고급수학 2 기출문제 - [2020-2] 고급수학 2 기말고사

2020학년도 2학기 고급수학 2

기말고사 모범답안 및 채점기준

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고급수학2 기말고사

2번 문제 모범답안

문제 2. [20점] 삼차원 좌표공간에서 위쪽 경계는 구면 x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 1, 아래쪽 경계는 포물면} z = x2_{+ y}2_{인 영역의 중심을 구하시오.} 풀이. 주어진 영역을 R이라하자. 영역 R을 도시해보면 다음의 두 곡면 사이의 끼인 부분이다. 경계를 이루는 두 곡면이 만나는 곡선을 원기둥 좌표계로 써보면, z + z2 _{= 1, r}2 _{= z, z > 0} 을 만족하여야 하고, 이는 간단히 r = r0, z = r20, 단, r0 =   −1 +√5 2 로 표현할 수 있다. 따라서 영역 R은 다음과 같이 쓸 수 있다. R =¶(r cos θ, r sin θ, z) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ r0, r2 ≤ z ≤ √ 1 − r2©_. 한편, 영역 R의 중심을 (¯x, ¯y, ¯z)라 하면, 대칭성에 의해 ¯x = ¯y = 0. ——————————————————————————————————————– 4점 또, ¯z = 1 vol(R) RRR RzdV3이므로 vol(R) = RRR RdV3와 RRR RzdV3을 각각 구해보자. 1

고급수학2 기말고사

2번 문제 모범답안

vol(R) = Z Z Z R dV3 = Z 2π 0 Z r0 0 Z √ 1−r2 r2 rdzdrdθ = Z 2π 0 Z r0 0 r√1 − r2 _{− r}3_drdθ = Z 2π 0 ï −1 3(1 − r 2₎3/2₋ 1 4r 4 òr0 0 dθ = 2πß 1 3 − 1 3(1 − r 2 0) 3/2₋1 4r 4 0 ™ = 5π 12(3 − √ 5). ——————————————————————————————————————– 8점 Z Z Z R zdV3 = Z 2π 0 Z r0 0 Z √ 1−r2 r2 rzdzdrdθ = Z 2π 0 Z r0 0 1 2(r − r 3_{− r}5_)drdθ = Z 2π 0 ï 1 4r 2₋ 1 8r 4₋ 1 12r 6 òr0 0 dθ = 2πß 1 4r 2 0 − 1 8r 4 0 − 1 12r 6 0 ™ = π 24(5 √ 5 − 7). ——————————————————————————————————————– 8점 따라서 ¯ z = π 24(5 √ 5 − 7) 5π 12(3 − √ 5) = 5√5 − 7 10(3 −√5) = 1 + 2√5 10 . 그러므로 영역 R의 중심은 (0, 0,1 + 2 √ 5 10 )이다. ** vol(R) =RRR_RdV3와 RRR RzdV3을 정확히 계산했을 경우만 8점씩 부여. (단, 변수로 결과를 제시했을 경우, 그 식이 정확하다면 8점 부여. 예: r0에 관한 식으로 표현) ** 마지막의 ¯z 계산에서만 실수(계산 실수, 분모와 분자를 바꿔 쓰는 등)가 있을 경우 −4점. ** ¯z = 1 vol(R) RRR RzdV3을 한 번에 계산하는 경우도 각각의 적분에 대해 같은 방식으로 적용. ** 삼중적분의 순서가 바뀌어도 맞는 풀이일 경우, 같은 방식으로 적용. 2

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점 삼차원 좌표공간의 곡면 x = y

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_{과 평면 x = 1 로 둘러싸인 영역을 R 이라고 할 때,}

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점 삼차원 좌표공간의 곡면 E : 2x

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를 구하시오. 단, 곡면 E 의 향은 · ≥ 0을 만족하도록 정한다.