우석대학교 에너지전기공학과

(1)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

(2)

2 7-2. 부정적분의 계산 (복습)  치환 적분법  부분 적분법  부분분수 분해법 7-2-1. 치환 적분법 case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡_𝑎 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ _{𝑥 형: 𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑔}′ 𝑥 _{𝑑𝑥 = 𝑑𝑡} case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형: 𝑓 𝑥 = 𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

(3)

3 7-2-2. 부분 적분 (integration by part)  두 함수의 곱 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 에 관한 미분은… 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)  위의 식을 변형하면, 𝑓′ _{𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥} ′_{− 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)}  다시 적분을 하면, _𝑓′ _{𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥} ※ _{𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 가 쉽게 계산될 수 있는 간단한 함수의 곱으로 구성되어야 함.}

(4)

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예제) 다음의 부정적분을 구하라 (1) _𝑥2 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

cos 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 , 𝑥}2 _{= 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑔′(𝑥) = 2𝑥}

𝑥2 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

_{𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶} _{∴ 𝑥}2∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ sin 𝑥 + 2𝑥 ∙ cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶

(2) _{𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥} 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 , ln 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 =} 1 2𝑥2, 𝑔′(𝑥) = 1 𝑥 _{𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 2𝑥2∙ 1 𝑥𝑑𝑥 = 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 2 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 4𝑥2+ 𝐶 (3) _{ln 𝑥 𝑑𝑥} 1 = 𝑓′ _{𝑥 , ln 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑔′(𝑥) =} 1 𝑥 _{ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶}

(5)

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(4) _𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 ∶ 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , sin 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑔′(𝑥) = cos 𝑥 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥}

𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 ∶ 𝑒}𝑥 _{= 𝑓}′ _{𝑥 , cos 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥_{, 𝑔}′ _{𝑥 = − sin 𝑥}

𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥_{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ − sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

_{∴ 𝑒}𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

Finally, 2 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝐶}

𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 =} 1