⑴ y-(-3)=-2(x-2) ∴ y=-2x+1
⑵ 점 (-3, 0)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식은 y=3{x-(-3)} ∴ y=3x+9
⑶ (기울기)=tan 45^=1이므로
점 (2, -1)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 y-(-1)=x-2 ∴ y=x-3
1-2
⑴ y-0= 4 -0 3-1 (x-1) ∴ y=2x-2
⑵ ;2X;+ y
-1 =1 ∴ y=;2!;x-1 | 다른 풀이 |
두 점 (2, 0), (0, -1)을 지나므로 구하는 직선의 방정식은 y=-1-0
0-2 (x- 2 ) ∴ y=;2!;x-1
2-1
⑴ y-1= 2-11-(-2){x-(-2)} ∴ y=;3!;x+;3%;
⑵ ;1X;+ y-2 =1 ∴ y=2x-2
| 다른 풀이 |
두 점 (1, 0), (0, -2)를 지나므로 구하는 직선의 방정식은 y= -2-00-1 (x-1) ∴ y=2x-2
2-2
⑴ |1_2-1_3-2|
"ƒ1€+( -1 )€ = 3'2= 3'22
⑵ |3_1-4_2+10|
"ƒ3€+(-4)€ =;5%;=1
⑶ y=;2!;x+1을 일반형으로 고치면 x-2y+2=0이므로
|1_1-2_4+ 2 |
"ƒ1€+(-2)€ = 5'5='5
4-1
⑴ 두 직선이 서로 평행하면 기울기가 같으므로 a=3
⑵ 두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로 a_3=-1 ∴ a=-;3!;
⑶ 두 직선이 서로 평행하면 a6 =-2
-4 +-5
2 , -4a=-12 ∴ a=3
⑷ 두 직선이 서로 수직이면
a_6+(-2)_(-4)=0, 6a+8=0 ∴ a=-;3$;
3-2
⑴ 두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로 a_ 2 =-1 ∴ a=-;2!;
⑵ 두 직선이 서로 평행하면
;2A;=;1#;+ 1-5 ∴ a=6
⑶ 두 직선이 서로 수직이면
2_1+a_2=0, 2+2a=0 ∴ a=-1
3-1
본문 | 209, 211 쪽 개념 익히기
11. 직선의 방정식
096 | 정답과 해설
⑴ 점 (2, -1)과 직선 x-2y-3=0 사이의 거리는
|1_2-2_(-1)-3|
"ƒ1€+(-2)€ = 1 '5= '55
⑵ 점 (1, -2)와 직선 3x+4y+15=0 사이의 거리는
|3_1+4_(-2)+15|
"ƒ3€+4€ =;;¡5º;;=2
⑶ 점 (1, -1)과 직선 5x-12y-4=0 사이의 거리는
|5_1-12_(-1)-4|
"ƒ5€+(-12)€ =;1!3#;=1
4-2
y=3x-1의 y절편은 -1이므로 두 점 (0, -1)과 (2, 0)을 지 나는 직선의 방정식은
y= 0-(-1)2-0 (x-2) ∴ y=;2!;x-1
01-1
셀파 직선 y=3x-1의 y절편을 지나고 점 (2, 0)을 지나 는 직선의 방정식을 구한다.두 점 A(2, 3), B(4, 5)를 지나는 직선의 기울기는 5-34-2 =1
따라서 점 A를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 y-3=x-2 ∴ y=x+1
이때 직선 y=x+1이 x축과 만나는 점 P의 좌표를 (a, 0), y축 과 만나는 점 Q의 좌표를 (0, b)라 하면
0=a+1에서 a=-1, b=0+1=1이므로 P(-1, 0), Q(0, 1)
∴ PQ’="ƒ{0-(-1)}€+(1-0)€='2
01-2
셀파 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구한 다음 x절 편, y절편을 구한다.본문 | 212~223 쪽 확인 문제
⑴ 점 (4, -6)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식은 y-(-6)=3(x-4) ∴ y=3x-18
⑵ 두 점 (-1, 6), (2, -3)을 지나는 직선의 방정식은 y-6= -3-62-(-1){x-(-1)} ∴ y=-3x+3
⑶ x절편이 2, y절편이 -4인 직선의 방정식은 x2 + y
-4 =1 ∴ y=2x-4 확인 체크 01
셀파 특강
세 점 A(k, 2), B(3, -4), C(1, k)가 한 직선 위에 있으므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기와 두 점 B, C를 지나는 직선의 기울기는 같다.
직선 AB의 기울기는 -4-23-k = -6 3-k 직선 BC의 기울기는 k-(-4)1-3 =k+4
-2 즉, -63-k =k+4
-2 에서 (3-k)(k+4)=12 k€+k=0, k(k+1)=0 ∴ k=-1 또는 k=0
02-1
셀파 직선 AB의 기울기와 직선 BC(또는 직선 AC)의 기 울기가 같다.세 점 A(k-4, -3), B(3, 2k-1), C(4, 2k+1)이 삼각형을 이루지 않으므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기와 두 점 B, C를 지나는 직선의 기울기는 같다.
직선 AB의 기울기는 2k-1-(-3)3-(k-4) = 2k+27-k 직선 BC의 기울기는 2k+1-(2k-1)4-3 =2 즉, 2k+27-k =2에서 2k+2=2(7-k)
2k+2-14+2k=0, 4k-12=0 ∴ k=3
02-2
셀파 세 점 A, B, C가 삼각형을 이루지 않으려면 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있어야 한다.ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-;bA;x-;bC;
이 직선이 제1, 2, 3사분면을 지나려면 오른쪽 그림과 같아야 한다.
1 기울기가 양수이므로 -;bA;>0에서 ab<0 2 y절편이 양수이므로 -;bC;>0에서 bc<0
1, 2에서 a와 b는 서로 다른 부호, b와 c도 서로 다른 부호이므 로 a와 c는 서로 같은 부호이다. ∴ ca>0
x y
O cb
-03-1
셀파 제1, 2, 3사분면을 지나는 직선의 개형을 그려 본다.| 참고 |
a>0이면 b<0, b<0이면 c>0 ∴ ca>0 a<0이면 b>0, b>0이면 c<0 ∴ ca>0
⑴ ax+by+c=0에서 b+0이므로 y=-;bA;x-;bC;
ab>0에서 -;bA;<0, 즉 기울기는 음수이다.
bc>0에서 -;bC;<0, 즉 y절편은 음수이 다.
따라서 직선 y=-;bA;x-;bC;의 개형은 오 른쪽 그림과 같으므로 직선이 지나는 사
분면은 제2, 3, 4사분면
⑵ a=0, b+0이므로 by+c=0에서 y=-;bC;
이때 bc>0이므로 -;bC;<0
따라서 직선 y=-;bC;의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 직선이 지나는 사분면
은 제3, 4사분면
y
O x
- cb y
O x
- cb
03-2
셀파 ax+by+c=0을 y=-;bA;x-;bC;로 고치고 기울기와 y절편의 부호를 조사한다.3y=2x+1에서 y=;3@;x+;3!;
직선 y=;3@;x+;3!;과 수직인 직선의 기울기를 m으로 놓으면
;3@;_m=-1 ∴ m=-;2#;
점 (2, -1)을 지나고 기울기가 -;2#;인 직선의 방정식은 y-(-1)=-;2#;(x-2) ∴ y=-;2#;x+2
∴ a=-;2#;, b=2
04-2
셀파 두 직선이 수직이면 두 직선의 기울기의 곱이 -1이다.두 직선 x+ay+1=0, ax+(a-3)y+2=0이 서로 수직이면 1_a+a(a-3)=0, a€-2a=0
a(a-2)=0 ∴ a=0 또는 a=2
04-1
셀파 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 서로 수직이면 aa'+bb'=0이다.➊ 두 직선 l：y=mx+n, l'：y=m'x+n'에 대하여 l과 l'이 서로 수직 ⇨ mm'=-1
➋ 두 직선 l：ax+by+c=0, l'：a'x+b'y+c'=0에 대 하여 l과 l'이 서로 수직 ⇨ aa'+bb'=0
➊ 원점을 지나는 두 직선 y=mx, y=m'x 가 서로 수직이면 두 직선
l：y=mx+n, l'：y=m'x+n' 도 서로 수직이다.
따라서 두 직선 l, l'의 수직 조건은 두 직선 y=mx, y=m'x의 수직 조건과 같다.
오른쪽 그림처럼 두 직선 y=mx, y=m'x와 직선 x=1이 만나는 점을 각각 A(1, m), B(1, m')이라
하자.
삼각형 OAB는 직각삼각형 이므로
AB’€=OA’€+OB’€
이때 AB’=m-m', OA’="ƒ1€+m€, OB’="ƒ1€+m'€
이므로
(m-m')€=(1+m€)+(1+m'€) m€-2mm'+m'€=m€+m'€+2 ∴ mm'=-1
거꾸로 두 직선의 기울기의 곱이 -1이면
AB’€=OA’€+OB’€이 성립하므로 삼각형 OAB는 직각삼 각형이다.
따라서 두 직선 l, l'은 서로 수직이다.
➋ ax+by+c=0 (b+0)에서 y=- ab x-c b a'x+b'y+c'=0 (b'+0)에서 y=- a'b' x-c'
b' 따라서 두 직선의 기울기는 각각 - ab , -a'
b' 이고, 두 직선 이 수직이면 기울기의 곱이 -1이므로
{- ab }_{-a' b' }=-1 즉, aa'bb' =-1에서 aa'=-bb' ∴ aa'+bb'=0
세미나 두 직선이 서로 수직일 조건
y y=mx+n y=m'x+n'
y=m'x
y=mx
O x
y y=mx
y=m'x
O 1 x
A(1, m)
B(1, m')
098 | 정답과 해설
x+y=4 yy㉠
3x+y=8 yy㉡
ax+y=-4 yy㉢
1 세 직선이 모두 평행한 경우는 없다.
2 세 직선 중 두 직선이 평행한 경우
직선 ㉠, ㉢이 평행할 때, ;a!;=1+-1에서 a=1 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때, ;a#;=1+-2에서 a=3 3 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
직선 ㉠, ㉡의 교점 (2, 2)를 직선 ㉢이 지날 때 2a+2=-4 ∴ a=-3
1, 2, 3에서 a의 값은 -3, 1, 3
05-1
셀파 세 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 교점을 다른 한 직선이 지나야 한다.두 직선 x-3y+1=0, 2x-y-1=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은
x-3y+1+k(2x-y-1)=0 (k는 실수) yy㉠
직선 ㉠이 점 (3, -1)을 지나므로 7+6k=0 ∴ k=-;6&;
k=-;6&;을 ㉠에 대입하면 x-3y+1-;6&;(2x-y-1)=0 6x-18y+6-14x+7y+7=0
∴ 8x+11y-13=0
06-1
셀파 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 x-3y+1+k(2x-y-1)=0두 직선 4x+2y-1=0, x-y+5=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은
4x+2y-1+k(x-y+5)=0 (k는 실수) (4+k)x+(2-k)y-1+5k=0 yy ㉠ ㉠이 직선 2x-y+1=0에 평행하므로
4+k2 =2-k
-1 +-1+5k 1 -4-k=4-2k에서 k=8
k=8을 ㉠에 대입하면 12x-6y+39=0
∴ 4x-2y+13=0
06-2
셀파 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 4x+2y-1+k(x-y+5)=0ax+y+7=0 yy㉠
3x+by-5=0 yy㉡
x+2y+3=0 yy㉢
직선 ㉠, ㉢이 평행할 때, ;1A;=;2!;+;3&;
∴ a=;2!;
직선 ㉡, ㉢이 평행할 때, ;1#;=;2B;+ -53
∴ b=6
∴ a=;2!;, b=6
05-2
셀파 세 직선이 모두 평행할 때, 좌표평면을 네 부분으로 나 눈다.서로 다른 세 직선의 위치 관계
➊ 세 직선이 한 점에서 만날 때
⇨ 세 직선이 좌표평면을 여섯 부분으로 나눈다.
➋ 세 직선 중 두 직선이 평행할 때
⇨ 세 직선이 좌표평면을 여섯 부분으로 나눈다.
➌ 세 직선이 모두 평행할 때
⇨ 세 직선이 좌표평면을 네 부분으로 나눈다.
➊, ➋, ➌의 경우가 아닐 때, 즉 세 직선으로 삼각형을 만들 수 있다면 세 직선은 좌표평면을 일곱 부분으로 나눈다.
LEC TURE
mx-y+2m-1=0에서
(x+2)m-(y+1)=0 yy㉠
㉠이 m의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x+2=0, y+1=0 ∴ x=-2, y=-1
즉, 직선 ㉠은 m의 값에 관계없이 항상 점 (-2, -1)을 지난다.
이때 두 직선이 제4사분면에서 만나려 면 오른쪽 그림과 같이 직선 ㉠이 색칠 한 부분을 지나야 한다.
1 직선 ㉠이 점 (0, -2)를 지날 때 2m+1=0 ∴ m=-;2!;
2 직선 ㉠이 점 (1, 0)을 지날 때 3m-1=0 ∴ m=;3!;
1, 2에서 구하는 m의 값의 범위는 -;2!;<m<;3!;
07-1
셀파 직선 mx-y+2m-1=0이 지나는 정점을 구한다.y 2x-y-2=0
1 O x -2
-1 -2
1 2
mx-y+2m+1=0을 m에 대하여 정리하면
두 점 A(0, 1), B(4, 5)를 이은 선분의 길이는
AB’ ="ƒ4€+4€
='ß32=4'2 직선 AB의 방정식은 y-1= 5-14-0 x
∴ x-y+1=0
09-2
셀파 선분 AB를 밑변으로 하는 삼각형을 생각한다.y
y=x-2
O x
B(4, 5)
A(0, 1)
P(0, -2) h
x-y+1=0
세 점 O(0, 0), A(x¡, y¡), B(x™, y™)가 주어진 삼각형에서 AB’ ="ƒ(x™-x¡)€+(y™-y¡)€
또 직선 AB의 방정식은 y-y¡= y™-y¡x™-x¡ (x-x¡) 이므로
(y™-y¡)x-(x™-x¡)y-(x¡y™-x™y¡)=0
한편 원점에서 AB’에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 OAB의 높이는 원점과 직선 AB 사이의 거리 OH’이므로 OH’= |x¡y™-x™y¡|
"ƒ(y™-y¡)€+(x™-x¡)€
따라서 삼각형 OAB의 넓이 S는 S=;2!;_AB’_OH’=;2!;|x¡y™-x™y¡|
이것을 기억하기 쉬운 다음 꼴로 나타내기로 한다.
S=;2!;| 0 x¡ x™ 00 y¡ y™ 0 |
S=;2!;|(0_y¡+x¡_y™+x™_0)-(x¡_0+x™_y¡+0_y™)|
S=;2!;|x¡y™-x™y¡|
예
세 점 O(0, 0), A(3, -3), B(5, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각 형의 넓이 S는
S=;2!;|0 0 -3 1 03 5 0|
=;2!;|{(0_(-3)+3_1+5_0}
-{3_0+5_(-3)+0_1}|
=;2!;|3_1-5_(-3)|=9
| 참고 |
삼각형의 어느 한 꼭짓점도 원점이 아닐 경우에 이 공식을 이용하려면 세 꼭짓점 중 어느 하나가 원점이 되도록 평행이동시킨 다음 공식에 대 입한다.
y
O x
A(x¡, y¡)
B(x™, y™) H
세미나 세 점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이
⑴ 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P와 두 직 선 2x+3y-1=0, 3x-2y-2=0 사이의 거리가 같으므로
|2x+3y-1|
"ƒ2€+3€ = |3x-2y-2|
"ƒ3€+(-2)€
∴ |2x+3y-1|=|3x-2y-2|
1 2x+3y-1=3x-2y-2에서 x-5y-1=0
2 2x+3y-1=-(3x-2y-2)에서 5x+y-3=0
1, 2에서 구하는 직선의 방정식은 x-5y-1=0 또는 5x+y-3=0
⑵ 각의 이등분선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P와 두 직선 y='3x+3, y= 1'3x+3, 즉
'3x-y+3=0, x-'3y+3'3=0 사이의 거리가 같으므로
|'3x-y+3|
"ƒ('3 )€+(-1)€ = |x-'3y+3'3|
"ƒ1€+(-'3 )€
∴ |'3x-y+3|=|x-'3y+3'3|
1 '3x-y+3=x-'3y+3'3에서 ('3-1)x+('3-1)y-3('3-1)=0 4 x+y-3=0
2 '3x-y+3=-(x-'3y+3'3 )에서 ('3+1)x-('3+1)y+3('3+1)=0 4 x-y+3=0
1, 2에서 구하는 직선의 방정식은 x+y-3=0 또는 x-y+3=0
10-1
셀파 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용한다.두 직선 x-y+1=0과 y=x-2는 기울기가 모두 1이므로 서로 평행하다.
이때 직선 y=x-2 위의 임의의 한 점 P(0, -2)와 직선 x-y+1=0 사이의 거리를 h라 하면
h= |0-(-2)+1|
"ƒ1€+(-1)€ = 3 '2 따라서 삼각형 PAB의 넓이는
;2!;_AB’ _h=;2!;_4'2_ 3'2=6
본문 | 224~225 쪽 연습 문제
두 점 A(-5, 2), B(1, -1)에 대하여 선분 AB를 1：2로 내분 하는 점의 좌표는
{ 1_1+2_(-5)1+2 , 1_(-1)+2_21+2 }, 즉 (-3, 1) 따라서 점 (-3, 1)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식은 y-1=3{x-(-3)}
∴ y=3x+10
01
셀파 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)에 대하여 AB를 m：n으로 내분하는 점의 좌표 ⇨ {mx™+nx¡m+n , my™+ny¡m+n }오른쪽 그림처럼 꼭짓점 A를 지나는 중선을 l이라 하면 직선 l은 삼각형 ABC의 무게중심 G(3, -1)을 지나 고, BC’의 중점 M(4, -3)을 지난다.
따라서 두 점 G(3, -1), M(4, -3) 을 지나는 직선의 방정식은
y-(-1)= -3-(-1)4-3 (x-3) y+1=-2(x-3)
∴ y=-2x+5
02
셀파 삼각형에서 중선은 삼각형의 무게중심을 지난다.l B(5, 1)
G(3, -1) M(4, -3) A(a, b)
C(3, -7)
세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있으므로 (직선 AC의 기울기)=(직선 BC의 기울기)
a-(-1)1-0 = (2a+1)-05-(-1) , 1a+1 =2a+1 6 (a+1)(2a+1)=6, 2a€+3a+1=6 2a€+3a-5=0, (a-1)(2a+5)=0 4 a=1 또는 a=-;2%;
모든 상수 a의 값의 합은 1+{-;2%;}=-;2#;
따라서 구하는 답은 ①이다.
04
셀파 두 점 A, B를 지나는 직선이 점 C를 지나므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 선분 AC 의 중점과 선분 BD의 중점은 일치한다.
선분 AC의 중점은 { 1+72 , 1+5
2 }, 즉 (4, 3) D(a, b)라 하면 선분 BD의 중점은 { 5+a2 , 2+b
2 } 5+a2 =4, 2+b
2 =3 ∴ a=3, b=4
따라서 두 점 B(5, 2), D(3, 4)를 지나는 직선 BD의 방정식은 y-2= 2-45-3 (x-5), y-2=-(x-5)
∴ x+y-7=0
03
셀파 평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 즉, 대각선의 중점끼리 일치한다.직사각형과 마름모의 넓이를 동시에
(2, 3) (-1, 0)
y
O1 5
-2 -1 1
3 x
이등분하려면 구하는 직선이 오른쪽 그림처럼 두 사각형의 대각선의 교 점을 모두 지나야 한다.
직사각형에서 두 대각선의 교점의 좌표는
{ 1+32 , 1+5
2 }=(2, 3)
마름모에서 두 대각선의 교점의 좌표는 (-1, 0) 따라서 두 점 (-1, 0), (2, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y-0= 3-02-(-1){x-(-1)}, y=x+1
∴ x-y+1=0
05
셀파 직사각형의 대각선의 교점과 마름모의 대각선의 교점을 동시에 지나는 직선을 생각한다.도형의 넓이를 이등분하는 직선
➊ 삼각형에서 한 꼭짓점을 지나면서 그 넓이를 이등분하는 직 선은 무게중심(또는 대변의 중점)을 지난다.
➋ 평행사변형의 넓이를 이등분하는 직선은 두 대각선의 교점 (무게중심)을 지난다.
LEC TURE
G
102 | 정답과 해설
직선 x+ay+2=0이 직선 2x-by-1=0과 수직이므로 1_2+a_(-b)=0 ∴ ab=2
직선 x+ay+2=0이 직선 x-(b-3)y+6=0과 평행하므로
;1!;= a
-(b-3) +;6@; ∴ a+b=3
∴ a€+b€ =(a+b)€-2ab
=3€-2_2=5
06
셀파 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0이 서로 수직 이면 aa'+bb'=0, 평행하면 aa'= bb' +c c'
직선 (3k+2)x-y+2=0에서 y=(3k+2)x+2 yy㉠
기울기가 3k+2이고 y절편이 2이므로 직선 ㉠과 y축에서 수직으 로 만나는 직선의 방정식은
y=- 13k+2 x+2
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
- 13k+2 +2=0, 3k+2=;2!; ∴ k=-;2!;
따라서 구하는 답은 ②이다.
07
셀파 수직으로 만나는 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.1 두 점 A(-3, 1), B(5, -7)을 지나는 직선 AB의 기울기는 5-(-3)-7-1 = -88 =-1
선분 AB의 수직이등분선을 직선 l 이라 하면 선분 AB와 직선 l은 서 로 수직이므로 직선 l의 기울기는 1 이다.
2 선분 AB의 중점의 좌표는
{ -3+52 , 1+(-7)2 }, 즉 (1, -3)
1, 2에서 직선 l은 기울기가 1이고, 점 (1, -3)을 지나므로 y-(-3)=x-1 ∴ y=x-4
이때 점 (a, 1)이 직선 l 위의 점이므로 1=a-4 ∴ a=5
08
셀파 선분 AB의 수직이등분선은 직선 AB와 수직이면서 선 분 AB의 중점을 지나는 직선이다.A(-3, 1) l
(1, -3)
B(5, -7)
선분의 수직이등분선 오른쪽 그림과 같이 선분 AB의 수직이등분선 l은 다음 두 조건을
선분의 수직이등분선 오른쪽 그림과 같이 선분 AB의 수직이등분선 l은 다음 두 조건을