한빛미디어 Partial Differential Equations 1/25
CHAPTER 13
편미분방정식
Partial Differential Equations
CHAPTER 13편미분방정식
Partial Differential Equations
장윤석
부경대학교 전기공학과
2012. 8. 16
편미분방정식의 기본 개념 편미분방정식의 기본 개념
13.1
알아 두어야 할 개념과 공식 알아 두어야 할 개념과 공식 1 차원 파동방정식의 초기조건 1 차원 파동방정식의 초기조건13.3
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계 조건 1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계 조건13.2
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알아두어야 할 개념과 공식
차원이란 ?
알아두어야 할 개념과 공식
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편미분방정식의 정의
13.1 편미분방정식의 기본 개념편미분방정식의 정의
2 개 이상의 독립변수를 갖는 함수와 그 변수들에 대한 편도함수를 포함하 는 미분방정식 계수 : 가장 많이 미분된 편도함수의 차수 선형 : 편미분방정식이 종속변수와 그 편도함수에 관해 1 차일 때2
계 편미분방정식의 형태
식 (13.1) 에서 이면 제차 편미분방정식 식 (13.1) 에서 이면 비제차 편미분방정식 (13.1)편미분방정식의 정의
13.1 편미분방정식의 기본 개념
편도함수의 표현 :
편미분이 되는 함수 옆에 아래첨자로 표현 식 (13.1) 을 다음과 같이 나타낼 수 있음
편미분방정식의 해를 구하는 것
식 (13.1) 과 식 (13.2) 의 독립변수 : , 독립변수에 따라 변하는 종속변수 : 종속변수 를 구하는 것 = 편미분방정식의 해를 구하는 것 (13.2)한빛미디어 Partial Differential Equations 7/25
편미분방정식의 정의
13.1 편미분방정식의 기본 개념
편미분방정식의 해
13.1 편미분방정식의 기본 개념편미분방정식의 해 구하기
다음과 같은 식을 생각해보면 식 (13.3) 의 해를 구하기 위해 적분하면 다음과 같음 예제 13-2 (13.3) (13.4)한빛미디어 Partial Differential Equations 9/25
편미분방정식의 해
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건1
차원 파동방정식 :
현악기의 줄과 같은 탄성현의 진동을 나타내는 방정식1
차원 파동방정식의 해 구하기
현이 고정되어 있는 위치로부터 경계조건을 얻을 수 있음 (13.5) (13.6) (13.7)한빛미디어 Partial Differential Equations 11/25
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건파동방정식에서의 변수분리법
파동방정식의 해가 되는 함수 의 변수를 분리하여 두 합수의 곱으로 표시 와 는 각각 와 에 의존한다고 가정 , 식 (13.8) 을 변수 로 미분하면 위와 같은 식이 성립하고 , 변수 로 미분하면 (13.8)1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건 위의 두 식을 식 (13.5) 에 대입하면 다음 식이 성립한다 . 위 식을 로 나누면 위 식이 성립하려면 다음과 같아야 함한빛미디어 Partial Differential Equations 13/25
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건 위 식을 정리하면 다음과 같은 상미분방정식을 얻을 수 있음 위의 방정식을 풀어서 각각의 해가 되는 와 를 구하면 , 편미분방정식의 해를 구할 수 있게 됨 (13.1 0) (13.9)1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건파동방정식의 경계조건
1 차원 파동방정식의 경계 조건 에 대입하면 이면 무의미한 해가 되므로 , 이고 , 다음이 되어야 함 이 조건을 식 (13.9) 에 대입하면 , 상수 의 성질에 따라 가 다르게 나타남 (13.1 1) (13.1 2)한빛미디어 Partial Differential Equations 15/25
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
의 성질에 따라 다른 구하기
❶ 이면 , 식이 다음과 같으며 , 결과적으로 이 됨 =0 이 되므로 이어야 함 ❷ 이면 , 식이 다음과 같으며 , 결과적으로 이 됨 이 되므로 는 양수가 아님 ❸ 이면 , 식이 다음과 같으며 (13.1 3)1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건 이 되어야 하므로 가 되어야 함 식 (13.13) 에 식 (13.14) 를 대입하면 위 식은 양수일 때 성립하므로 식 (13.15) 는 편미분방정식의 해 중 를 변수로 하는 함수 를 의미함 (13.1 4) (13.1 5)한빛미디어 Partial Differential Equations 17/25
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
를 변수로 하는 함수 구하기
다음 식을 풀어보자 . 일 때만 해가 존재하므로 다음 식으로 나타낼 수 있음 식 (13.16) 을 상미분방정식 에 대입하면 다음과 같이 두면 (13.1 6) (13.1 7) (13.1 8)1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건 식 (13.17) 은 다음과 같이 나타낼 수 있음 식 (13.19) 에 상미분방정식 을 대입하면 , 을 얻고 , 으로부터 다음 해를 얻음 위의 식도 정수 일 때 성립하므로 다음과 같이 나타낼 수 있음 (13.1 9) (13.2 0)한빛미디어 Partial Differential Equations 19/25
1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
13.2 1차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건 따라서 편미분병정식의 해는 식 (13.15) 와 식 (13.20) 을 곱하여 다음이 되고 을 으로 , 을 으로 두면 , 1 차원 파동방정식의 해는 다음과 같음 진동현의 고유함수 : 식 (13.21) 같은 1 차원 파동방정식의 해가 되 는 함수 고윳값 : 식 (13.18) 의 값 스펙트럼 : 집합 (13.2 1)1 차원 파동방정식의 변수분리법 및 경계조건
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1 차원 파동방정식의 초기조건
13.3 1차원 파동방정식의 초기조건파동방정식의 초기조건 :
진동하는 현이 있을 때 , 그 현이 처음에 어떤 변 위와 속도를 갖고 있었는지 나타내주는 것편미분방정식의 해와 푸리에 급수
이 정수인 점을 감안해 식 (13.21) 을 다음과 같이 쓸 수 있음 식 (13.22) 와 식 (13.24) 로부터 다음 식을 얻을 수 있음 (13.2 2) (13.2 3) (13.2 4)1 차원 파동방정식의 초기조건
13.3 1차원 파동방정식의 초기조건 위 식을 다시 쓰면 , 푸리에 사인 급수와 같은 형태가 된다 . 푸리에 사인 급수의 계수를 나타내는 식을 적용하면 다음과 같음 식 (13.24) 를 로 미분하면 이 식에 초기조건인 식 (13.23) 을 적용하면 (13.2 5) (13.2 6)한빛미디어 Partial Differential Equations 23/25
1 차원 파동방정식의 초기조건
13.3 1차원 파동방정식의 초기조건 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있음 식 (13.27) 도 푸리에 사인 급수와 같은 형태이므로 , 계수는 다음과 같음 식 (13.18) 의 을 대입하고 , 에 대해 정리하면 초기조건을 대입하면 미지계수로 남아있던 과 을 알 수 있음 (13.2 7) (13.2 8)1 차원 파동방정식의 초기조건
13.3 1차원 파동방정식의 초기조건
예제 13-3
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