하급문제
작성자 : 장지경
1. 다음 중 참인 명제는? ① 사람은 꽃보다 아름답다. ② 세계에서 가장 높은 산은 에베레스트이다. ③ 4+2 = 5 ④ x+1 = 3 ⑤ 삼각형의 외각의 크기의 합은 180◦이다. 2. 다음 중 명제 ‘두 수 a, b 중 적어도 하나가 0이면 두 수 a, b 의 곱 ab 는 0이다.’의 가정에 해당하는 것은? ① a = 0 ② b = 0 ③ ab = 0 ④ a = 0 그리고 b = 0 ⑤ a = 0 또는 b = 0 3. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① 3x+5 =-1 ② 2와 5의 차는 -3이다. ③ 모든 소수는 분수로 나타낼 수 있다. ④ 정삼각형의 세 변의 길이는 같다. ⑤ a, b 가 홀수이면 a+b 는 짝수이다. 4. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 평행선과 한 직선이 만나서 이루어지는 동위각의 크기는 같다. ② 한 직선에 평행한 두 직선은 서로 평행하다. ③ 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 정삼각형이다. ④ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ⑤ 세 변의 길이가 각각 같은 두 삼각형은 합동이다. 5. 다음은 두 선분 AC, BD가 점 O에서 만날 때, OA = OC, OB = OD이면 ABꁚ DC임을 증명하는 과정이다. □ 안에 들어갈 내용으로 적합하지 않은 것은? O C D A B [가정] OA = OC, OB = OD [결론] ABꁚ DC [증명] △AOB와 △COD에서 OA = OC, OB = OD …… ㉠ ∠AOB = ∠COD …… ㉡( ① ) ㉠, ㉡ 에서 △AOB≡△COD( ② 합동) 따라서, ∠OAB = ③ , 즉 ④ 의 크기가 같으므로 ⑤ ① 맞꼭지각 ② SAS ③ ∠ODC ④ 엇각 ⑤ ABꁚ DC 6. 다음 중 정리인 것은? ① 두 변의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. ② 세 변의 길이가 같은 삼각형은 정삼각형이다. ③ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ④ 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형은 평행사변형이다. ⑤ 한 내각의 크기가 직각인 삼각형은 직각삼각형이다. 7. 다음 그림의 △ABC에서 변 BC의 중점을 D라 하자. 점 D에서 변 AB, AC에 내린 수선의 발을 E, F라 할 때, DE = DF이면 △ABC는 이등변 삼각형임을 증명하는데 쓰이지 않은 것은? B C A D F E ① DE = DF ② BD = DC ③ ∠B = ∠C ④ ∠DEB = ∠DFC ⑤ △DBE≡△DCF8. 다음 중 명제와 그 역이 모두 참인 것은? ① x = 3이면 2x - 1 > 0이다. ② n이 짝수이면 2n도 짝수이다. ③ m이 자연수일 때, m이 3의 배수이면 m2도 3 의 배수이다. ④ x > 6이면 x > 4이다. ⑤ a > 0이고 b > 0이면 a + b > 0이다. 9. 다음 명제의 역을 각각 말하여라. 또, 그 역의 참, 거짓을 말하여라. ⑴ ac < bc이면 a < b이다. ( a, b, c는 정수) ⑵ ∠A > 90◦이면 △ABC는 둔각삼각형이다. ⑶ △ABC≡△DEF이면 AB = DE이다. ⑷ 대응하는 세 쌍의 각의 크기가 각각 같은 두 삼각 형은 합동이다. 10. 다음 명제 중 거짓인 것은? ① 12는 3의 배수이다. ② 두 홀수의 합은 홀수이다. ③ 두 자연수의 합은 자연수이다. ④ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ⑤ 두 직선이 한 점에서 만날 때, 맞꼭지각의 크기 는 같다. 11. 다음 명제 중 참인 것은? ① 2의 배수는 4의 배수이다. ② 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다. ③ a > b 이면 ac > bc 이다. ④ a > b 이면 a + c > b + c 이다. ⑤ a+b 가 자연수이면 a, b 도 자연수이다. 12. 다음 중 정리인 것은? ① 정삼각형의 세 변의 길이는 모두 같다. ② 직사각형의 네 각의 크기는 모두 같다. ③ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. ④ 마름모의 네 변의 길이는 모두 같다. ⑤ 두 점 A, B를 잇는 가장 짧은 선은 선분이다. 13. 다음에서 참인 명제는? ① ac = bc이면 a = b이다. ② 2의 배수는 4의 배수이다. ③ 정사각형의 네 변의 길이는 모두 같다. ④ 원은 모두 합동이다. ⑤ ab가 짝수이면 a, b 모두 짝수이다. 14. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 두 직각삼각형은 빗변의 길이와 한 예각의 크기 가 각각 같다. ② 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. ③ 이등변삼각형이 두 밑각의 크기는 같다. ④ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ⑤ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 이 등분한다. 15. 다음 용어의 정의를 말하여라. ⑴ 동위각 ⑵ 예각 ⑶ 둔각 ⑷ 합동 16. 다음 명제 중 참인 것은? ① 두 직선이 한 직선과 만나서 생기는 동위각의 크 기는 같다. ② 두 변과 그 끼인각의 크기가 각각 같은 두 삼각 형은 서로 합동이다. ③ a+b가 짝수이면, a, b는 짝수이다. ④ ab > 0이면 a > 0, b > 0이다. ⑤ △ABC에서 ∠A < 90◦이면 예각삼각형이다. 17. 다음 <보기>에서 명제의 개수를 구하여라. <보기> ㉠ a > b이면 a + c > b + c이다. ㉡ 해는 동쪽에서 뜬다. ㉢ x+3x = 4x-1 ㉣ g.o.d는 노래를 잘 부른다.
18. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. ② 공배수는 최소공배수의 배수이다. ③ 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 정삼각형이다. ④ 두 직선이 만날 때 맞꼭지각의 크기는 서로 같다. ⑤ 세 내각의 크기가 같은 삼각형은 정삼각형이다. 19. 다음 <보기> 중 참인 명제의 개수를 a, 거짓인 명제의 개수를 b라 할 때, a-b의 값은? <보기> ㉠ 한라산은 높은 산이다. ㉡ 맞꼭지각의 크기는 같다. ㉢ ac = bc이면 a = b이다. ㉣ 우리 반에는 키가 큰 학생이 많다. ㉤ 4-2 ㉥ 사람은 동물이다. ㉦ 소수는 홀수이다. ㉧ 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다. ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 20. 다음 중 역이 참인 명제는? ① 2는 짝수이다. ② x = y이면 ax =ay이다. ③ x > 0이면 - x+ 4 < 3이다. ④ a = 0이고 b = 0이면 ab = 0이다. ⑤ 자연수는 유리수이다. 21. ‘정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 하 여 어떤 명제가 참임을 밝히는 것을 이라고 한다.’ 에서 안에 알맞은 것은? ① 용어 ② 정의 ③ 증명 ④ 정리 ⑤ 명제 22. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① x + 4 > 5 ② 채송화는 동물이다. ③ 3 = 4 ④ x = 2이면 2x - 1 < 4이다. ⑤ 정사각형은 평행사변형이다. 23. 다음은 각각 어떤 용어에 대한 정의인지 말하여라. ⑴ 네 각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑵ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ⑶ 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑷ 한 쌍의 대변이 평행한 사각형 24. 다음을 정의와 정리로 구분하여라. ⑴ 두 직선이 한 점에서 만나서 생기는 네 각 중에서 마주 보고 있는 한 쌍의 각이 맞꼭지각이다. ⑵ 두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 맞꼭지각의 크기는 같다. 25. 다음 두 직각삼각형 ABC와 DEF가 합동이 되는 경우가 아닌 것은? A B C D E F ① AB = DE, AC = DF ② AB = DE, BC = EF ③ AB = DE, ∠B = ∠E ④ ∠B = ∠E, ∠A = ∠D ⑤ BC = EF, AC = DF 26. 다음 중 용어의 정의가 잘못 짝지어진 것은? ① 정삼각형 : 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형 ② 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ③ 직사각형 : 네 각의 크기가 모두 같은 사각형 ④ 평행사변형 : 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같은 사각형 ⑤ 마름모 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
27. 다음 명제를 「∼이면 ∼이다.」의 꼴로 나타내어라. ⑴ 정삼각형의 세 내각의 크기는 같다. ⑵ 평행사변형은 마름모이다. 28. 다음 명제의 역이 참인 것은? ① a > 0, b > 0이면 a + b > 0이다. ② 6의 배수는 3의 배수이다. ③ a = 1, b = 2이면 a+b = 3이다. ④ 두 삼각형이 합동이면 그 넓이는 같다. ⑤ 이등변삼각형은 정삼각형이다. 29. 다음 그림에서 명제 ‘ AC와 BD가 점 O에서 만 나고 OA = OC이고 OB = OD이면 ABꁚ DC이 다.’를 설명할 때, 사용되는 성질이 아닌 것은? A D C B O ① 합동인 두 삼각형은 세 쌍의 대응각의 크기가 각 각 같다. ② 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각 의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다. ③ 맞꼭지각의 크기는 서로 같다. ④ 평행선에서 동위각의 크기는 서로 같다. ⑤ 두 쌍의 대응하는 변의 길이가 각각 같고 그 끼 인각의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이다. 30. 다음 중 정의인 것은? ① 맞꼭지각은 크기가 같다. ② 평행사변형은 사각형이다. ③ 정사각형은 평행사변형이다. ④ 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다. ⑤ 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모이다. 31. 다음 명제 중 참인 것은? ① a+b = 3이면 a = 1, b = 2이다. ② 3의 배수는 6의 배수이다. ③ ax = bx 이면 a = b 이다. ④ n+1이 홀수이면 n 은 짝수이다. ⑤ 예각삼각형은 정삼각형이다. 32. 다음 명제의 역을 구하고 그 명제의 역이 참인지 거짓인지 말하여라.
⑴ △ABC에서 AB = BC = CA이면 ∠A = 60◦ 이다. ⑵ 직사각형의 두 대각선의 길이는 같다. ⑶ x = 2이면 x+3 = 5이다. 33. 다음 중 용어의 정의가 잘못된 것은? ① 다각형은 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형이다. ② 둔각삼각형은 한 각이 둔각인 삼각형이다. ③ 맞꼭지각은 두 직선이 한 점에서 만날 때 생기는 네 개의 교각 중에서 서로 마주보는 각이다. ④ 선분은 두 점을 잇는 가장 짧은 선이다. ⑤ 유리수는 분모, 분자가 정수이며 분모는 0이 아 닌 분수로 나타낼 수 있는 수이다. 34. 다음 명제에서 가정과 결론을 말하여라. ⑴ 두 수 a, b가 자연수이면 a+b도 자연수이다. ⑵ 3x-12 = 0이면 x = 4이다. ⑶ 두 삼각형이 합동이면 대응하는 세 쌍의 각의 크기 는 각각 같다. ⑷ 4의 약수는 8의 약수이다. 35. 다음 명제의 역을 말하여라. ⑴ 5의 배수는 10의 배수이다. ⑵ 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다.
36. 다음 그림에서 △ABC는 이등변삼각형이고, ∠BAD = ∠CAE이다. △ADE가 이등변삼각형임을 증명하려고 할 때, □ 안에 들어갈 내용을 순서대로 나열한 것은?
B
D E C A
△ABD와 △ACE에서 △ABC는 이등변 삼각형이므로 ∠ABD = ∠ACE 가정에서 ∠BAD = ∠CAE 따라서, 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 같으므로 △ABD≡△ACE( ASA 합동) ∴ ① AB = AC, AD = AE ② AD = AE, AB = AC ③ ∠B = ∠C, AD = AE ④ ∠B = ∠C, AB = AC ⑤ AB = AC, BD = CE 37. 다음 계산에서 잘못된 부분을 모두 찾아 바르게 고치고, 정답을 구하여라.
( 2y2)3÷y6× ( y2×y4) = 2y6÷y6× ( y2×y4) = 2y 6 y6 × ( y 2 ×y4) = 2×y8= 2y8 38. 다음은 ‘이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같 다.’를 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 내용을 순 서에 맞게 짝지은 것은? 먼저 ∠A의 이등분선과 BC와의 교점을 M이라 하자. B C A M △ABM과 ㈎ 에서 AB = AC …… ㉠ AM은 공통 …… ㉡ ㈏ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의해서 △ABM≡ ㈎ ∴ ㈐ ㈎ ㈏ ㈐ ① △ACM ∠B = ∠C AB = AC ② △ACM ∠BAM = ∠CAM ∠B = ∠C ③ △ACM ∠BAM = ∠CAM BM = CM ④ △ABC ∠BAM = ∠CAM ∠B = ∠C ⑤ △ABC ∠B = ∠C AB = AC 39. 다음에서 명제를 찾고, 그것의 참, 거짓을 말하여라. ⑴ 3+2 = 6 ⑵ 모든 다각형의 외각의 크기의 합은 360◦이다. ⑶ 두 자연수의 합은 자연수이다. ⑷ 모든 정삼각형은 합동이다. ⑸ 나는 훌륭한 과학자가 되고 싶다. 40. 다음 명제 중 그 역이 참인 것은? ① 사람은 동물이다. ② 8의 약수는 4의 약수이다. ③ 정삼각형은 예각삼각형이다. ④ 소수는 홀수이다. ⑤ a > 0, b > 0이면 a + b > 0이다.
41. 다음 그림에서 △DAC, △ECB가 정삼각형일 때, AE = DB임을 증명할 때, 어떤 두 삼각형이 합 동임을 밝혀야 하는가? B C A E D F ① △DAC≡△ECB ② △ACE≡△DAB ③ △ACE≡△DCB ④ △DAB≡△DCB ⑤ △ABE≡△BCE 42. 다음 중 명제와 그 역이 모두 참인 것은? ① 짝수는 4의 배수이다. ② a 가 홀수, b 가 짝수이면 a+b 는 홀수이다. ③ 소수는 모두 홀수이다. ④ x + y > 0이면 x > 0이고 y > 0이다. ⑤ 절대값이 가장 작은 수는 0이다. 43. 다음 중 명제는 거짓이고, 그 역이 참인 것은? ① 3의 약수는 9의 약수이다. ② 반지름의 길이가 같은 두 원은 합동이다. ③ x2= 4이면 x = 2이다. ④ a < 0, b < 0이면 ab > 0이다. ⑤ 마름모는 평행사변형이다. 44. 다음 중 명제인 것은? ① 2+3 = 6 ② 5x - 1 < 0 ③ 나팔꽃은 아름답다. ④ 화성은 멀리 있다. ⑤ 나는 위대한 수학자가 되고 싶다. 45. 다음 중 정리인 것은? ① 평각은 180◦이다. ② 동위각은 평면 위에서 두 직선이 다른 한 직선과 만나서 이루는 같은 위치에 있는 각이다. ③ 원소의 개수가 무한히 많은 집합은 무한집합이다. ④ 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다. ⑤ 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 46. 다음 명제의 가정과 결론을 말하고, 참, 거짓을 판 별하여라. ⑴ a > b이면 a + c > b + c이다. ⑵ 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다. ⑶ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. ⑷ n이 홀수이면 n+1은 홀수이다. 47. 다음 명제의 역을 말하여라. ⑴ a > b이면 a + c > b + c이다. ⑵ 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다. ⑶ 8의 약수는 4의 약수이다. 48. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① 12는 3의 배수이다. ② 5 - 2 < 3 ③ x+3 = 5 ④ x = 3일 때, x+1 = 5이다. ⑤ 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다. 49. 다음 <보기> 중 명제의 개수를 구하여라. <보기> ㉠ 이 꽃의 향기는 무척 향기롭다. ㉡ 3의 배수는 모두 홀수이다. ㉢ x-2 = 4 ㉣ a = b 이면 ac = bc 이다. ㉤ 4의 약수는 2의 배수이다. 50. 명제 ‘ ac = bc 이면 a = b 이다’의 역은? ① a = b 이면 ac = bc 이다. ② a = b 이면 ac /= bc 이다. ③ a /= b 이면 ac /= bc 이다. ④ ac = bc 이면 a /= b 이다. ⑤ ac /= bc 이면 a = b 이다.
51. 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라. 두 수 a, b가 홀수이면 a+b는 홀수이다. 52. 다음은 「삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦ 이다.」를 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써 넣어라. [가정] ∠A, ∠B, ∠C는 삼각형의 세 내각이다. [결론] ∠A+∠B+∠C = 180◦ A E B C D [증명] 점 C에서 BA에 평행한 CE를 긋고, BC를 C쪽으로 연장하면 ∠A = ⑴ (엇각) ∠B = ⑵ (동위각) ∴ ∠A + ∠B + ∠C = ⑴ + ⑵ + ∠ACB = 180◦ 53. 명제 ‘두 삼각형이 합동이면 대응하는 세 변의 길 이는 각각 같다.’를 가정과 결론으로 나눌 때, 가정에 해당하는 것은? ① 두 삼각형이다. ② 두 삼각형이 합동이다. ③ 세 변의 길이는 각각 같다. ④ 대응하는 세 변의 길이는 각각 같다. ⑤ 세 변의 길이가 각각 같은 두 삼각형은 합동이다. 54. 선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점을 P라 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은? A B P M ① ∠APM = ∠BPM ② PA = PB ③ ∠PAM = ∠PBM ④ AM = PM ⑤ △PAM≡△PBM 55. 다음 <보기>에서 거짓인 명제끼리 짝지어진 것은? <보기> ㉠ 대전은 광역시이다. ㉡ 2x +7 = 15 ㉢ 2x +2 = 2(x+2) ㉣ 연속하는 두 자연수의 합은 짝수이다. ① ㉠, ㉡ ② ㉡, ㉢ ③ ㉢, ㉣ ④ ㉠, ㉣ ⑤ ㉡, ㉣ 56. 다음 용어의 정의 중 옳은 것은? ① 예각삼각형-한 내각의 크기가 예각인 삼각형 ② 정삼각형-세 변의 길이가 같은 삼각형 ③ 마름모-네 각의 크기가 모두 같은 사각형 ④ 빗변-직각삼각형에서 직각이 아닌 각의 대변 ⑤ 직사각형-네 변의 길이가 모두 같은 사각형 57. 다음 그림에서 점 O가 AB, CD의 중점이면 AC = DB임을 다음과 같이 증명하였다. □ 안에 알 맞은 것을 써 넣어라. A C B D O [가정] AO = BO, CO = ⑴ [결론] AC = DB [증명] △AOC와 △BOD에서 AO = BO, CO = ⑴ …… ㉠ 맞꼭지각의 크기가 같으므로 ∠AOC = ⑵ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 △AOC≡△BOD( SAS 합동) 합동인 두 삼각형의 대응하는 변의 길이는 같으므로 AC = ⑶
58. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 두 직선이 만날 때 생기는 맞꼭지각의 크기는 같다. ② 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ③ 정삼각형의 세 내각의 크기는 같다. ④ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. ⑤ 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 59. 다음 중 용어의 정의가 잘못된 것은? ① 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형 ② 등변사다리꼴 : 평행하지 않는 두 변의 길이가 같은 사각형 ③ 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 ④ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형 ⑤ 예각삼각형 : 세 내각의 크기가 90◦보다 작은 삼각형 60. 다음 명제를 「∼이면 ∼이다.」의 꼴로 나타내어라. ⑴ 다각형의 외각의 크기의 합은 360◦이다. ⑵ 두 홀수의 합은 홀수이다. ⑶ 한 쌍의 엇각의 크기가 같은 두 직선은 서로 평행 하다. ⑷ 3의 약수는 6의 약수이다. 61. 다음 명제의 가정과 결론을 말하고, 참, 거짓을 판 별하여라. m + 3이 짝수이면 m 은 짝수이다. 62. 다음 용어의 정의를 말하여라. ⑴ 정삼각형 ⑵ 이등변삼각형 ⑶ 사다리꼴 ⑷ 직사각형 63. 다음 명제 중 참인 것은? ① 두 직선이 한 직선과 만나서 생기는 동위각의 크 기는 같다. ② 두 변과 그 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이다. ③ a+b 가 짝수이면, a, b 는 짝수이다. ④ ab > 0이면 a > 0, b > 0이다. ⑤ △ABC에서 ∠A < 90◦이면 예각삼각형이다. 64. 다음 중 용어의 정의가 잘못된 것은? ① 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 ② 마름모 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ③ 선분 : 두 점 A, B를 잇는 가장 짧은 선 ④ 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ⑤ 직각삼각형 : 한 내각의 직각인 삼각형 65. 다음 용어의 정의를 말하여라. ⑴ 예각삼각형 ⑵ 마름모 ⑶ 직각삼각형 66. 다음에서 명제인 것을 찾아라. ⑴ 대한민국의 수도는 서울이라. ⑵ 5 - 3 > 3 ⑶ 2x+3 = 5 ⑷ 참 좋은 날씨구나! 67. 다음 명제 중 역이 참인 것은? ① a = b 이면 a+c = b+c 이다. ② 두 삼각형이 합동이면 두 삼각형의 넓이는 같다. ③ 7은 소수이다. ④ 두 수 a, b 가 자연수이면 ab 도 자연수이다. ⑤ a = 0이면 ab = 0이다.
68. 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라. ⑴ 12의 약수는 6의 약수이다. ⑵ △ABC가 둔각삼각형이면 ∠A > 90◦이다. ⑶ 합동인 두 삼각형에서 대응하는 세 각의 크기는 각 각 같다. 69. 다음 중 용어에 대한 정의가 옳지 않은 것은? ① 각 : 한 점에서 시작하는 두 반직선으로 이루어 진 도형 ② 정다각형 : 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형 ③ 빗변 : 직각삼각형에서 직각에 대한 대변 ④ 합동 : 모양과 크기가 같아서 완전히 포개어지는 두 도형 ⑤ 예각삼각형 : 한 내각이 예각인 삼각형 70. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. ⑴ 6의 배수는 3의 배수이다. ⑵ x 의 절대값이 2이면 x = 2 이다. 71. 명제 ‘ ab /= 0이면 a /= 0이고 b /= 0이다.’의 결론 을 구하여라. 72. 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라. ⑴ 멸치는 생선이다. ⑵ 정삼각형은 이등변삼각형이다. ⑶ x = 1이면 2x -3 = 0이다. ⑷ 4의 배수는 8의 배수이다. 73. 다음 중 용어의 정의가 바르게 된 것은? ① 정삼각형 : 세 내각의 크기가 같은 삼각형 ② 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 ③ 이등변삼각형 : 두 밑각의 크기가 같은 삼각형 ④ 둔각 : 90◦보다 큰 각 ⑤ 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 평행한 사각형 74. 다음 중 참인 명제는? ① a > b이면 a2> b2이다. ② x가 5의 배수이면 x는 10의 배수이다. ③ x > 1이면 x > 2이다. ④ 넓이가 같은 두 정삼각형은 합동이다. ⑤ a, b가 자연수이면 a-b도 자연수이다. 75. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① 사람은 동물이다. ② 3+5 ③ 소수는 홀수이다. ④ 정삼각형은 이등변삼각형이다. ⑤ 독도는 우리 땅이다. 76. 다음 정의 중 옳지 않은 것은? ① 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ② 예각삼각형 : 한 내각이 예각인 삼각형 ③ 정삼각형 : 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형 ④ 직사각형 : 네 각이 모두 직각인 사각형 ⑤ 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 서로 평행인 사각형 77. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하여라. ⑴ 대응하는 한 변의 길이와 두 각의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이다. ⑵ 소수 중 가장 작은 수는 짝수이다. 78. 다음 중 명제는 참이고 역은 거짓인 것은? ① 짝수는 4의 배수이다. ② ac = bc 이면 a = b 이다. ③ a 가 홀수이면 a2은 홀수이다.(단, a 는 자연수) ④ 두 삼각형이 합동이면 대응하는 세 내각의 크기 는 같다. ⑤ △ABC에서 ∠A = 90◦이면 ∠B+∠C = 90◦이다.
79. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 정삼각형이다. ② 평행한 두 직선에서 한 쌍의 동위각의 크기는 같다. ③ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦이다. ④ 다각형의 외각의 크기의 합은 360◦이다. ⑤ 정삼각형은 이등변삼각형이다. 80. 다음 중에서 명제를 찾고, 참, 거짓을 말하여라. ⑴ 2x-1 = 3 ⑵ 일본의 수도는 도쿄이다. ⑶ 훌륭한 사람이 됩시다. ⑷ 7의 배수는 홀수이다. ⑸ 정수는 유리수이다. ⑹ 2x + 4 > 2x - 3 81. 다음 명제의 역을 말하여라. ⑴ x = 1, y = 2이면 x+y = 3이다. ⑵ 정삼각형의 세 내각의 크기는 같다. ⑶ 두 짝수의 합은 짝수이다. ⑷ 정삼각형은 예각삼각형이다. 82. 다음 중 명제인 것을 모두 고르면? ① x = 1일 때, 3x+2 = 5 ② 장미는 아름답다. ③ x+y = y+x ④ x+4 =-2x+7 ⑤ 내일은 눈이 올 것이다. 83. 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라. ⑴ x = 4이면 2x -3 = 5이다. ⑵ 삼각형의 내각의 크기의 합은 180◦이다. 84. 다음 명제의 가정과 결론을 말하여라. ⑴ △ABC에서 ∠B = ∠C이면 AB = AC이다. ⑵ x+2 =-1이면 x =-3이다. ⑶ 두 삼각형이 합동이면 세 대응각의 크기는 같다. 85. 다음 명제의 역을 말하여라. ⑴ a, b가 자연수이면 a+b는 자연수이다. ⑵ 날씨가 좋으면 우리는 소풍을 간다. ⑶ a = b이면 a+2 = b +2이다. ⑷ 2의 배수는 4의 배수이다. 86. 다음 중 명제는 참이고 역은 거짓인 것은? ① 12의 약수의 개수는 6개다. ② x+y ≧ 0이면 x ≧ 0이고 y ≧0이다. ③ x+y = 0이면 x = 0이고 y = 0이다. ④ a - b < 0이면 a < b이다. ⑤ 한 변의 길이가 같은 두 정삼각형은 합동이다. 87. 다음은 각각 어떤 용어에 대한 정의인지 말하여라 ⑴ 한 평면 위에서 만나지 않는 두 직선 ⑵ 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭지점을 이은 선분 ⑶ 세 내각이 모두 90◦미만은 삼각형 ⑷ 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 88. 다음 중 명제가 참이고, 그 역도 참인 것은? ① ac = bc 이면 a = b 이다. ② x = 3이면 2x - 5 > 0 ③ 4의 배수이면 12의 배수이다. ④ ab = 0이면 a = 0 또는 b = 0이다. ⑤ x > - 5이면 - x > 5이다.
89. 다음은 각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 그 각의 이등분선 위에 있음을 증명하는 과정이다. [가정] 다음 그림에서 PC = PD, ∠PCO = ∠PDO = 90◦ O D B P A C [결론] ∠COP = ∠DOP [증명] △COP와 △DOP에서 ∠PCO = ① = 90◦ 빗변인 ② 는 공통인 변 ③ = PD 직각삼각형의 합동조건에 의하여 △COP≡ ④ ( RHS 합동) ∴ ∠COP = ⑤ 위의 증명 과정에서 다음 중 각각의 안에 들어 갈 기호가 잘못된 것은? ① ∠DPO ② OP ③ PC ④ △DOP ⑤ ∠DOP 90. 선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점을 P라 할 때, 옳지 않은 것은? A B P M ① ∠PMA = ∠PMB ② ∠APM = ∠BPM ③ ∠A = ∠B ④ PA = PB ⑤ AM = PM 91. p, q, r가 다음과 같을 때, 참인 것은? (단, p→q는 p이면 q이다.) p : x는 홀수이고, y는 짝수이다. q : x + y는 짝수이다. r : xy는 짝수이다. ① p→r ② q→p ③ q→r ④ r→p ⑤ r→q 92. 다음 용어의 정의를 말하여라. ⑴ 평행사변형 ⑵ 원 ⑶ 빗변 ⑷ 정다각형
(해답) 1. ② [해설] ① 참, 거짓에 대한 의미가 없고 또, 참, 거짓 으로 말할 수 있는 문장이 아니다. 즉, 명제가 아니다. ③ 4+2 /= 5이므로 거짓인 명제 ④ x = 2일 때만 참이고 x가 2 이외의 값일 때는 거 짓이므로 명제가 아니다. ⑤ 모든 다각형의 외각의 크기의 합은 360◦이므로 거짓인 명제 2. ⑤ [해설] 가정 : 두 수 a, b 중 적어도 하나가 0이다. 3. ① [해설] ① x =-2이면 참이지만 x = 1이면 거짓이므 로 참, 거짓을 판별할 수 없다. 4. ③ 5. ③ 6. ③ 7. ③ 8. ③ [해설] ①, ②, ④, ⑤ 명제 : 참, 역 : 거짓 ③ 명제 : 참, 역 : 참 9. 해설참조 [해설] ⑴ a < b이면 ac < bc이다. (거짓) ⑵ △ABC가 둔각삼각형이면 ∠A > 90◦이다. (거 짓) ⑶ AB = DE이면 △ABC≡△DEF이다. (거짓) ⑷ 두 삼각형이 합동이면 대응하는 세 쌍의 각의 크기 가 각각 같다. (참) 10. ② 11. ④ [해설] ① 거짓 ② 거짓 ③ c ≦ 0일 때, 거짓 ⑤ a =-1, b = 5일 때, a+b = 4(거짓) 12. ③ 13. ③ [해설] ① c = 0이면 1×0 = 100×0 이므로 거짓 ② 2의 배수인 6은 4의 배수가 아니다. ④ 모든 원은 모양은 같지만 크기가 다르므로 합동이 아니다. ⑤ 1×2 = 2이므로 거짓 14. ① 15. ⑴ 동위각 : 평면 위에서 두 직선이 다른 한 직선 과 만나서 이루는 같은 위치에 있는 각 ⑵ 예각 : 0◦보다 크고 90◦보다 작은 각 ⑶ 둔각 : 90◦보다 크고 180◦보다 작은 각 ⑷ 합동 : 모양과 크기가 같아서 완전히 포개어지는 두 도형 16. ② 17. 3개 [해설] ㉠ 참인 명제 ㉡ 참인 명제 ㉢ 0⋅x =-1이 므로 거짓인 명제 ㉣ 참도, 거짓도 아니므로 명제가 아니다. 18. ③ [해설] ③은 정삼각형의 정의이다. 19. ④ [해설] 참인 명제는 ㉡, ㉥, ㉧이므로 a = 3 거짓인 명제는 ㉢, ㉦이므로 b = 2 ∴ a - b = 3 - 2 = 1 20. ③ [해설] ③ - x+ 4 < 3이면 x > 1이므로 ‘ - x + 4 < 3 이면 x > 0이다.’는 참이다. 21. ③
22. ① [해설] ① x = 2이면 참이 되고 x = 1이면 거짓이 되 므로 'x + 4 > 5'라는 문장만으로는 참, 거짓을 말 할 수 없다. 따라서, 명제가 아니다. ②, ③ 거짓인 명제 ④, ⑤ : 참인 명제 23. ⑴ 직사각형 ⑵ 마름모 ⑶ 정사각형 ⑷ 사다리 꼴 [해설] 24. ⑴ 정의 ⑵ 정리 25. ④ [해설] 세 각이 같은 것은 합동조건이 아니다. 26. ④ [해설] ④ 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 27. ⑴ 어떤 도형이 정삼각형이면 그 도형의 세 내각 의 크기는 같다. ⑵ 어떤 도형이 평행사변형이면 그 도형은 마름모이 다. 28. ⑤ 29. ① [해설] ① 합동인 두 삼각형은 대응하는 변의 길이가 각각 같다. 30. ⑤ 31. ④ 32. ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 [해설] ⑴ 역 : △ABC에서 ∠A = 60◦이면 AB = BC = CA이다.(거짓) ⑵ 역 : 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 직사각형 이다.(거짓) ⑶ 역 : x+3 = 5이면 x = 2이다.(참) 33. ④ [해설] ④ 선분은 양 끝점이 있는 직선의 한 부분이 다. 34. 해설참조 [해설] ⑴ 가정 : a, b가 자연수이다. 결론 : a+b는 자연수이다. ⑵ 가정 : 3x-12 = 0 결론 : x = 4 ⑶ 가정 : 두 삼각형이 합동이다. 결론 : 그 두 삼각형의 대응하는 세 쌍의 각의 크기는 각각 같다. ⑷ 가정 : 어떤 수가 4의 약수이다. 결론 : 그 수는 8의 약수이다. 35. ⑴ 10의 배수는 5의 배수이다. ⑵ 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다. [해설] 역 : 명제에서 가정과 결론을 서로 바꾸어 놓 은 것 36. ① 37. 8y6 [해설] (2y2)3= 8y6, ( y2×y4) = y6 ∴ 8y6 38. ② 39. ⑴ 거짓 ⑵ 참 ⑶ 참 ⑷ 거짓 [해설] ⑴ 3+2 = 5이므로 거짓인 명제 ⑵ 참인 명제 ⑶ (자연수) + (자연수) = (자연수)이므로 참인 명제 ⑷ 모든 정삼각형은 모양은 같지만 크기는 다를 수 있 으므로 거짓인 명제 ⑸ 참, 거짓에 대한 의미가 없는 문장이므로 명제가 아니다. 40. ② 41. ③
42. ⑤ [해설] ① 명제 : 거짓, 역 : 참 ② 명제 : 참, 역 : 거짓 ③ 명제 : 거짓, 역 : 거짓 ④ 명제 : 거짓, 역 : 참 ⑤ 명제 : 참, 역 : 참 43. ③ [해설] ① 명제 : 참, 역 : 거짓 ② 명제 : 참, 역 : 참 ③ 명제 : 거짓, 역 : 참 ④ 명제 : 참, 역 : 거짓 ⑤ 명제 : 참, 역 : 거짓 44. ① 45. ④ [해설] ①, ②, ③, ⑤는 정의이고 ④는 이등변삼각형 의 성질(정리)이다. 46. ⑴ 가정 : a > b이다. 결론 : a + c > b + c이다. (참) ⑵ 가정 : 두 삼각형이 합동이다. 결론 : 넓이는 같다. (거짓) ⑶ 가정 : 이등변삼각형이다. 결론 : 두 밑각의 크기는 같다.(참) ⑷ 가정 : n이 홀수이다. 결론 : n+1은 홀수이다. (거짓) 47. ⑴ a + c > b + c이면 a > b이다. ⑵ 두 삼각형의 넓이가 같으면 합동이다. ⑶ 4의 약수는 8의 약수이 다. 48. ③ 49. 3개 [해설] 명제 ㉡, ㉣, ㉤ 50. ① 51. 가정 : 두 수 a, b가 홀수이다. 결론 : a+b는 홀수이다. 52. ⑴ ∠ACE ⑵ ∠ECD 53. ② 54. ④ [해설] △PAM과 △PBM에서 AM = BM, ∠PMA = ∠PMB, PM : 공통 ∴ △PAM≡△PBM ( SAS 합동) 따 라 서 , PA = PB, ∠APM = ∠BPM, ∠PAM = ∠PBM 55. ③ [해설] ㉠ 참인 명제 ㉡ 명제가 아니다. ㉢ 2x +2 = 2(x+2), 2x +2 = 2x+4, 2 = 4(거짓인 명제) ㉣ 연속하는 두 자연수, 즉 예를 들어 2와 3의 합은 5이므로 홀수이다. (거짓인 명제) 56. ② 57. ⑴ DO ⑵ ∠BOD ⑶ BD 58. ⑤ [해설] 정의 : 용어의 뜻을 명확하게 정한 것 정리 : 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것 마름모 정의 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 정리 : 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. 59. ② 60. ⑴ 어떤 도형이 다각형이면 그 다각형의 외각의 크기의 합은 360◦이다. ⑵ 어떤 두 수가 홀수이면 그 두 수의 합은 홀수이다. ⑶ 두 직선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 엇각의 크기가 같으면 그 두 직선은 서로 평행하다. ⑷ 어떤 수가 3의 약수이면 그 수는 6의 약수이다. 61. [가정] m+3이 짝수이다. [결론] m 은 짝수이다. 거짓인 명제
62. ⑴ 정삼각형 : 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형 ⑵ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ⑶ 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 평행한 사각형 ⑷ 직사각 형 : 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 63. ② 64. ④ [해설] ④ 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이다. 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모이다. 65. ⑴ 예각삼각형 : 세 내각의 크기가 예각인 삼각형 ⑵ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형 ⑶ 직각삼각형 : 한 내각이 직각인 삼각형 66. ⑴, ⑵ [해설] ⑶ x = 1일 때만 참이고, x가 1이외의 값일 때는 거짓이다. ⑷ 감탄문에서는 참, 거짓을 말할 수 없으므로 명제가 아니다. 67. ① [해설] ① 역 : a+c = b+c 이면 a = b 이다. (참) ② 역 : 두 삼각형이 넓이가 같으면 두 삼각형은 합동 이다. (거짓) ③ 역 : 소수는 7이다. (거짓) ④ 역 : ab 가 자연수이면 두 수 a, b 가 자연수이다. (거짓) ⑤ 역 : ab = 0이면 a = 0이다. (거짓) 68. ⑴ 가정 : 어떤 수가 12이 약수이다. 결론 : 그 수는 6의 약수이다. ⑵ 가정 : △ABC가 둔각삼각형이다. 결론 : ∠A > 90◦이다. ⑶ 가정 : 두 삼각형이 합동이다. 결론 : 두 삼각형의 대응하는 세 각의 크기는 각각 같 다. 69. ⑤ 70. ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 ⑷ 참 [해설] ⑴ 6의 배수 : 6, 12, 18, …이므로 3의 배 수이다. ⑵ x 의 절대값이 2이면 x = 2 또는 -2이다. 71. a /= 0이고 b /= 0이다. [해설] 가정 : ab /= 0이다. 결론 : a /= 0이고 b /= 0 이다. 72. ⑴ 가정 : 멸치이다. 결론 : 생선이다. ⑵ 가정 : 정삼각형이다. 결론 : 이등변삼각형이다. ⑶ 가정 : x = 1이다. 결론 : 2x-3 = 0이다. ⑷ 가정 : 4의 배수이다. 결론 : 8의 배수이다. [해설] 「∼이면 ∼이다」의 꼴이 아닌 명제는 가정 과 결론이 각각 완전한 하나의 문장이 되도록 바꿔준 다. 이 때, 명제의 내용이 바뀌지 않도록 주의하여 주 어와 서술어를 택한다. 73. ⑤ [해설] ① 정삼각형 : 세 변의 길이가 모두 같은 삼각 형 ② 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ③ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ④ 둔각 : 90◦보다 크고 180◦보다 작은 각 74. ④ [해설] ① a =- 1, b =-2이면 a > b이지만 a2> b2이므로 거짓이다. ② 5는 5의 배수이지만 10의 배수는 아니므로 거짓 이다. ③ x = 1.5이면 x > 1이지만 x < 2이므로 거짓이다. ⑤ a = 1, b = 3이면 a-b =-2로 자연수가 아니다. 따라서, 거짓이다. 75. ② [해설] ② 3+5는 참, 거짓을 말할 수 없는 식이다. 76. ② [해설] 예각삼각형 : 세 내각이 모두 예각인 삼각형
77. ⑴ 거짓 ⑵ 참 [해설] ⑴ 대응하는 한 변의 길이와 양 끝각의 크기 가 같은 삼각형은 서로 합동이다. ⑵ 소수 중 가장 작은 수는 2이므로 짝수이다. 78. ④ [해설] ①, ② 명제 : 거짓, 역 : 참 ③, ⑤ 명제 : 참, 역 : 참 79. ① [해설] ①은 정삼각형의 정의이다. 80. ⑵, ⑸, ⑹ 참 ⑷ 거짓 [해설] ⑴ x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하므로 명제가 아니다. ⑵ 참인 명제 ⑶ 참, 거짓의 의미가 없는 즉 참, 거짓이라고 말할 수 없는 문장이므로 명제가 아니다. ⑷ 14는 7의 배수이나 홀수가 아니므로 거짓인 명제 ⑸ 참인 명제 ⑹ 2x + 4 > 2x - 3, 4 > - 3 x의 값에 관계없이 항 상 성립하므로 참인 명제 81. ⑴ x+y = 3이면 x = 1, y = 2이다. ⑵ 세 내각의 크기가 같은 삼각형은 정삼각형이다. ⑶ 두 수의 합이 짝수이면 두 수는 짝수이다. ⑷ 예각삼각형은 정삼각형이다. 82. ①, ③ [해설] ②, ⑤와 같이 주관적인 문장이나 추상적인 문 장은 명제가 아니다. ③은 항등식이므로 참인 명제이다. ④와 같은 방정식은 참, 거짓을 판별할 수 없다. 83. ⑴ 가정 : x = 4이다. 결론 : 2x-3 = 5이다. ⑵ 가정 : 삼각형이다. 결론 : 내각의 크기의 합은 180◦이다. [해설] ⑵ 어떤 도형이 삼각형이면 내각의 크기의 합 은 180◦이다. 84. 해설참조 [해설] ⑴ 가정 : △ABC에서 ∠B = ∠C이다. 결론 : AB = AC이다. ⑵ 가정 : x+2 =-1이다. 결론 : x =-3이다. ⑶ 가정 : 두 삼각형이 합동이다. 결론 : 세 대응각의 크기는 같다. 85. ⑴ a+b가 자연수이면 a, b는 자연수이다. ⑵ 우리가 소풍을 가면 날씨가 좋다. ⑶ a+2 = b +2이면 a = b이다. ⑷ 4의 배수는 2의 배수이다. 86. ① [해설] ① 명제 : 참, 역 : 거짓 ②, ③ 명제 : 거짓, 역 : 참 ④, ⑤ 명제 : 참, 역 : 거짓 87. ⑴ 평행선 ⑵ 대각선 ⑶ 예각삼각형 ⑷ 평행사변형 88. ④ 89. ① [해설] ① ∠PDO 90. ⑤ 91. ① [해설] ① p→r : x는 홀수이고 y는 짝수이면 xy는 짝수이다. (참) ② q→p : x+y가 짝수이면 x는 홀수이고 y는 짝수 이다. (거짓) ③ q→r : x+y가 짝수이면 xy는 짝수이다. (거짓) ④ r→p : xy가 짝수이면 x는 홀수이고 y는 짝수이 다. (거짓) ⑤ r→q : xy가 짝수이면 x+y는 짝수이다. (거짓) 92. ⑴ 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 ⑵ 원 : 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임 ⑶ 빗변 : 직각삼각형에서 직각에 대한 대변 ⑷ 정다각형 : 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크 기가 같은 다각형 [해설] 정의는 용어의 혼동이나 혼용을 막기 위해서 하나만을 정해 놓은 것이다.
