우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (17)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

<퀴즈5 문제풀이> 다음 함수의 𝑑𝑦 𝑑𝑥 를 구하라. 1) 𝑦 = 2𝑥2_{− 3𝑥 + 1 (양함수의 미분)} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 2 _{− 3𝑥 + 1 = 4𝑥 − 3} 2) 𝑥2 _{− 𝑦}3_{+ 2 = 0 (음함수의 미분)} 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2_{− 𝑦}3_{+ 2 = 0} 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 ₋ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 3 ₊ 𝑑 𝑑𝑥 2 = 0 𝑥 2 ₋ 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 3 _∙𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 ∴ 𝑥2_{− 3𝑦}2_∙𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥2 3𝑦2 3) 𝑥 = 2𝑡 + 1 & 𝑦 = 𝑡2 + 2𝑡 (매개함수의 미분)  𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2 & 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 · 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦/𝑑𝑡 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 2𝑡+2 2 = 𝑡 + 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 3 ₌ 𝑑 𝑑𝑦 𝑦3 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥

4) 𝑦 = 2 sin 3𝑥 + tan2_𝑥 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2 sin 3𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 tan 2_𝑥 2) 𝑑 𝑑𝑥 2sin 3𝑥 = 2 𝑑 𝑑𝑥 sin 3𝑥 = 2 𝑑 𝑑𝑢 sin 𝑢 ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑢 ∙ 3 = 6 cos 3𝑥 𝑜𝑟 = 2 𝑑 𝑑𝑥 sin 3𝑥 = 2 ∙ 3 3∙ 𝑑 𝑑𝑥 sin 3𝑥 = 6 𝑑 𝑑 3𝑥 sin 3𝑥 = 6 cos 3𝑥 3) 𝑑 𝑑𝑥 tan 2_{𝑥 =} 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 2 ₌ 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 2 _∙𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑢 ∙ sec 2_{𝑥 = 2 tan 𝑥 ∙ sec}2_𝑥 ∴ 𝑓𝑟𝑜𝑚 1) ~ 3): 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 6 cos 3𝑥 + 2 tan 𝑥 ∙ sec 2_𝑥 5) 𝑦 = sin 𝑥 ∙ cos 𝑥  두 함수의 곱의 미분: 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ′ _{= 𝑓}′ _{𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔}′ _𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑 𝑑 𝑑 5. 미분법 𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = sec 2_𝑥

(지난 시간 복습) 5-2-2. 로그함수 및 지수함수의 미분  로그함수의 도함수 증명에 활용된 정의  로그법칙: ln 𝑥 + ∆𝑥 − ln 𝑥 = ln 𝑥+∆𝑥 𝑥 , 𝑥 ∆𝑥 ∙ ln 1 + ∆𝑥 𝑥 = 1 + ∆𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥 , log_𝑎𝑒 =log𝑒𝑒 log_𝑒𝑎  자연대수의 극한: lim ∆𝑥→0 1 + ∆𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥 = 𝑒  로그함수 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 의 도함수 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ln(𝑥+∆𝑥)−ln(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ln 𝑥+∆𝑥 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 1 ∆𝑥 ∙ ln 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥 𝑥∙ 1 ∆𝑥 ∙ ln 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim∆𝑥→0 1 𝑥∙ ln 1 + ∆𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 𝑥∙ ln𝑒 = 1 𝑥  로그함수 𝑓(𝑥) = log_𝑎𝑥 의 도함수 증명 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 log_𝑎(𝑥+∆𝑥)−log_𝑎(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 log_𝑎 𝑥+∆𝑥 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 1 ∆𝑥∙ log𝑎 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥 𝑥∙ 1 ∆𝑥∙ log𝑎 1 + ∆𝑥 𝑥 = lim∆𝑥→0 1 𝑥 ∙ log𝑎 1 + ∆𝑥 𝑥 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 𝑥∙ log𝑎𝑒 = 1 𝑥∙ log_𝑒𝑒 log_𝑒𝑎 = 1 𝑥∙ln 𝑎 𝑒

 지수함수의 도함수  𝑦 = 𝑎𝑥 _𝑦′ _{= 𝑎}𝑥 _{∙ ln𝑎}  𝑦 = 𝑒𝑥 _𝑦′ _{= 𝑒}𝑥 _{∙ ln𝑒 = 𝑒}𝑥  𝑦 = 𝑎𝑥 _{의 도함수 증명}  𝑦 = 𝑎𝑥 _{의 양변에 자연로그를 취하면: ln 𝑦 = ln 𝑎}𝑥 _{ln 𝑦 − 𝑥 ln 𝑎 = 0}  양변을 𝑥 에 관하여 미분 (음함수 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 의 미분) 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑦 − 𝑥 ln 𝑎 = 0 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑎 = 0 ∴ 1 𝑦∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥− ln 𝑎 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑦 ∙ ln 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 _{∙ ln 𝑎}  𝑦 = 𝑒𝑥 _{의 도함수 증명}  𝑦 = 𝑒𝑥 _{의 양변에 자연로그를 취하면: ln 𝑦 = ln 𝑒}𝑥 _{ln 𝑦 = 𝑥 ∙ ln 𝑒 = 𝑥}  양변을 𝑥 에 관하여 미분 (음함수 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 의 미분) 𝑑 ln 𝑦 − 𝑥 = 0 𝑑 ln 𝑦 − 𝑑 𝑥 = 0 5. 미분법 Chain Rule: 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑦 ln 𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1

<Chain Rule Review> 1) 합성함수의 미분 (양함수의 미분) 𝑦 = 𝑓(𝑥) 가 복잡한 형태, (즉 𝑦 = (2𝑥 + 1)5, 𝑦 = sin 2𝑥 , tan3𝑥 , 𝑦 = 𝑒𝑥2, 𝑦 = ln 2𝑥3… ), 로 표시 될 때, 체인룰을 이용하여 도함수를 구함: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 i) 대수함수의 합성함수 예시) 𝑦 = 1 𝑥2₊₃ = (𝑥 2 _{+ 3)}−1₂

 𝑢 = 𝑥2_{+ 3 & 𝑦 = 𝑢}−1_{2 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)}  𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 _{+ 3 = 2𝑥 &} 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 (𝑢) −1 2 = −1 2𝑢 (−1 2−1) = −1 2(𝑥 2_{+ 3)}−3 2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = − 1 2 𝑥 2_{+ 3} −3 2 ∙ 2𝑥 = − 𝑥2 + 3 − 3 2 ∙ 𝑥 𝑜𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 2_{+ 3)}−1_{2 =} 𝑑 𝑑𝑥 (𝑢) −1 2 = 𝑑 𝑑𝑢 (𝑢) −1 2 ·𝑑𝑢 𝑑𝑥 = − 1 2𝑢 (−1 2−1)·𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2_{+ 3} = −1 2(𝑥 2_{+ 3)}−3 2·2𝑥 = − 𝑥2+ 3 − 3 2 ∙ 𝑥

<Chain Rule Review> ii) 삼각함수 합성함수의 미분  sin 𝑥 의 미분: sin 𝑥 ′ 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥  sin 𝑥 의 합성함수 미분 (예시) (1) 𝑦 = sin 3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 3𝑥 ≠ cos 3𝑥

 𝑢 = 3𝑥 & 𝑦 = sin 𝑢 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)

 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 = 3 & 𝑑𝑦 𝑑𝑢= 𝑑 𝑑𝑢 sin 𝑢 = cos 𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = cos 𝑢 ∙ 3 = 3 cos 3𝑥 (2) 𝑦 = sin3_𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 3_{𝑥 = ? ?}

 𝑢 = sin 𝑥 & 𝑦 = 𝑢3 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)

 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 𝑑

𝑑𝑥 sin 𝑥 = cos 𝑥 & 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 3 _{= 3𝑢}2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 3𝑢

2_{∙ cos 𝑥 = 3 sin}2_{𝑥 ∙ cos 𝑥}

(3) 𝑦 = sin 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 3 _{= ? ?}  𝑢 = 𝑥3 5. 미분법

<Chain Rule Review> iii) 로그함수 합성함수의 미분  로그 함수의 미분: ln 𝑥 ′ _𝑑𝑥𝑑 ln 𝑥 =1 𝑥 & log𝑎𝑥 ′ 𝑑 𝑑𝑥 log𝑎𝑥 = 1 𝑥 ln 𝑎  ln 𝑥 의 합성함수 미분 (예시) (1) 𝑦 = ln 3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ln 3𝑥 ≠ 1 3𝑥

 𝑢 = 3𝑥 & 𝑦 = ln 𝑢 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)

 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 = 3 & 𝑑𝑦 𝑑𝑢= 𝑑 𝑑𝑢 ln 𝑢 = 1 𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 𝑢∙ 3 = 3 3𝑥 = 1 𝑥 (2) 𝑦 = ln 𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 3 _{= ? ?}

 𝑢 = ln 𝑥 & 𝑦 = 𝑢3 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)

 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 1 𝑥 & 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 3 _{= 3𝑢}2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 3𝑢 2_∙1 𝑥 = 3 ln 𝑥 2 𝑥 (3) 𝑦 = ln 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 3 _{= ? ?}

 𝑢 = 𝑥3 _{& 𝑦 = ln 𝑢 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)}  𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 _{= 3𝑥}2 _& 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 ln 𝑢 = 1 𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 𝑢∙ 3𝑥 2 ₌ 3𝑥2 𝑥3 = 3 𝑥

<Chain Rule Review> iv) 지수함수 합성함수의 미분  지수함수의 미분: 𝑒𝑥 ′ 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 _{= 𝑒}𝑥 _{& 𝑎}𝑥 ′ 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 _{= 𝑎}𝑥_{∙ ln𝑎}  𝑒𝑥 _{의 합성함수 미분 (예시)} (1) 𝑦 = 𝑒3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 3𝑥 _{≠ 𝑒}3𝑥

 𝑢 = 3𝑥 & 𝑦 = 𝑒𝑢 (Chain Rule 에서 가장 중요한 step)

 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 = 3 & 𝑑𝑦 𝑑𝑢= 𝑑 𝑑𝑢 𝑒 𝑢 _{= 𝑒}𝑢 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢 _{∙ 3 = 3𝑒}3𝑥 _𝑜𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 3𝑥 ₌ 𝑑 𝑑𝑢 𝑒 𝑢 _·𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑢_{∙ 3 = 3𝑒}3𝑥 (2) 𝑦 = 𝑒𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥3 _{= ? ?}

 𝑢 = 𝑥3 _{& 𝑦 = 𝑒}𝑢 _{(Chain Rule 에서 가장 중요한 step)}  𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 _{= 3𝑥}2 _& 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑒 𝑢 _{= 𝑒}𝑢 ∴ 𝑑𝑦 =𝑑𝑦 ·𝑑𝑢= 𝑒𝑢∙ 3𝑥2 = 3𝑥2𝑒𝑥3 𝑜𝑟 𝑑𝑦 = 𝑑 𝑒𝑥3 = 𝑑 𝑒𝑢 ·𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 ∙ 3𝑥2 = 3𝑥2𝑒𝑥3 5. 미분법