, c, d는 상수이다.) 25

주어진 조건을 이용하여 f(x), g(x)를 각각 구한다.

f(x)를 구한다.

f '(x) =2axeÑÅ`-(axÛ`+b)eÑÅ`

=(-axÛ`+2ax-b)eÑÅ`

이고

f(-2)=(4a+b)eÛ`=11eÛ`

4a+b=11 yy ㉠

f '(-2)=(-8a-b)eÛ`=-10eÛ`

8a+b=10 yy ㉡

㉠, ㉡에서 a=-;4!;, b=12

항등식의 성질을 이용하여 g(x)를 구한다.

또한,

g '(x) =(2cx+d)eÑÅ`-{cxÛ`+dx-;;ª2£;;}eÑÅ`

=[-cxÛ`+(2c-d)x+d+;;ª2£;;]eÑÅ`

이므로 조건 (나)에 의하여 c=;4!;, 2c-d=0, d+;;ª2£;;=12 즉, c=;4!;, d=;2!;이므로

g(x)={;4!;xÛ`+;2!;x-;;ª2£;;}eÑÅ`

정적분을 구한다.

따라서

:$4Cd` f(x)dx=:!2` g '(x)dx

=[g(x)]2!

풀이전략

문제풀이

정답과 풀이 89 :)^;2Ò;`cos`h"Ã4-sinÛ``h dh=:)1` "Ã4-tÛ` dt yy ㉠

정적분의 의미를 이용하여 정적분의 값을 구한다.

이때 ㉠이 의미하는 것은 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이 가 2인 사분원과 직선 t=1로 둘러싸인 부분 중 색칠된 부분의 넓이와 같다.

t t=1

O 2 13

2 -p3

따라서

:)^;2Ò;`f(cos`h)dh=:)1` "Ã4-tÛ` dt

=;2!;_2Û`_;6Ò;+;2!;_1_'3

=;3Ò;+ '32

 ⑤

55

양수 a에 대하여 함수 f(x)=(aÛ`x-2a)e`Å` 이라 하고 정의역이 {a|a>0}인 함수 g(a)=:)a``f(x)dx라 할 때, 함수 g(a)의 최솟 값을 m이라 하자. g '(2'2 )

3-m 의 값은?

① 20'2 eß` ② 22'2 eß` ③ 24'2 eß`

④ 26'2 e¡` ⑤ 28'2 e¡`

정의역이 열린구간 이므로 극솟값에서 최솟값을 갖는다.

부분적분법을 이용하여 함수 g(a)를 구한다.

부분적분법을 이용하여 g(a)를 구한다.

g(a)=:)a` f(x)dx

=:)a` a(ax-2)e^axdx

=:)a` (ax-2)(e^ax)'dx

=[(ax-2)e^ax]a)-:)a` (ax-2)'e^axdx

=(aÛ`-2)e^aÛ`+2-:)a` ae^axdx

=(aÛ`-2)e^aÛ`+2-[e^ax]a)

y="Ã4-xÛ` 이라 하면 yÛ`=4-xÛ`

xÛ`+yÛ`=4 (-2ÉxÉ2)

풀이전략

문제풀이

=(aÛ`-3)e^aÛ`+3

함수 g(a)의 최솟값을 구한다.

g '(a) =2ae^aÛ`+(aÛ`-3)e^aÛ`_2a

=(2aÜ`-4a)e^aÛ`

=2a(a+'2 )(a-'2 )e^aÛ`

이므로

g '(2'2 ) =4'2_3'2_'2e¡`=24'2e¡`

또한, a='2 에서 극소이면서 최소이므로 m=g('2)=-eÛ`+3

따라서 g '(2'2 )

3-m =24'2e¡`

eÛ` =24'2eß`

 ③

56

양수 a에 대하여 함수 f(a)=:)1``|eÑÅ`-a|dx의 최솟값은?

① ;e@;- 1

'e +1 ② ;e@;- 1

'e+2 ③ ;e@;- 2 'e +3

④ ;e!;- 2

'e +1 ⑤ ;e!;- 2 'e+2

0ÉxÉ1에서 e^-x-a¾0임을 이용한다.

0ÉxÉ1일 때 eÑÅ`-a의 값의 범위를 고려하여 정적분을 한다.

eÑÅ`-a=0을 만족시키는 x의 값을 구한다.

eÑÅ`-a=0에서 x=-ln`a

a의 값의 범위에 따라 f(a)를 구한다.

곡선 y=eÑÅ`-a에서 0ÉxÉ1이므로 eÑÚ`-aÉyÉ1-a

Ú 0<aÉ;e!;일 때 0ÉxÉ1에서 eÑÅ`-a¾0이므로 f(a)=:)1` (eÑÅ`-a)dx

=[-eÑÅ`-ax]1) =-a+1-;e!;

따라서 aÉ;e!;일 때 최솟값은 1-;e@;이다.

Û ;e!;<a<1일 때 f(a)=:)1` |eÑÅ`-a|dx

=:)^-lnà` (eÑÅ`-a)dx+: 1_-lnà^` (a-eÑÅ` )dx =[-eÑÅ`-ax])^-lnà+[eÑÅ`+ax]1_-lnà

풀이전략

문제풀이

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 89 2019-02-15 오후 1:03:03

=1+;e!;+a-2(a-a ln`a) =2a ln`a-a+1+;e!;

f '(a)=2 ln`a+2-1=2 ln`a+1 이므로 f '(a)=0에서

a= 1 'e 따라서 a= 1

'e 일 때 f(a)는 극소이면서 최솟값을 가지므로 f { 1'e }= 2

'e _{-;2!;}- 1'e +1+;e!;

=;e!;- 2'e +1 Ü a¾1일 때

f(a)=:)1` (-eÑÅ`+a)dx=a-1+;e!;

따라서 a¾1일 때 최솟값은 ;e!;이다.

f(a)의 최솟값을 구한다.

따라서 Ú, Û, Ü에 의하여 구하는 최솟값은 ;e!;- 2'e +1이다.

 ④

57

두 함수 f(x), g(x)가 다음과 같다.

f(x)=e^-2x{;4#;+:)/` e^2tg(t)dt}, g(x)=àx (xÉ2)

2 (x>2)

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

보기

ㄱ. :)/` te^2tdt={;2!;x-;4!;}e^2x+;4!;

ㄴ. 닫힌구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 최솟값은 ;2!;`ln`2이다.

ㄷ. x>2일 때, f(x)<1이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

0ÉtÉx이므로 0ÉxÉ2일 때 g(t)=t x>2일 때

g(t)=àt (0ÉtÉ2) 2 (t>2)

부분적분법을 이용하여 함수 f(x)를 구한다.

부분적분법을 이용한다.

ㄱ. :)/` te^2tdt에서 u(t)=t, v'(t)=e^2t이라 하면

풀이전략

문제풀이

u'(t)=1, v(t)=;2!;e^2t이므로 :)/` te^2tdt=[;2!;te^2t]/)-:)/` ;2!;e^2tdt =;2!;xe^2x-[;4!;e^2t]/) =;2!;xe^2x-{;4!;e^2x-;4!;}

={;2!;x-;4!;}e^2x+;4!; (참) 부분적분법을 이용하여 함수 f(x)를 구한다.

ㄴ. 닫힌구간 [0, 2]에서 g(x)=x이므로 f(x)=e^-2x{;4#;+:)/` e^2t g(t)dt}

=e^-2x{;4#;+:)/` te^2tdt}

=e^-2x[;4#;+{;2!;x-;4!;}e^2x+;4!;]

=e^-2x+;2!;x-;4!;

따라서 f '(x)=-2e^-2x+;2!;에서 f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은

x=ln`2

즉, x=ln`2에서 극소이면서 최솟값을 가지므로 f(ln`2)=e^-2 ln`2+;2!;_ln`2-;4!;

=;2!;`ln`2 (참) ㄷ. x>2일 때 g(x)=2이므로

f(x)=e^-2x {;4#;+:)2` te^2tdt+:@/` 2e^2tdt} =e^-2x [;4#;+[{;2T;-;4!;}e^2t+;4!;]2)+[e^2t]/@ ] =e^-2x[;4#;+;4#;eÝ`+;4!;+(e^2x-eÝ`)] =e^-2x {1-;4!; eÝ`+e^2x}

={1-;4!; eÝ`}e^-2x+1

그런데 1-;4!; eÝ`<0이므로 f(x)<1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

정답과 풀이 91

58

:__;2Ò;^;2Ò;`^1+cos`2x

2Å`+1 dx의 값은?

① ;2Ò; ② p ③ ;2#;p

④ 2p ⑤ ;2%;p

:_0;2Ò` 1+cos`2x 2Å`+1 dx+:)^;2Ò;` 1+cos`2x 2Å`+1 dx

1 2Å`+1 + 1

2ÑÅ`+1=1임을 이용하여 치환적분을 한다.

치환적분을 이용하여 식을 변형한다.

2Å`+1 +1 1

2ÑÅ`+1 = 1

2Å`+1 + 2Å`

1+2Å`

= 1+2Å`2Å`+1 =1 ^yy (*) 이고

:_-;2Ò;

;2Ò;` 1+cos`2x

2Å`+1 dx=:_0_;2Ò; 1+cos`2x2Å`+1 dx+:)^;2Ò; 1+cos`2x2Å`+1 dx 이때 :_0_;2Ò; 1+cos`2x2Å`+1 dx에서 x=-t라 하면 x=-;2Ò;일 때 t=;2Ò;, x=0일 때 t=0이고 dxdt =-1이므로

:_0_;2Ò; 1+cos`2x2Å`+1 dx=:)^;2Ò;` 1+cos`2(-t) 2^-t+1 dt

=:)^;2Ò;` 1+cos`2t 2^-t+1 dt 정적분의 성질을 이용한다.

따라서 :_-;2Ò;

;2Ò;` 1+cos`2x 2Å`+1 dx

=:_0_;2Ò; 1+cos`2x2Å`+1 dx+:)^;2Ò;` 1+cos`2x 2Å`+1 dx

=:)^;2Ò;` 1+cos`2t

2Ñ^`+1 dt+:)^;2Ò;` 1+cos`2x 2Å`+1 dx

=:)^;2Ò;`(1+cos`2x){ 12ÑÅ`+1 + 1 2Å`+1 }dx

=:)^;2Ò;`(1+cos2x)dx

=[x+;2!;`sin`2x])^;2Ò;

=;2Ò;

 ①

풀이전략

문제풀이

(*)에 의하여 1

59

좌표평면 위에 두 곡선 CÁ : y= eÅ`+eÑÅ`2 , Cª : y= eÅ`-eÑÅ`2 이 있 다. 음이 아닌 실수 t에 대하여 곡선 CÁ 위의 점 {t, e^`+eÑ^`2 }\에서

의 접선을 lÁ, 곡선 Cª 위의 점 {t, e^`-eÑ^`2 }에서의 접선을 lª라 하자. 두 직선 lÁ, lª의 교점을 P, 직선 lÁ과 y축의 교점을 Q, 직선 lª와 y축의 교점을 R라 하자. 삼각형 PQR의 넓이를 S(t)라 할 때, :)2` S(t)dt=a-beÑÛ`이다. 두 양의 유리수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오. 11

y'= eÅ`-eÑÅ` 2 y'= eÅ`+eÑÅ` 2

두 함수 y= eÅ`+eÑÅ`2 , y= eÅ`-eÑÅ`2 이 서로의 도함수가 됨을 이용하여 접선의 방정식을 각각 구한다.

접선의 방정식을 구한 후 교점의 x좌표를 구한다.

y= eÅ`+eÑÅ`2 에서 y'= eÅ`-eÑÅ`2

y= eÅ`-eÑÅ`2 에서 y'= eÅ`+eÑÅ`2

이때 p= e^`+eÑ^`2 , q= e^`-eÑ^`2 이라 하면 접선 lÁ의 방정식은

y=q(x-t)+p 접선 lª의 방정식은 y=p(x-t)+q

따라서 두 직선 lÁ, lª의 교점 P의 좌표는 q(x-t)+p=p(x-t)+q

에서 x=t+1 즉, P(t+1, e^`)

S(t)를 구한다.

또한, Q(0, p-tq), R(0, q-tp)이므로 QRÓ=(p-q)(t+1)=(t+1)eÑ^`

따라서

S(t)=;2!;_(t+1)eÑ^`_(t+1)

=;2!;(t+1)Û`eÑ^`

부분적분을 이용하여 정적분을 구한다.

:)2` S(t)dt=:)2` ;2!;(t+1)Û` eÑ^`dt

이때 u(t)=;2!;(t+1)Û`, v'(t)=eÑ^`이라 하면 u'(t)=t+1, v(t)=-eÑ^`이므로

풀이전략

문제풀이

해077-092 올림포스(미적분)06강_사.indd 91 2019-02-15 오후 1:03:04

:)2` S(t)dt=:)2` ;2!;(t+1)Û` eÑ^`dt

=[-;2!;(t+1)Û` eÑ^`]2)+:)2` (t+1)eÑ^`dt

=-;2(; eÑÛ`+;2!;+:)2` (t+1)eÑ^`dt 다시 u(t)=t+1, v'(t)=eÑ^`이라 하면 u'(t)=1, v(t)=-eÑ^`이므로

:)2` S(t)dt=-;2(; eÑÛ`+;2!;+:)2` (t+1)eÑ^`dt

=-;2(; eÑÛ`+;2!;+[-(t+1)eÑ^`]2)+:)2` eÑ^`dt

=-;2(; eÑÛ`+;2!;+(-3eÑÛ`+1)+[-eÑ^`]2)

=-;;Á2°;; eÑÛ`+;2#;+(-eÑÛ`+1)

=-;;Á2¦;; eÑÛ`+;2%;

따라서 a=;2%;, b=;;Á2¦;;이므로 a+b=;2%;+:Á2¦:=11

 11

정적분의 성질과 부분적분법을 이용한다.

ㄱ. f(t)-g(t)=:!e` tÛ``ln`x

t-x dx-:!e` xÛ``ln`x t-x dx =:!e` (tÛ`-xÛ`)`ln`xt-x dx

=:!e` (t+x)`ln`x dx =t:!e` ln`x dx+:!e` x ln`x dx

=t[x ln`x-x]e!+[ xÛ`2 `ln`x]e!-:!e` ;2{; dx =t+ eÛ`2 -[xÛ`

4 ]e!

=t+ eÛ`+14

따라서 f(t)-g(t)는 t에 대한 일차식이다. (참)

부등식의 성질과 함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 함수의 극한값

문서에서 EBS 올림포스 고난도 미적분 답지 정답 (페이지 79-92)