우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

※ 삼각함수의 성질

(복습)

 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥), (𝐴 ≠ 0) 의 진폭과 주기  최대값:

𝐴

, 최소값:

− 𝐴

 각속도: ω  주기:

𝑇 =

2π ω

(=

360° ω

)

 주파수:

𝑓 =

1 𝑇

=

ω 2π

(=

ω 360°

)

2π ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥  위상(phase) 이동  𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅), (𝐴 ≠ 0) 는 𝑥 =_ω∅ 에서 시작하여, 𝑥 = 2π_ω +_ω∅ 에서 한 주기가 끝난다.  그러므로, 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 그래프는 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥) 의 그래프를 _ω∅ 만큼 평행이동.  이때 ∅ ω 를 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 위상이동 . ∅ ω> 0 일 때: 오른쪽 방향으로 수평 이동 ∅ ω < 0 일 때: 왼쪽 방향으로 수평이동 ∅ ω 2π ω + ∅ ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥 위상이동=∅

5-8. 역 삼각함수

(복습)

 역함수: 오직 1:1 함수에만 존재함. 사인함수 𝑦 = sin 𝑥 의 역함수가 존재하는가?  1:1 함수가 아닌 경우: 정의역을 축소함으로써, 축소된 범위 내에서 1:1 함수가 되도록 할 수 있음. 5-8-1. 사인함수의 역함수  사인함수의 정의역을(−π₂,π₂) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = sin 𝑥, (−π₂ ≤ 𝑥 ≤ π₂ ) 는 1:1 함수이므로 역함수를 갖는다. _𝑦 𝑥 0 −π 2 π 2 2π -π 0 𝑦 𝑥 π 1 −1 𝑏  사인함수의 역함수: 아크사인 함수 (arcsine function) −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에 대해서 𝑥 = sin 𝑦 𝑦 = sin−1𝑥  그러므로, 『 𝑦 는 사인함수 값이 𝑥 일 때의 각』

예제 1) 다음 값을 구하라. (1) sin−1₁ 𝑦 = sin−1_{1 1 = sin 𝑦 사인함수의 값이 1이 되기 위한 각}  사인함수의 값이 1이 되기 위한 각은 수없이 많음: −3π₂ , π₂, …  아크사인 정의에 의해 구간은: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂  따라서, sin−11 =𝜋₂ (2) sin−1₍₋1 2) 𝑦 = sin−1₍₋1 2) − 1 2 = sin 𝑦  구간 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에서 사인함수의 값이 −1₂이 되기 위한 각은?  따라서, sin−1(−1₂) = −π₆ - 3𝜋₂ - 𝜋₂ 0 𝑥 𝑦 𝜋 2 1 −1 - 𝜋₆ - 5𝜋₆ 7𝜋₆

 아크사인 함수의 그래프  아크사인 함수의 정의에 의해 축소된 사인함수 𝑦 = sin 𝑥, −𝜋 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면_, 아크사인 함수 _{𝑥 = sin 𝑦 (𝑜𝑟, 𝑦 = sin}−1_{𝑥, −}𝜋 2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 2, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1) 가 됨.  이것은 축소된 사인함수 𝑦 = sin 𝑥, −𝜋₂ ≤ 𝑥 ≤ 𝜋₂ 의 그래프를 직선 𝑦 = 𝑥 에 관하여 대칭한 것. 𝑦 𝑥 0 −π 2 π 2 1 −1 𝑦 = sin 𝑥, −𝜋 2≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 π 2 1 -1 −π 2 𝑦 = sin−1_{𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1} 𝑦 = 𝑥

5-8-2. 코사인함수의 역함수  코사인함수 𝑦 = cos 𝑥 에서 𝑦 = b 가 되는 𝑥 는 무수히 많으므로, 함수 𝑦 = cos 𝑥 는 구간 (−∞, ∞) 상에서 일대일 함수가 아니다.  그러나, 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥 의 정의역 구간을 (0, π) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 는 1:1 함수이므로 역함수를 갖는다.  이 축소된 코사인함수의 역함수를 역코사인 함수라 하고, 𝑦 = cos−1_{𝑥 로 표기. (아크코사인 𝑥 라 함)} 3π 𝜋 2 0 𝑦 𝑥 π 1 −1 𝑏 2π −𝜋 2 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1

 아크코사인 함수 (arccosine function)의 정의 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에 대해서 𝑦 = cos−1_{𝑥 𝑥 = cos 𝑦} ※ note: 아크코사인 함수에서는 축소된 코사인함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로, 𝑥와 𝑦의 구간이 변경됨 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π)  또한, 𝑦 = cos−1_{𝑥 는 𝑥 = cos 𝑦 를 의미하므로, 『𝑦 는 코사인함수 값이 𝑥 일 때의 각』}  함수와 그 역함수에 관한 성질에 의해, 다음이 정의 됨. cos−1_{(cos 𝑦) = 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ π} cos−1(cos 𝑥) = 𝑥, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

예제 2) 다음 값을 구하라. (1) co𝑠−1₀ 𝑦 = cos−1_{0 0 = cos 𝑦 코사인함수의 값이 0 이 되기 위한 각}  코사인함수의 값이 0 이 되기 위한 각은 수없이 많음: −π₂,π₂,3π₂ …  아크코사인 정의에 의해 구간은: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π  따라서, cos−1_{0 =}𝜋 2 (2) cos−1(−1₂) 𝑦 = cos−1₍₋1 2) − 1 2 = cos 𝑦  구간 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에서 코사인함수의 값이 −1₂이 되기 위한 각은?  따라서, cos−1₍₋1_{) =} 2π 0 ₀ 𝑥 𝑦 𝜋 2 1 −1 3𝜋 2 −𝜋 2 5𝜋₂ 4𝜋 3 2𝜋 3 8𝜋 3 π −1 2

 아크코사인 함수의 그래프  아크코사인 함수의 정의에 의해 축소된 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면, 아크사인 함수 𝑥 = cos 𝑦 (𝑜𝑟, 𝑦 = cos−1𝑥, 0 ≤ 𝑦 ≤ π , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1) 가 됨.  이것은 축소된 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 의 그래프를 직선 𝑦 = 𝑥 에 관하여 대칭한 것. 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 𝑦 = cos−1𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1

5-8-3. 탄젠트함수의 역함수  탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥 에서 𝑦 = b 가 되는 𝑥 는 무수히 많으므로, 함수 𝑦 = tan 𝑥 는 구간 (−∞, ∞) 상에서 일대일 함수가 아니다.  그러나, 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥 의 정의역 구간을 (−π₂, π₂) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = tan 𝑥, −π₂ < 𝑥 < π₂ 는1:1 함수이므로 역함수를 갖는다.  이 축소된 탄젠트함수의 역함수를 역탄젠트 함수라 하고, 𝑦 = tan−1_{𝑥 로 표기. (아크탄젠트 𝑥 라 함)} 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2 𝑦 𝑥 0 1 −1 𝜋 2 −𝜋 2 𝜋 2 3𝜋 2 −3𝜋 2 −π π 𝒚 = 𝒃

 아크탄젠트 함수 (arctangent function)의 정의 −∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ < 𝑦 < π₂ 에 대해서 𝑦 = tan−1_{𝑥 𝑥 = tan 𝑦} ※ note: 아크탄젠트 함수에서는 축소된 탄젠트함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로, 𝑥와 𝑦의 구간이 변경됨 (−∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ < 𝑦 < π₂)  또한, 𝑦 = tan−1_{𝑥 는 𝑥 = tan 𝑦 를 의미하므로, 『𝑦 는 탄젠트함수 값이 𝑥 일 때의 각』}  함수와 그 역함수에 관한 성질에 의해, 다음이 정의 됨. tan−1_{(tan 𝑦) = 𝑦, −}π 2 < 𝑦 < π 2 𝑡𝑎𝑛−1_{(cos 𝑥) = 𝑥, − ∞ < 𝑥 < ∞}

예제 3) 다음 값을 구하라. (1) tan−1₁ 𝑦 = tan−1_{1 1 = tan 𝑦 탄젠트함수의 값이 1 이 되기 위한 각}  탄젠트함수의 값이 1 이 되기 위한 각은 수없이 많음: −3π₄ , π₄ , 5π₄ …  아크탄젠트 정의에 의해 구간은: −∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂  따라서, tan−1_{1 =}𝜋 4 (2) tan−1(− 3) 𝑦 = tan−1_{(− 3) − 3 = tan 𝑦}  구간 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에서 탄젠트함수의 값이 − 3 이 되기 위한 각은? x y 0 1 −1 𝜋 2 −𝜋 2 𝜋 2 3𝜋 2 −3𝜋 2 −π π π 4 −3π 4 5π 4 −𝜋 3 −4𝜋 3 2𝜋₃ - 3

 아크탄젠트 함수의 그래프  아크탄젠트 함수의 정의에 의해 축소된 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥, −π 2 < 𝑥 < π 2 에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면_, 아크탄젠트함수 _{𝑥 = tan 𝑦 (𝑜𝑟, 𝑦 = tan}−1_{𝑥, −}π 2 < 𝑦 ≤ π 2, −∞ < 𝑥 < ∞) 가 됨.  이것은 축소된 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥, −π₂ < 𝑥 < π₂ 의 그래프를 직선 𝑦 = 𝑥 에 관하여 대칭한 것. 𝑦 = tan−1_𝑥 𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2 (−π₂< 𝑥 <π₂ & −∞ < 𝑦 < ∞) _{(−∞ < 𝑥 < ∞ & −}π 2 < 𝑦 < π 2)

예제 4) 다음 값을 구하라. (1) sin[(cos−1₍ 3 2)] 𝑦 = cos−1(₂3) ₂3= cos 𝑦 코사인함수의 값이 3 2 이 되기 위한 각.  아크코사인 정의에 의해 구간 0 < 𝑦 < π 에서 코사인함수의 값이 ₂3 이 되기 위한 각은 π 6 , 따라서 𝑦 = cos −1 3 2 = 𝜋 6  그러므로, sin[(cos−1₍ 3 2)] = sin π 6 = 1 2 (2) cos[tan−1_{(− 1)]} 𝑦 = tan−1_{(− 1) − 1 = tan 𝑦 탄젠트함수의 값이 −1 이 되기 위한 각.}  아크탄젠트 정의에 의해 구간 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에서 탄젠트함수의 값이 −1이 되기 위한 각은 −π₄ , 따라서 𝑦 = tan−1_{(−1) = −}𝜋 4  그러므로, cos[tan−1_{(− 1)] = cos −}π 4 = 2 2

예제 5) 다음 값을 구하라. (1) sin[(tan−1₍1 2)] 𝑦 = tan−1(1₂) 1₂= tan 𝑦  𝑦 는 탄젠트함수의 값이 1₂ 이 되기 위한 각.  또한, 1 2= tan 𝑦 > 0 이므로, 각 𝑦 는 1/4분면 또는 3/4분 면의 각.  아크탄젠트 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 1/4분 면의 각이 되어야 함. 0 < 𝑦 < π 2  직각삼각형 (피타고라스 정리) tan 𝑦 = 1₂  최종적으로, sin[(tan−1₍1_{)] = sin 𝑦 =} 1 2 1 5 𝑦 𝑦 𝑥 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos

예제 6) 다음 값을 구하라. (1) cos[(sin−1₍₋1 3)] 𝑦 = sin−1₍₋1 3) − 1 3= sin 𝑦  𝑦 는 사인함수의 값이 −1₃ 이 되기 위한 각.  또한, −1₃= sin 𝑦 < 0 이므로, 각 𝑦 는 3/4분면 또는 4/4분 면의 각.  아크사인 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 4/4분 면의 각이 되어야 함. −π₂ < 𝑦 < 0  직각삼각형 (피타고라스 정리) sin 𝑦 = −1₃  최종적으로, cos[(sin−1₍₋1 3)] = cos 𝑦 = 2 2 3 3 1 2 2 𝑦 𝑦 𝑥 (2 2, −1) −1 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos