도함수의 활용

05

내신 우수 문항

^기출

01

^④

02

^④

03

^②

04

^⑤

05

^②

06

^⑤

07

^②

08

^③

09

^③

10

^③

11

^①

12

^①

13

^⑤

14

^①

15

^④

16

^③

17

^②

18

^②

19

^③

20

^③

21

^②

22

^;2!;

23

²

본문 64~67쪽

01

y'=eÅ`+(x+1)eÅ`

=(x+2)eÅ`

이므로 점 (0, 1)에서의 접선의 방정식은 y=2x+1

따라서 접선의 x절편은 -;2!;이다.

 ④

02

^{y'= -2_2}_{(2x+1)Û`</sub><sup>=-</sup><sub>(2x+1)Û`}⁴

이므로 점 (-1, -2)에서의 접선의 방정식은

y-(-2)=-4(x+1) y=-4x-6 ^y

O x -32

--6

y=-4x-6

따라서 접선 및 x축, y축으로 둘러싸인 도형은 세 점 (0, 0), (0, -6), {-;2#;, 0} 을 꼭짓점으 로 하는 삼각형이므로 그 넓이는 

;2!;_6_;2#;=;2(;

 ④

03

^y'=2e2x+1이므로 접점의 좌표를 (t, e^2t+1)이라 하면 접선의 방정 식은

y-e^2t+1=2e^2t+1(x-t) 이 접선이 원점을 지나므로 -e^2t+1=2e^2t+1_(-t), 1=2t t=;2!;

따라서 접선의 방정식은 y-eÛ`=2eÛ`{x-;2!;}, y=2eÛ`x

 ②

04

` f(x)=(xÛ`-2x-3)eÅ`에서 f '(x)=(2x-2)eÅ`+(xÛ`-2x-3)eÅ`

=(xÛ`-5)eÅ`

이때 eÅ`>0이므로 함수 f(x)가 감소하는 구간은 f '(x)É0에서

xÛ`-5É0, -'5ÉxÉ'5

즉, 닫힌구간 [-'5, '5 ]에서 함수 f(x)는 감소하므로 a=-'5, b='5

따라서 b-a=2'5

 ⑤

05

f(x)=(1+cos`x)sin`x에서 f '(x)=-sinÛ``x+(1+cos`x)cos`x

=-sinÛ``x+cos`x+cosÛ``x

=-(1-cosÛ``x)+cos`x+cosÛ``x

=2 cosÛ``x+cos`x-1

=(2 cos`x-1)(cos`x+1) 따라서 f '(x)=0에서

cos`x=;2!; 또는 cos`x=-1이므로

x=;3Ò; 또는 x=p 또는 x=;3%;p

ㄱ. 0<x<;3Ò;에서 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 열린구간 {0, ;3Ò;}에 서 증가한다. (참)

ㄴ. ;3Ò;<x<p에서 f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 열린구간 {;3Ò;, p}에 서 f(x)는 감소한다. (참)

ㄷ. p<x<;3%;p에서 f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 열린구간 {p, ;3%;p}

에서 감소한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

 ②

06

f(x)= xÛ`+12x+2 에서 f '(x)=2x(x+2)-(xÛ`+12)

(x+2)Û`

= xÛ`+4x-12(x+2)Û`

=(x+6)(x-2) (x+2)Û`

이고 f '(x)=0에서 x=-6 또는 x=2 따라서 극댓값은

a=f(-6)= 48-4 =-12 극솟값은

b=f(2)=:Á4¤:=4 이므로

b-a=4-(-12)=16

 ⑤

07

^{함수 f(x)=x+}"Ãa-xÛ` 에서

해063-076 올림포스(미적분)05강_사.indd 63 2019-02-15 오후 1:02:42

f '(x)=1+ 1

2"Ãa-xÛ`_(-2x)

=1- x

"Ãa-xÛ`

= "Ãa-xÛ`-x

"Ãa-xÛ`

이고 함수 f(x)가 x=2에서 극댓값을 가지므로 f '(2)= 'Äa-4-2

'Äa-4 =0, '¶a-4=2 a-4=4

a=8

즉, f(x)=x+"Ã8-xÛ` 이므로 극댓값은 b=f(2)=2+'4=2+2=4

따라서 a+b=12

 ②

08

f(x)=x-2 ln`x+ 1 xÛ`에서 f '(x)=1-;[@;- 2xÜ`이므로 xÜ` f '(x)=xÜ`-2xÛ`-2

따라서 g(x)=xÜ`-2xÛ`-2라 하면 g '(x)=3xÛ`-4x=x(3x-4) 이고 x>0이므로 g '(x)=0의 해는 x=;3$;

즉, 함수 xÜ` f '(x)는 x=;3$;에서 극솟값을 가지고 그 극솟값은 {;3$;}Ü` f '{;3$;}=;2^7$;_{1-;2#;-;3@2&;}

=;2^7$;-;2(7^;-;2%7$;

=-;2*7^;

따라서 ;aB;=-;2*7^;

;3$; =-;1$8#;

 ③

09

f(x)=xÛ` ln`x에서

f '(x)=2x ln`x+xÛ`_;[!;=2x ln`x+x f "(x)=2 ln`x+2x_;[!;+1

=2 ln`x+3

이때 곡선이 위로 볼록한 구간은 f "(x)<0을 만족시키는 x의 값의 범 위와 같으므로

2 ln`x+3<0, ln`x<-;2#;

0<x<e^-;2#;

즉, 열린구간 (0, e^-;2#;)에서 곡선 f(x)=xÛ` ln`x는 위로 볼록하다.

 ③

10

f(x)=cosÛ`x+x에서 f '(x)=2 cos`x(-sin`x)+1

=-2 cos`x sin`x+1

f "(x)=-2(-sin`x)sin`x-2 cos`x cos`x

=2 sinÛ``x-2 cosÛ``x

=2(sin`x-cos`x)(sin`x+cos`x) 따라서 f "(x)=0에서

sin`x-cos`x=0이므로 x=;4Ò; 또는 x=;4%;p sin`x+cos`x=0이므로 x=;4#;p 또는 x=;4&;p

이때 x=;4Ò;, x=;4#;p, x=;4%;p, x=;4&;p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 변하므로 함수 f(x)의 변곡점의 개수는 4이다.

 ③

11

f(x)=xÛ`+ax+ln 2x에서 f '(x)=2x+a+ 12x _2=2x+;[!;+a f "(x)=2- 1xÛ`= 2xÛ`-1xÛ`

이때 x>0이므로 f "(x)=0에서 x= '22

즉, 변곡점에서의 접선의 기울기가 2이므로 f '{ '22 }=2_'2

2 + 2 '2+a

=2'2+a=2'2-3 a=-3

이때

f '(x)=2x+;[!;-3= 2xÛ`-3x+1x

=(2x-1)(x-1) x

이므로 함수 f(x)는 x=1에서 극솟값을 가지고 그 극솟값은 f(1)=1+a+ln`2=-2+ln`2

 ①

12

ㄱ. f(-x)=-;2!;x-sin`(-x)

=-;2!;x+sin`x

=-{;2!;x-sin`x}

=-f(x)

이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. (참) ㄴ. 함수 f(x)=;2!;x-sin`x에서

f '(x)=;2!;-cos`x

정답과 풀이 65 이므로 f '{;3Ò;}=;2!;-cos`;3Ò;=0이고 x=;3Ò;의 좌우에서 f '(x)의

부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=;3Ò;에서 극솟값을 갖는다. (거짓)

ㄷ. f "(x)=sin`x이므로 열린구간 (-p, p)에서 f "(x)=0의 해는 x=0으로 단 한 개다. 즉, 변곡점의 개수는 1이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

 ①

13

ㄱ. f(-x)=e<sup>(-x)Û`</sup>+eÛ`_(-x)Û`+e

=e<sup>xÛ`</sup>+eÛ`xÛ`+e=f(x)

이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. (참) ㄴ. f '(x)=e<sup>xÛ`</sup>_2x+2eÛ`x

f "(x)=e^{xÛ`</sup>_2x_2x+e<sup>xÛ`}_2+2eÛ`

=4xÛ`e<sup>xÛ`</sup>+2e<sup>xÛ`</sup>+2eÛ`

이때 모든 실수 x에 대하여 f "(x)>0이므로 변곡점은 존재하지 않 는다. (참)

ㄷ. ㄴ에서 모든 실수 x에 대하여 f "(x)>0이므로 함수 y=f(x)의 그 래프는 아래로 볼록하다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

14

^f(x)=_xÛ`-x+1^{x-1 에서}

f '(x)=(xÛ`-x+1)-(x-1)(2x-1) (xÛ`-x+1)Û`

= -x(x-2) (xÛ`-x+1)Û`

이때 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2이고 x=0에서 극솟값은 f(0)=-1

x=2에서 극댓값은 f(2)=;3!;

이다. 또한 f(-2)=-;7#;

이므로 M=;3!;, m=-1 따라서 M-m=;3!;-(-1)=;3$;

 ①

15

f(x)=cosÜ``x+2 sinÛ``x에서 f '(x)=3 cosÛ``x(-sin`x)+4 sin`x cos`x

=sin`x cos`x(-3 cos`x+4) 그런데 -3 cos`x+4>0이므로 f '(x)=0에서

x=;2Ò; 또는 x=p 이므로

x=;2Ò;에서 극댓값은 f {;2Ò;}=2 x=p에서 극솟값은 f(p)=-1 또한

f {;4Ò;}= '24 +1 f {;4%;p}=- '24 +1

이므로 최댓값은 x=;2Ò;일 때 2이다.

 ④

16

^{방정식 ex+2=x+k에서}

f(x)=e^x+2-x라 하면 f '(x)=e^x+2-1 이므로

e^x+2-1=0, e^x+2=1 즉, x+2=0에서 x=-2

따라서 x=-2에서 함수 f(x)는 극솟값 f(-2)=1-(-2)=3

을 갖는다.

즉, 함수 f(x)=e^x+2-x의 그래프는 그림과 같다.

y y=eÅ ±Û`-x

3

O x -2

따라서 방정식 e^x+2=x+k

즉, e^x+2-x=k가 실근을 가질 조건은 k¾3

이므로 실수 k의 최솟값은 3이다.

 ③

17

f(x)=sin`x, g(x)=k(x-p)라 하면 f '(x)=cos`x이므로 점 (p, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(p)=cos`p=-1

따라서 그림과 같이 닫힌구간 [0, 2p]에서 두 함수 y=f(x), y=g(x) 의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 실수 k의 값의 범위는 -1<kÉ0

y

y=f(x)

y=g(x)

O p x

3p -2 -p2

2p -1

1

해063-076 올림포스(미적분)05강_사.indd 65 2019-02-15 오후 1:02:43

 ②

18

x ln`x¾2x+a에서 x ln`x-2x¾a이고 f(x)=x ln`x-2x라 하면

f '(x)=ln`x+x_;[!;-2=ln`x-1 이므로 f '(x)=0에서 x=e

즉, x=e에서 함수 f(x)는 극솟값 f(e)=-e를 가지므로 함수 f(x)=x ln`x-2x의 그래프는 그림과 같다.

-e

e y

y=xln`x-2x

O x

따라서 부등식 x ln`x-2x¾a를 만족시키기 위해서는 aÉ-e

이므로 실수 a의 최댓값은 -e이다.

 ②

19

²'2 sec`xÉtanÛ``x+k에서 2'2`sec`x-tanÛ``xÉk이므로 f(x)=2'2`sec`x-tanÛ``x라 하면 f '(x)=2'2 sec`x tan`x-2 tan`x secÛ``x

=2 sec`x tan`x('2-sec`x)

따라서 닫힌구간 [-;3Ò;, ;3Ò;]에서 f '(x)=0을 만족시키는 x의 값은

x=-;4Ò; 또는 x=0 또는 x=;4Ò;

이고 x=-;4Ò;에서 극댓값은

f {-;4Ò;}=2'2 sec{-;4Ò;}-tanÛ` {-;4Ò;}=3 x=0에서 극솟값은

f(0)=2'2 sec`0-tanÛ``0=2'2 x=;4Ò;에서 극댓값은

f {;4Ò;}=2'2 sec`;4Ò;-tanÛ``;4Ò;=3 또한

f{-;3Ò;}=2'2 sec`{-;3Ò;}-tanÛ``{-;3Ò;}

=4'2-3

f {;3Ò;}=2'2 sec`;3Ò;-tanÛ``;3Ò;

=4'2-3

이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

y=f(x)

O x -p-4 -p-3

3

-p4 -p3

따라서 부등식 2'2 sec`x-tanÛ``xÉk를 만족시키는 실수 k의 값의 범 위는

k¾3

이므로 실수 k의 최솟값은 3이다.

 ③

20

^dx_{dt =2at,} ^dydt =6atÛ`+1

이고 t=1에서의 점 P의 속력이 '§13 이므로

"Ã(2a)Û`+(6a+1)Û`='§13

40aÛ`+12a-12=0, 10aÛ`+3a-3=0

따라서 모든 실수 a의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하 여 -;1£0;이다.

 ③

21

^dx_{dt =ae}^{at, dy}dt =e^`+;2B;t<sup>-;2!;</sup>이므로 dÛ`x

dtÛ` =aÛ`e^at, dÛ`y

dtÛ`=e^`-;4B;t^-;2#;

즉, aÛ`e<sup>at</sup>=9e<sup>3t</sup>, e^`-;4B;t^-;2#;=e^`-t^-;2#;에서 a=3, b=4

따라서 a+b=7

 ②

22

y=tan`x에서 y'=secÛ``x이므로 점 P(t, tan t) 위에서의 접선 의 방정식은

y-tan`t=secÛ``t(x-t)

이므로 x축과 만나는 점의 좌표는 Q(t-sin`t cos`t, 0) 또한 점 P에서 x축에 내린 수선의 발은 R(t, 0)

(가) 삼각형 PQR의 넓이 S(t)는

S(t)=;2!;_QRÓ_PRÓ

=;2!;_sin`t cos`t_tan`t

=;2!; sinÛ``t

(나)

따라서 lim

Ú0+

S(t) tÛ` = lim

Ú0+

;2!; sinÛ``t tÛ`

정답과 풀이 67 = lim_t`

Ú0+;2!; {sin`t t }Û`

=;2!;_1Û`=;2!;

(다)

 ;2!;

단계 채점 기준 비율

(가) 두 점 Q, R의 좌표를 구한 경우 40`%

(나) S(t)를 구한 경우 30`%

(다) 극한값을 구한 경우 30`%

23

모든 실수 x에 대하여 f '(x)É0 또는 f '(x)¾0

이면 함수 f(x)=ax+2 sin`x가 극값을 갖지 않는다.

(가) 이때 f '(x)=a+2 cos`x이고

a-2Éa+2 cos`xÉa+2

(나) 이므로

a+2É0 또는 a-2¾0 aÉ-2 또는 a¾2

(다) 따라서 자연수 a의 최솟값은 2이다.

(라)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) 극값을 갖지 않을 조건을 구한 경우 40`%

(나) f '(x)의 값의 범위를 구한 경우 30`%

(다) a의 값의 범위를 구한 경우 20`%

(라) a의 최솟값을 구한 경우 10`%

내신 고득점 문항

24

^②

25

^③

26

^②

27

^②

28

^②

29

^③

30

^③

31

^④

32

^①

33

^③

34

^②

35

^①

36

^④

37

^①

38

^⑤

39

^①

40

^⑤

41

^①

42

^②

43

^①

44

^④

45

^①

46

^④

47

^①

48

^②

49

^⑤

50

^;e!;-e-2

51

^;e@;

본문 68~72쪽 7%상위

24

y=ln`x에서 y'=;[!;이고 직선 2x+y+1=0의 기울기는 -2이 므로 이 직선과 수직인 직선의 기울기는 ;2!;이다.

즉, ;[!;=;2!;에서 x=2이므로 접점의 좌표는 (2, ln`2)이다.

따라서 점 (2, ln`2)는 직선 y=;2!;x+b 위의 점이므로 ln`2=;2!;_2+b

b=ln`2-1

따라서 a+b=;2!;+(ln`2-1)=ln`2-;2!;

 ②

25

직선 y=ax-1과 곡선 y=ln`x의 접점을 (t, ln`t)라 하면 y'=;[!;이므로 접선의 방정식은

y-ln`t=;t!;(x-t), y=;t!;x+ln`t-1 yy ㉠ 이때 ㉠이 직선 y=ax-1과 일치하므로

ln`t-1=-1, ln`t=0 t=1

따라서 a=;t!;=1이다.

또한 직선 y=x-1이 곡선 y=bxÛ`에 접하므로

bxÛ`=x-1, bxÛ`-x+1=0 yy ㉡

㉡의 판별식을 D라 하면 D=(-1)Û`-4b=0 b=;4!;

따라서 ab=;4!;

 ③

26

^{y=(x-2)ex+1에서}

y'=e^x+1+(x-2)e^x+1=(x-1)e^x+1

이고 접점을 (t, (t-2)e^t+1)이라 하면 접선의 방정식은

y-(t-2)e^t+1=(t-1)e^t+1(x-t) yy ㉠

㉠이 점 (a, 0)을 지나므로 -(t-2)e^t+1=(t-1)e^t+1(a-t) -(t-2)=(t-1)(a-t) -t+2=-tÛ`+(a+1)t-a

tÛ`-(a+2)t+a+2=0 yy ㉡

이때 접선이 두 개이기 위해서는 ㉡이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므 로

D={-(a+2)}Û`-4(a+2)=aÛ`-4>0 a<-2 또는 a>2

따라서 자연수 a의 최솟값은 3이다.

 ②

해063-076 올림포스(미적분)05강_사.indd 67 2019-02-15 오후 1:02:45

27

f(x)=ax-2 sin`2x에서 f '(x)=a-4 cos`2x

이고 0<x<;2Ò;에서 0<2x<p이므로 -1<cos`2x<1

-4<-4 cos`2x<4

따라서 f '(x)¾0이기 위해서는 a¾4이어야 하므로 실수 a의 최솟값은 4이다.

 ②

28

f(x)=ax-2+ln`(xÛ`+2)에서 f '(x)=a+ 1xÛ`+2_2x

=a+ 2xxÛ`+2

=a+ 2

x+;[@;

이때 x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+;[@;¾2®Éx_;[@;=2'2

(단, 등호는 x=;[@;, 즉 x='2일 때 성립한다.)

이므로 함수 f(x)가 양의 실수 전체의 집합에서 감소하기 위해서는 f '(x)=a+ 2

x+;[@;Éa+ 2

2'2=a+ '22 É0

aÉ- '22

따라서 실수 a의 최댓값은 - '22 이다.

 ②

29

ㄱ. f(x)=ln`(x+1)+ 12x +ax에서 f '(x)= 1x+1 - 1

2xÛ`+a 이므로

f '(1)=a=2>0 (참) ㄴ. ㄱ에서

f '(x)=2axÜ`+2(a+1)xÛ`-x-1 2xÛ`(x+1)

g(x)=2axÜ`+2(a+1)xÛ`-x-1이라 할 때

Ú a+0이면 g(x)=0을 만족시키는 실수 x는 항상 존재한다.

Û a=0이면

g(x)=2xÛ`-x-1=(2x+1)(x-1) 이므로 함수 f(x)는 극값이 존재한다.

Ú, Û에 의하여 함수 f(x)는 항상 극값이 존재한다. (거짓) ㄷ. x=1에서 극솟값을 가지면 ㄴ에서

f '(1)=2a+2(a+1)-1-1

4 =a=0

즉, 극댓값은 x=-;2!;일 때이므로

f {-;2!;}=ln`;2!;-1=-ln`2-1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

30

<sup>{sin`x- '3</sup><sub>2 }</sub>Û`¾0, {cos`x+;2!;}Û`¾0이므로 함수 f(x)가 극댓 값 또는 극솟값을 갖는 실수 x의 개수는 방정식

{sin`x-;2!;}{cos`x+;2!;}=0 의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

즉, sin`x-;2!;=0에서 sin`x=;2!;이므로 x=;6Ò; 또는 x=;6%;p

cos`x+;2!;=0에서 cos`x=-;2!;이므로 x=;3@;p

따라서 실수 x의 개수는 3이다.

 ③

31

ㄱ. f '(x)=-sin`(ln`x)_;[!;이므로 f '(1)=-sin`0_1=0 (참)

ㄴ. 0<x<1에서 ln`x<0이고 lim

x`Ú0+ ln`x=-¦이므로 열린구간 {0, ;2Ò;}에서 항상 f '(x)¾0일 수는 없다. (거짓) ㄷ. f '(e^p)=-sin`(ln`e^p)_ 1e^p

=-sin`p_ 1e^p=0

이고 f '(x)의 부호가 x=e^p의 좌우에서 음에서 양으로 바뀌므로 극 솟값을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ④

32

f(x)= sin`xcos`x+2 에서

f '(x)=cos`x(cos`x+2)-sin`x(-sin`x) (cos`x+2)Û`

=cosÛ``x+2 cos`x+sinÛ``x (cos`x+2)Û`

= 1+2 cos`x (cos`x+2)Û`

따라서 열린구간 (0, 2p)에서 방정식 1+2 cos`x=0을 만족시키는 x 의 값은 cos x=-;2!;이므로

x=;3@;p 또는 x=;3$;p 이므로 그 개수는 2이다.

 ①

정답과 풀이 69

33

^{h(x)= e} _g(x)^{g(x) 에서}

h'(x)=e^g(x)_g '(x){g(x)-1}

{g(x)}Û`

이므로

e ^g(x)_g '(x){g(x)-1}=e^xÜ`-3xÛ`+1_3xÜ`(x-2)(x-3)=0 에서 x=0 또는 x=2 또는 x=3이고

x=0에서 극솟값은 h(0)= e^g(0) g(0)=e x=2에서 극댓값은 h(2)= e^g(2)

g(2)= e-3^-3 x=3에서 극솟값은 h(3)= e^g(3)

g(3)=e 따라서 서로 다른 모든 극값의 곱은 e_ e-3 =-^-3 1

3eÛ`

 ③

34

f '(x)=2xe^-x-xÛ`e^-x

=x(2-x)e^-x 이고 f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2

즉, x=0에서 극솟값은 f(0)=0 x=2에서 극댓값은 f(2)=4e^-2= 4eÛ`

따라서 두 점 (0, 0), {2, 4eÛ` }를 지나는 직선의 기울기는 4

eÛ`-0 2-0 = 2eÛ`

 ②

35

f '(x)= -sin`x e<sup>2x</sup>-cos`x_2e^2x e^4x

= -sin`x-2 cos`x e^2x 이므로 f '(x)=0에서 -sin`x-2 cos`x=0, sin`x

cos`x =tan`x=-2 yy ㉠

이때 ㉠을 만족시키는 x의 값을 열린구간 (0, 2p)에서

a, b{;2Ò;<a<p, ;2#;p<b<2p} 라 하면 x=a의 좌우에서 f '(x)의 값 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값을 갖고,  x=b의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값을 갖는다.

즉, tan`a=tan`a=-2이고 sin`a>0이므로 sin`a= 2

'5= 2'55

 ①

36

서로 다른 두 실수 a, b에 대하여 f { a+b2 }>`f(a)+f(b)

2

를 만족시키기 위해서는 함수 y=f(x)의 그래프가 위로 볼록해야 한다.

f '(x)=2 cos`x(-sin`x)

f "(x)=-2 sin`x(-sin`x)+2 cos`x(-cos`x)

=2 sinÛ``x-2 cosÛ``x

=2 sinÛ``x-2(1-sinÛ``x)

=4 sinÛ``x-2

이때 함수 y=f(x)의 그래프가 위로 볼록하기 위해서는 f "(x)<0이어 야 하므로

4 sinÛ``x-2<0, sinÛ``x<;2!;

- '22 <sin`x<'2 2

즉, -;4Ò;<x<;4Ò;이므로 양의 유리수 k의 최댓값은 k=;4!;

 ④

37

y=xÝ`-6xÛ`에서 y'=4xÜ`-12x y"=12xÛ`-12 이므로 y"=0에서 x=-1 또는 x=1

따라서 두 변곡점은 (-1, -5), (1, -5)이므로 두 변곡점 사이의 거 리는

1-(-1)=2

 ①

38

^f(x)=ex+2+(a-2)xÛ`+x+1에서 f '(x)=e^x+2+2(a-2)x+1

f "(x)=e^x+2+2(a-2)

이때 e^x+2>0이므로 f "(x)¾0이기 위해서는 2(a-2)¾0

a¾2

따라서 실수 a의 최솟값은 2이다.

 ⑤

39

y={ln`;[A;}Û`=(ln`a-ln`x)Û`

=(ln`a)Û`-2(ln`a)(ln`x)+(ln`x)Û`

이고 y'=- 2 ln`a

x +2 ln`x

x =2 ln`x-2 ln`a x

y"=;[@;_x-(2 ln`x-2 ln`a) xÛ`

= -2 ln`x+2 ln`a+2 xÛ`

이때 y"=0에서 -2 ln`x+2 ln`a+2=0이므로 ln`x=ln`a+1=ln`(ae)

해063-076 올림포스(미적분)05강_사.indd 69 2019-02-15 오후 1:02:45

x=ae

즉, 변곡점은 (ae, 1)이므로 변곡점에서의 접선의 방정식은 y-1= 2ae (x-ae), y= 2

ae x-1 이고 이 접선이 점 (3, 5)를 지나므로 5= 6ae -1, ae=1

따라서 a=;e!;

 ①

40

ㄱ. x=-1, x=1, x=3에서 f '(x)=0이고 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌므로 열린구간 (-2, 4)에서 함수 f(x)가 극값을 갖는 x의 값의 개수는 3이다. (참)

ㄴ. f '(2)의 값이 존재하므로 함수 f(x)는 x=2에서 미분가능하다.

(거짓) ㄷ. f '(x)는 -1<x<0, 0<x<1, 3<x<4에서 각각 1개씩의 극값 을 갖고 x=0, x=2에서 극솟값을 가지므로 함수 f(x)의 변곡점의 개수는 5이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ⑤

41

dx ln{ f(x)}Û`=^d d

dx {2 ln` f(x)}

=2 f '(x)

`f(x)

dx ln{ f(x)}Û`¾0에서 f(x)>0이므로 f '(x)¾0이어야 한다. 즉, 함d 수 f(x)가 증가하므로 주어진 그래프에서 증가하는 x의 값의 범위는 -3ÉxÉ-1 또는 x¾3

따라서 만족시키는 10 이하의 정수 x의 개수는 3+8=11

 ①

42

f '(x)="Ã4-xÛ`+x_ 1

2"Ã4-xÛ`_(-2x)

=(4-xÛ`)-xÛ`

"Ã4-xÛ`

= 4-2xÛ`

"Ã4-xÛ`

이때 f '(x)=0에서 x=-'2 또는 x='2 이고 x=-'2 에서 극솟값은 f(-'2 )=-'2_'2=-2 x='2 에서 극댓값은 f('2)='2_'2=2

또한 f(2)=0이므로 함수 f(x)의 최솟값이 -2가 되기 위해서는 -2ÉaÉ-'2

따라서 실수 a의 최댓값은 -'2 이다.

 ②

43

^{f '(x)=;[!;- a}_{xÛ`</sub><sup>= x-a</sup><sub>xÛ`} 이고 함수 f(x)가 x=2에서 극솟값을 가지므로

f '(2)= 2-a4 =0 a=2

즉, f(x)=ln`x+;[@;이므로 극솟값은 f(2)=ln`2+1

이고

f(1)=2, f(4eÛ`)=2 ln`2+2+ 1 2eÛ`

이므로

M=2 ln`2+2+ 1

2eÛ`, m=ln`2+1 따라서 M-m=ln`2+1+ 12eÛ`

 ①

44

선분 CF는 원의 지름과 같고 조건 (나)에 의하여 육각형 ABCDEF의 넓이가 최댓값을 가질 조건은 사각형 CDEF의 넓이가 최 댓값을 가질 조건과 같다.

따라서 원의 중심을 O라 하고 점 E에서 선분 CF에 내린 수선의 발을 H, ∠EOH=h {0<h<;2Ò;}라 하자.

F H O

h C

B D

A E

OHÓ=4 cos`h, EHÓ=4 sin`h이므로 육각형 ABCDEF의 넓이를 S(h) 라 하면

S(h)=2_;2!;(8+8 cos`h)_4 sin`h

=32 sin`h+32 sin`h cos`h S'(h)=32 cos`h+32 cosÛ``h-32 sinÛ``h

=32 cos`h+32 cosÛ``h-32(1-cosÛ``h)

=64 cosÛ``h+32 cos`h-32

=32(2 cosÛ``h+cos`h-1)

=32(2 cos`h-1)(cos`h+1) 이고 S'(h)=0에서 0<h<;2Ò;이므로 cos`h=;2!;이고 h=;3Ò;

즉, h=;3Ò;일 때 S(h)는 극대이자 최대이므로 S(h)의 최댓값은

정답과 풀이 71 S{;3Ò;}=32 sin`;3Ò;+32 sin`;3Ò; cos`;3Ò;

=32_ '32 +32_'3 2 _;2!;

=16'3+8'3

=24'3

 ④

문서에서 EBS 올림포스 고난도 미적분 답지 정답 (페이지 63-71)