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Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations

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(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations

(PDEs) (PDEs)

12 1 Basic Concepts 12.1 Basic Concepts

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equations

12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Seriesy p g

12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 12.5 Heat Equation: Solution by Fourier Series

12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Integrals and Transforms 12.7 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation

12.8 Rectangular Membrane. Double Fourier Series

12.9 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane.

Fourier-Bessel Series

12.10 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential

l f b l f

12.11 Solution of PDEs by Laplace Transforms

2

(3)

Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations Ch. 12 Partial Differential Equations

(PDEs) (PDEs)

12 1 Basic Concepts 12.1 Basic Concepts

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equations

12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Seriesy p g

12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 12.5 Heat Equation: Solution by Fourier Series

12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Integrals and Transforms 12.7 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation

12.8 Rectangular Membrane. Double Fourier Series

12.9 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane.

Fourier-Bessel Series

12.10 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential

l f b l f

12.11 Solution of PDEs by Laplace Transforms

3

(4)

Ch. 12

Ch. 12 Partial Differential Partial Differential Equations (PDEs) Equations (PDEs)

z

함수가 하나의 변수 밖에 포함하지 않는 미분 방정식을 상미분 방정식 이라 한다. 2개 이상의 독립변수를 갖는 함수의 편도함수를 포함하는 방정 이라 한다 개 이상의 독립변수를 갖는 함수의 편 함수를 함하는 방정 식을 편미분 방정식이라 한다

z

단순한 물리시스템만이 상미분방정식에 의해 모델화될 수 있는 반면에 동역학, 탁성역학, 열전달, 전자기 이론, 양자역학 등에서 대부분의 문제들 이 편미분방정식을 필요로 한다.

z

내용 : 진동하는 현의 파동방정식, 진동하는 박막의 파동방정식,

열전도방정식, 라플라스 방정식

(5)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

z Partial Differential Equation, PDE(편미분방정식)

: 두 개 이상의 독립변수들에 종속되는 함수의 한 개 또는 그 이상의 편도함수를 포함하는 방정식

계수(Order) : 가장 높은 도함수의 계수

제차(Homogeneous)

선형(Linear)

제차(Homogeneous) : 미지함수와 그것의 편도

함수만을 포함

편미분방정식 (PDEs)

: 미지함수와 그것의 편도함수 에 대하여 1차임

비선형(Nonlinear)

비제차(Nonhomogeneous) : 제차가 아닌 선형편미분방정식 비선형(Nonlinear)

: 선형이 아닌 편미분방정식

(6)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

Ex 1 Important Second-Order PDEs (중요한 2계 선형편미분방정식)

( )1 22 2 22 (1차원 파동방정식)

= ∂

x c u t

u

Ex.1 Important Second-Order PDEs (중요한 2계 선형편미분방정식)

( )2 2 22 (1차원 열전도방정식)

= ∂

x c u t u

( )3 0 (2차원 라플라스 방정식)

2 2

2 2 2

2

∂ = + ∂

y u x

u

( ) ( ) ( )

( ) ( 차원 파동방정식)

방정식 푸아송

차원 2

,

4

2 2

2 2

2 2 2

2

⎟⎞

⎜⎛∂ ∂

∂ = + ∂

u u

u

y x y f

u x

u

( ) ( )

( ) ( 차원 라플라스 방정식)

파동방정식 차원

3 0

6

2

5

2 2

2

2 2

2 2

∂ =

∂ +

∂ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

∂ + ∂

= ∂

u u

u

y u x

c u t

u

( )6 2 2 2 = 0 (3차원 라플라스 방정식)

+ ∂ + ∂

x y z

(7)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

S l ti (해) 편미분방정식에 나타나는 모든 편도함수를 갖고 있는 함수로서

Solution(해) : 편미분방정식에 나타나는 모든 편도함수를 갖고 있는 함수로서 모든 점에서 주어진 방정식을 만족하는 함수이다.

Ex. 22 22 0 : u x2 y2, u e cosy, u sinxcosh y, u ln

(

x2 y2

)

y u x

u = = − = x = = +

∂ + ∂

∂ 의해들

- 일반적으로 편미분 방정식의 해의 전체 집합은 광범위하다.

- 편미분방정식은 물리적인 조건을 나타내는 추가적인 정보를 사용함으로써 유일 해를 구하게 된다.

Additional Conditions(추가적인 조건)(추가적인 건)

- Boundary Conditions(경계조건), Initial Conditions(초기조건)

(8)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

z

Fundamental Theorem on Superposition(중첩에 관한 기본정리)

z

Fundamental Theorem on Superposition(중첩에 관한 기본정리)

2 2 1 1 2

1과 가 어떤 영역 에서제차 선형 편미분방정식의해라면

u c u c u

R u

u

+

=

.

,

.

2 1 2

2 1 1

상수이다 임의의

는 된다

해가 편미분방정식의

그 에서 영역

같은 역시

R c c

u c u c

u +

Ex.2 S olving

uxx

− u = 0 Like an ODE .

(9)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

z

Fundamental Theorem on Superposition(중첩에 관한 기본정리)

2 2 1 1 2

1과 가 어떤 영역 에서제차 선형 편미분방정식의해라면

u c u c u

R u

u

+

=

z

Fundamental Theorem on Superposition(중첩에 관한 기본정리)

.

,

.

2 1 2

2 1 1

상수이다 임의의

는 된다

해가 편미분방정식의

그 에서 영역

같은 역시

R c c

u c u c

u +

Ex.2

Ex.2

Solving uxx − u = 0 dependingon x and y likean ODE.

( ) ( )

( ) ( ) x ( ) x

x x

e y B e

y A y

x u u

Be Ae

u u

u x

u u y

y x u u

+

=

=

+

=

=

=

=

,

0 ''

, .

, 에서 를 상수로 취급 즉

(10)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

Ex.4 S olving

uxy

= −

ux

Like an ODE

(11)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

Ex.4 S olving

uxy

= −

ux

Like an ODE

( ) ( )

=

⇒ +

=

=

=

= p y c x p c x e

p p p

p p

ux 라 하자. y y 1 ln ~ y

( )x y = f ( )x e + g( )y f( )x =c( )x dx

u , y ,

(12)

12

12 1 B i C 1 B i C t t ((기본개념 기본개념))

12

12.1 Basic Concepts .1 Basic Concepts ((기본개념 기본개념))

PROBLEM SET 12.1

HW 26 HW: 26

(13)

12

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave .2 Modeling: Vibrating String, Wave g g g g g, g, Equation

Equation ((모델화 모델화: : 진동하는 진동하는 현 현, , 파동방정식 파동방정식))

z 바이올린 현과 같은 탄성현에서 현의 미소 횡진동을 모델화한 방정식 유도

.

0

,

:

현을 상에 놓고 길이 만큼 늘이고 양끝을 고정

가정 x L x = x= L

)

, 0 (

.

:

.

0

구하는 변위를

현의 에서

임의의 시점

임의의

결정하는 진동을

현의 문제

시작 진동

놓음으로써

잡아당긴 현을

에서

x t

t

>

=

Physical Assumptions

1. 단위길이당 현의 질량은 일정하다. 현은 완전탄성체이며 휠 때 어떠한 저항도 나타내지 않는다

저항도 나타내지 않는다.

2. 현의 양 끝을 고정시키기 전에 현을 잡아당긴 장력이 매우 커서 현에 작 용하는 중려은 무시할 수 있다.

3. 현의 운동은 수직평면 내에서 미소횡진동이다. 즉 현의 모든 입자는 정 확하게 수직으로 움직이고, 따라서 현의 모든 점에서 변위와 기울기의 절대값은 항상 작다.

(14)

12

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave .2 Modeling: Vibrating String, Wave g g g g g, g, Equation

Equation ((모델화 모델화: : 진동하는 진동하는 현 현, , 파동방정식 파동방정식))

수평방향의 힘의 합력

T 0

T β

수평방향의 힘의 합력

) (

cos cos

0 cos

cos

2 1

2 1

T 상수 T

T T T

=

=

= +

β α

β α

수직방향의 힘의 합력

- Newton의 제2법칙 적용

T11 sinα + T22 sin ββ = ρρΔx utttt

tan

tan cos

sin cos

sin

1 1 2

2 tt Δx utt

Δx u T T

T T T

T ρ β α ρ

α α β

β = =

u T2 T2

P Q β Q

cos

cos 1

2 T T T

T β α

T1

T1

α α P β

T1

x x + Δx L

0

(15)

12

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave .2 Modeling: Vibrating String, Wave g g g g g, g, Equation

Equation ((모델화 모델화: : 진동하는 진동하는 현 현, , 파동방정식 파동방정식))

u β T2

정리

T2 T1

P P

Q Q

α α β

정리

β

T1

x x + Δx L

0

i

i T

T β

u

⎛ ∂

tan

tan cos

sin cos

sin

1 1 2

2 tt Δx utt

Δx u T T

T T T

T ρ β α ρ

α α β

β = =

x

u x

x u

⎟ ⎞

⎜ ⎛ ∂ Δ

⎟ ⎠

⎜ ⎞

= ∂

β β

α α

: tan tan

기울기 현의

에서의 점

기울기 현의

에서의 점

x

x x

x u x

Δ +

⎟ ⎠

⎜ ⎞

= ∂

⇒ Δ

+

β

β

: tan

tan 점 에서의 현의 기울기

u c u c

u u

u = ρ = = ρ

⎛ ∂

⎛ ∂ 2

2 2 2

) 1

1 (

lim 차원파동방정식

c T c t

u x T x

x

Δx x x x tt

Δx

⎝ ∂

⎝ ∂ +Δ

0 2 2 (1 ),

lim 차원파동방정식

(16)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z Solution of the one Dimensional Wave Equation z Solution of the one-Dimensional Wave Equation

1차원 파동방정식 : 2

2 2 2

2

t c u x

u

=

경계조건(Boundary Condition) :

초기조건(Initial Condition) :

( ) ( )0,t u L,t 0 (모든 t 대하여)

u = =

( )x f( )x u ( ) ( ) (x g x x L)

u ,0 = , t ,0 = 0 ≤ ≤

기 건( )

z 문제해결 방법

( ), f( ), t( ) ( ) (, g )

Method of Separating Variables (변수분리법)

경계조건을 만족하는 상미분방정식의 해를 구한다

( ), ( ) ( ) .

: u x y = F x G y 로 두면두 개의상미분방정식을 얻는다

경계조건을 만족하는 상미분방정식의 해를 구한다.

푸리에 급수를 이용하여 해를 구한다.

(17)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z 1단계. 파동방정식으로부터 두 개의 상미분방정식의 유도단계 파동방정식 부터 두 개의 상미분방정식의 유

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( ) ( )x G t

t t u

G x x F

y u G x F y

x

u

=

= ∂

⇒ ∂

= '' ,

,

2

2 2

2

&&

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )x k F

x F t

G c

t t G

G x F c t G x F

t x

=

=

=

''

''

&&

2 2

&&

™ 좌변은 t만의 함수이고, 우변은 x만의 함수이므로 양변은 상수가 되어야 한다.

( ) ( )

0,

( ) ( )

0

''

= 2 =

F x kF x G&& t c kG t

(18)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z 2단계. 경계조건의 만족

( )0 ( ) ( )0 0 ( ) ( ) ( ) 0 적용

경계조건 ( ) F( ) ( )G ( )L F( ) ( )L G

( ) ( )

( ) ( ) 0 ( )0 ( ) 0

''

0 0

0 ,

, 0 0

, 0

을 적용

경계조건

=

=

=

=

=

=

=

=

=

L F F

x kF x

F

L F F

t G L F t L u t

G F t u

( ) ( )

0 ,

( ) ( )

0 ''

x

kF x

=

G t

c2kG t

=

F

&&

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 ( )

''

0

0 0

, 0

2 2

+

=

=

>

=

=

=

=

Be

Ae x

F x

F p x F

p k

L F F

x kF x

F

px px

1 Case

( ) ( ) ( )

( )

( ) 0 ( 1) 0 0( 1) 0

0 0

0

2

2 − = ⇒ = ≠ =

= +

=

=

= +

=

+

=

=

A e A e B

Be Ae

L F

A B

B A F

Be Ae

x F x

F p x F

pL pL

pL

( ) pL ( ) ( )

0

) (

0

0

0

, 1 0

0 1

0

해 무의미한

=

=

=

=

=

= +

=

k

u F

B e

A e

A Be

Ae L

F

2 Case

( ) ( )

( )0 0, ( ) 0 0( 0)

0 ''

=

= +

=

=

=

+

=

=

L A

B AL L

F B

F

B Ax x

F x

F

) (

0

0

F = ⇒ u ≡ 무의미한 해

(19)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

0 k = p 2 <

3 Case

( ) ( ) ( )

( )0 0, ( ) cos sin 0 sin 0

sin cos

0 ''

2

=

= +

=

=

=

+

=

= +

pL B

pL B

pL A

L F A

F

px B

px A

x F x

F p x F

( ) ( )

( )

0 i

) (

0

0

0

,

=

= L n

u F

B

p p

p

π 정수

무의미한

( )

( ) ( ) sin ( 1, 2, 3, L)

:

0 sin

=

=

=

=

=

n L x

x n F x

F

L n p

pL

n

π

정수

( ) ( ) ( , , , )

n L

( )t G( )t cp cn G ( )t B t B t

G&& + λ 2 = 0 λ = = π = cosλ + sinλ

( ) ( )

0 ,

( ) ( )

0 ''

x

kF x

=

G t

c2kG t

=

F

&&

( ) ( ) G ( )t B t B t

cp L t

G t

G + λn 0, λn n n cosλn + n sinλn

( ) (, = cos + sin )sin x (n =1, 2, 3, L)

L t n

B t B

t x

un n λn n λn π

L

(20)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z Discussion of Eigenfunctions (고유합수에 관한 토의)Discussion of Eigenfunctions (고유합수에 관한 토의)

Eigenfunction(고유함수) 또는 Characteristic Function(특성함수) :

Eigenvalue(고유값) 또는 Characteristic Value(특성값) :

( )

x t

un ,

cnπ λ

=

Eigenvalue(고유값) 또는 Characteristic Value(특성값) :

Spectrum(스펙트럼) :

n L λ

=

{

λ1, λ2, L

}

Mode) Normal

th ( : n차정규진동 n un

) Motion (Harmonic

2

2

) (

조화운동 갖는

을 진동수

단위시간당

정규 동

L

n cn

n

π = λ

n = 1

0 L

n = 2

0 L

n = 3

0 L

n = 4

0 L

Node(마디점) : 현에서의 움직이지 않는 점

n L L

x L x

n

2 1

0

sin

π

= 단 = L −

n L n

x n

L

0 , , , ,

sin = 단 = L

(21)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z 3단계. 전체 문제에 대한 해. 푸리에 급수 u( )x,0 = f ( )x , ut( ) ( ) (x,0 = g x 0 ≤ xL)

( ) ( ) ( )

=

=

+

=

=

1 1

sin sin

cos

n n n n n

n n x

L t

λ B

t λ B

x,t u

x,t u

( )= = ( )

= L

n n x f x

L B n

x u

1

2

sin

0 , : )

(주어진 초기변위충족 π

초기조건

( )

=

n L xdx

L x n

L f B

0

2 sin

사인 급수 적용 π

푸리에

: )

(주어진 초기속도 충족 초기조건

( ) ( )

⎥⎦ = =

⎢⎣ +

=

= =

= = n n n

n n n n n n n t

t

x g L x

λ n B L x

t λ λ

B t λ λ

t B u

0 1 0 1

sin

* sin

cos sin

: )

(

π 충족

초기속도 주어진

초기조건

( ) ( )

=

=

n n L n L xdx

L x n

cn g B

L xdx x n

L g λ

B

0 0

2 sin

* 2 sin

*

π

π 적용 π

급수 사인

푸리에

(22)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

z 확립된 해 ( )= n( )= ( n cos n + n sin n )sin x

L t

λ B

t λ B

x,t u

x,t

z 확립된 해 u

( )

경우 고려

초기속도

g x

0

( ) ( ) ( )

=

=1 n 1 n n n n

n n

L

( )

( )x t B λ t x λ cnπ

u

B x

g n

=

=

=

=

cos sin

0

* 0

( )

( ) (x ct)

L ct

L x B

λ L L x

t λ B

x,t u

n

n n n n

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎭ ⎬

⎩ ⎨

⎧ +

⎭ +

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧ −

=

=

=

=

sin 2 sin

1

, sin

cos

1

( ) ( )

( ) ( )

[f x ct f x ct ]

L L

n n

+ +

=

⎥⎦

⎢⎣ ⎭ ⎬

⎩ ⎨

⎭ ⎬

⎩ ⎨

=

* 2 *

1

2

1

f *(x) f *(x – ct)

2

x ct

(23)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Ex. 1 Find the solution of the wave equation corresponding to the

triangular initial deflectiong 1f*(x) u(x, 0) t = 0

( ) ( )

⎪⎪

< <

< <

=

L L x

x k L

x L L x

k x

f 2

0 2

2 0 L

f*(x)

L 0

t 0

L/5 f *(x – )

f *(x + )

2

L

5 L

5 1

2 1

2

And initial velocity zero

( )

< <

x x L

L L 2 t = L/5c

f *(x – ) f *(x + )

t = 2L/5c

2L

5 2L

5 1

2 1

2

f *(x – ) f *(x + )

t = L/2c

L

2 L

2 1

2 1

( ) 2

⎥⎦

⎢⎣ +

= t L

L x c

t L L x c

L k

t x u

π π

π

π 3

3 cos 3 sin

cos 1 1 sin

1 8

,

2 2

2

f *(x – ) f *(x + )

t = 3L/5c

3L

5 3L

5

4L 4L

1 2

1 1

1 2

⎥⎦

⎢⎣ L L L L

π2 12 32

Section 11.3 Ex. 4 이용

t = L/c f *(x – )

f *(x + )

t = 4L/5c

4L

5 4L

5 1

2 1

2

t = L/c f*(x – L)

f*(x + L)

= 1 2 1 2

(24)

12

12.3 Solution by Separating Variables. .3 Solution by Separating Variables.

U f F i S i

U f F i S i

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

Use of Fourier Series

Use of Fourier Series

((변수 변수 분리에 분리에 의한 의한 해 해. . 푸리에급수의 푸리에급수의 사용 사용))

PROBLEM SET 12.3

HW 15 18 HW: 15-18

참조

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