평면좌표 - 2020 셀파 수학상 답지 정답

⑴ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 {^-2+8+33 , ^4+(-5)+4

3 }

∴ G(3, 1)

⑵ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 {^-4+4+(-3)₃ , ^-3+1+5₃ } ∴ G( -1 , 1)

4-1

⑴ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 { 0+5+103 , 0+(-2)+83 } ∴ G(5, 2)

⑵ 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는

{ -4+8+(-2)3 , 2+3+43 } ∴ G{;3@;, 3}

4-2

⑷ 선분 AB를 2：3으로 외분하는 점 S의 좌표는 2_4-3_9

2-3 = -19-1 =19 ∴ S(19)

본문 | 192~203^쪽 확인 문제

PQ’ =4'2 이므로

"ƒ(-3-a)€+{2-(-2)}€=4'2 양변을 제곱하여 정리하면

a€+6a-7=0, (a+7)(a-1)=0

∴ a=-7 또는 a=1

01-1

^셀파 ^PQ’=4'2에서 PQ’€=32이다.

AB’ ="ƒ(2-1)€+(-1-a)€="ƒa€+2a+2 AC’ ="ƒ(4-1)€+(3-a)€="ƒa€-6a+18 이때 AB’=AC’에서 AB’€=AC’€이므로

a€+2a+2=a€-6a+18, 8a=16 ∴ a=2

01-2

^셀파 선분 AB, AC의 길이를 각각 a에 대한 식으로 나타낸 다.

⑴ x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 놓으면 AP’="ƒ{a-(-1)}€+(0-2)€="ƒa€+2a+5 BP’="ƒ(a-5)€+(0-4)€="ƒa€-10a+41 이때 AP’=BP’에서 AP’€=BP’€이므로

a€+2a+5=a€-10a+41, 12a=36 ∴ a=3 ∴ P(3, 0)

⑵ y축 위의 점 Q의 좌표를 (0, b)로 놓으면 AQ’="ƒ{0-(-1)}€+(b-2)€="ƒb€-4b+5 BQ’="ƒ(0-5)€+(b-4)€="ƒb€-8b+41 이때 AQ’=BQ’에서 AQ’€=BQ’€이므로

b€-4b+5=b€-8b+41, 4b=36 ∴ b=9 ∴ Q(0, 9)

02-1

^셀파 x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0), y축 위의 점 Q의 좌 표를 (0, b)로 놓고 AP’=BP’, AQ’=BQ’임을 이용한다.

직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)로 놓으면 AP’ ="ƒ(a-5)€+(a-2)€="ƒ2a€-14a+29 BP’ ="ƒ(a-0)€+(a-5)€="ƒ2a€-10a+25 이때 AP’ =BP’ 에서 AP’€=BP’€이므로

2a€-14a+29=2a€-10a+25, -4a=-4 ∴ a=1

∴ P(1, 1)

02-2

^셀파 직선 y=x 위의 점 P의 좌표를 (a, a)로 놓고 AP’=BP’임을 이용한다.

AB’="ƒ(0-a)€+(3-2)€="ƒa€+1 BC’="ƒ(4-0)€+(5-3)€='ß20

CA’="ƒ(a-4)€+(2-5)€="ƒa€-8a+25

이때 삼각형 ABC가 ∠A=90^인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에서

AB’€+CA’€=BC’€

(a€+1)+(a€-8a+25)=20 a€-4a+3=0, (a-1)(a-3)=0

∴ a=1 또는 a=3

03-2

^셀파 피타고라스 정리를 이용하여 a에 대한 방정식을 세운 다.

AB’="ƒ{2-(-1)}€+(1-5)€ ^y

O x

-2 -2-1 2

1 5 A

='ß25=5

BC’="ƒ(-2-2)€+(-2-1)€

='ß25=5

CA’="ƒ{-1-(-2)}€+{5-(-2)}€

='ß50=5'2

AB’ =BC’ 이고 AB’€+BC’€=CA’€이므로 삼각형 ABC는 AB’ =BC’ 인 직각이등변삼각형이다.

03-1

^셀파 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 AB’, BC’, CA’를 구한다.

삼각형의 모양

좌표평면 위의 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 모양을 판단할 때는 먼저 세 변 AB, BC, CA의 길이 를 구한 다음 세 변의 길이 사이의 관계를 알아본다.

➊ AB’=BC’=CA’ ⇨ 정삼각형

➋ AB’=BC’ (또는 BC’=CA’ 또는 CA’=AB’) ⇨ 이등변삼각형

➌ AB’€=BC’€+CA’€ ⇨ 3C=90^인 직각삼각형

LEC TURE

오른쪽 그림과 같이 직선 BC를 x축, 점 N을 원점으로 놓고 점 A, B, C, M을 각각 A(a, b), B(-2c, 0), C(c, 0), M(-c, 0) 이라 하자.

04-1

^셀파 직선 BC를 x축, 점 N을 원점으로 놓는다.

NO A(a, b)

C(c, 0)

M(-c, 0) x

B(-2c, 0)

088^{| 정답과 해설}

AB’ ="ƒ(-2c-a)€+(0-b)€, AC’ ="ƒ(c-a)€+(0-b)€

AM’ ="ƒ(-c-a)€+(0-b)€, AN’ ="ƒa€+b€

MN’ =|-c|이므로

AB’€+AC’€ =(a+2c)€+b€+(a-c)€+b€

=2a€+2ac+2b€+5c€

AM’ €+AN’ €+4MN’ €=(a+c)€+b€+a€+b€+4c€

=2a€+2ac+2b€+5c€

∴ AB’€+AC’€=AM’ €+AN’ €+4MN’ ’€

⑴ 점 B(3, 1)과 x축에 대하여 대칭 ^y

O P x

A(1, 2)

B'(3, -1) B(3, 1)

인 점을 B'이라 하면 B'(3, -1) 또 x축 위의 점 P에 대하여 BP’ =B'P’ 이므로

AP’ +BP’ = AP’ +B'P’

>AB'’

="ƒ(3-1)€+(-1-2)€

='ß4+9='ß13

따라서 AP’ +BP’ 의 최솟값은 'ß13

⑵ 점 B(2, 3)과 y축에 대하여 ^y

O x

B(2, 3) B'(-2, 3)

A(6, 1) P

대칭인 점을 B'이라 하면 B'(-2, 3)

또 y축 위의 점 P에 대하여 BP’=B'P’

이므로

AP’ +BP’ =AP’+B'P’>AB'’

="ƒ(-2-6)€+(3-1)€

='ß64+4='ß68=2'ß17 따라서 AP’ +BP’ 의 최솟값은 2'ß17

05-1

^셀파 점 B와 x축 또는 y축에 대하여 대칭인 점 B'을 생각 한다.

삼각형의 성질과 선분의 길이의 최솟값 삼각형의 세 변의 길이 사이에는

두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 크다.

는 성질이 있으므로 그림과 같은 삼 각형 APB에서 AP’+PB’>AB’가 성립한다.

즉, 점 P가 임의의 점일 때, AP’+PB’>AB’이다.

이때 AP’+PB’=AB’이면 점 P는 AB’ 위의 점임을 알 수 있 다.

LEC TURE

A B

본문 | 197^쪽 집중 연습

두 점 A(-2, 1), B(4, 10)에서

⑴ P(x, y)라 하면

x= 2_4+1_(-2)2+1 =;3^;=2 y= 2_10+1_12+1 =;;™3¡;;=7 ∴ P(2, 7)

⑵ Q(x, y)라 하면

x= 2_4-1_(-2)2-1 =10 y= 2_10-1_12-1 =19 ∴ Q(10, 19)

⑶ M(x, y)라 하면

x= (-2)+42 =1, y= 1+102 =;;¡2¡;;

∴ M {1, ;;¡2¡;;}

01

두 점 A(1, 0), B(6, 5)에서

⑴ P(x, y)라 하면

x= 3_6+2_13+2 =;;™5º;;=4 y= 3_5+2_03+2 =;;¡5∞;;=3 ∴ P(4, 3)

⑵ Q(x, y)라 하면 x= 3_6-2_13-2 =16 y= 3_5-2_03-2 =15 ∴ Q(16, 15)

⑶ M(x, y)라 하면

x= 1+62 =;2&;, y=0+5 2 =;2%;

∴ M {;2&;, ;2%;}

02

두 점 A(3, -1), B(-1, -5)에서

⑴ P(x, y)라 하면

x= 1_(-1)+3_31+3 =;4*;=2

y= 1_(-5)+3_(-1)1+3 = -84 =-2 ∴ P(2, -2)

03

⑴ 선분 AB를 3：1로 내분하는

A(2) P(5) B(6) x

3 1

점 P의 좌표는 3_6+1_2

3+1 =;;™4º;;=5 ∴ P(5)

⑵ 선분 AB를 2：1로 외분하는 점 Q의 좌표는

2_6-1_(-3) 2-1 =15 ∴ Q(15)

A(-3) B(6) Q(15) x 2

확인 체크 01

셀파 특강

⑵ Q(x, y)라 하면

x= 1_(-1)-3_31-3 = -10-2 =5 y= 1_(-5)-3_(-1)1-3 = -2-2 =1 ∴ Q(5, 1)

⑶ M(x, y)라 하면 x= 3+(-1)2 =;2@;=1

y= (-1)+(-5)2 = -62 =-3 ∴ M(1, -3)

두 점 A(a, 4), B(6, -8)을 이은 선분 AB를 3：b로 내분하는 점 P의 좌표가 (4, -5)이므로

3_6+b_a

3+b =4 yy㉠

3_(-8)+b_4

3+b =-5 yy㉡

㉡에서 -24+4b=-5(3+b), 9b=9 ∴ b=1 b=1을 ㉠에 대입하면

18+a4 =4, 18+a=16 ∴ a=-2

∴ a=-2, b=1

06-1

^셀파 내분점 공식을 이용한다.

⑴ P(x, y)라 하면 x= 2_1+1_22+1 =;3$;

y= 2_(-2)+1_12+1 = -33 =-1 ∴ P {;3$;, -1}

⑵ Q(x, y)라 하면

x= 3_7-1_(-1)3-1 =;;™2™;;=11 y= 3_(-3)-1_53-1 = -142 =-7 ∴ Q(11, -7)

확인 체크 02

셀파 특강

3AC’=2BC’에서 AC’：BC’=2：3

A(6, -4) B(1, 1) 2

점 C는 선분 AB의 연장선 위에 있으 므로 점 C는 선분 AB를 2：3으로 외 분하는 점이다. 이때

C{ 2_1-3_62-3 , 2_1-3_(-4)2-3 }

∴ C(16, -14)

| 다른 풀이 |

3AC’=2BC’에서 BA’：AC’=1：2

C(a, b)

A(6, -4) B(1, 1) 2

1 오른쪽 그림에서 점 C의 좌표를 (a, b)로

놓으면 점 A(6, -4)는 선분 CB를 2：1로 내분하는 점이므로

2+a3 =6, 2+b

3 =-4 ∴ a=16, b=-14

∴ C(16, -14)

06-2

^셀파 3AC’=2BC’에서 AC’：BC’=2：3이므로 점 C는 선 분 AB를 2：3으로 외분하는 점이다.

두 점 A(-1, 2), B(4, -6)에서

⑴ P(x, y)라 하면

x= 1_4+2_(-1)1+2 =;3@;

y= 1_(-6)+2_21+2 =-;3@;

∴ P {;3@;, -;3@;}

⑵ Q(x, y)라 하면

x= 1_4-2_(-1)1-2 = 6-1 =-6 y= 1_(-6)-2_21-2 = -10-1 =10 ∴ Q(-6, 10)

⑶ M(x, y)라 하면 x= (-1)+42 =;2#;

y= 2+(-6)2 =-2 ∴ M {;2#;, -2}

04

090^{| 정답과 해설}

삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

{ a+3+13 , -2+b+53 }, 즉 { a+43 , b+3 3 } 무게중심의 좌표가 (2, 3)이므로

a+43 =2, b+3 3 =3 a+4=6, b+3=9

∴ a=2, b=6

∴ a+b=2+6=8

07-1

^셀파 삼각형 ABC의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표의 평균 이다.

삼각형 ABC의 무게중심은 선분 AM을 2：1로 내분하는 점이 므로

{ 2_4+1_12+1 , 2_(-8)+1_(-5)2+1 }, 즉 (3, -7)

07-2

^셀파 선분 AM을 2：1로 내분하는 점이 무게중심이다.

⑴ AB’：AC’=BD’：CD’이므로 9：6=x：3, 6x=27 ∴ x=;2(;

⑵ AB’：AC’=BD’：CD’이므로 5：3=10：x, 5x=30 ∴ x=6

확인 체크 03

셀파 특강

나머지 꼭짓점을 B(x¡, y¡), C(x™, y™), D(x£, y£)으로 놓자.

A(1, 2)

B(x¡, y¡) C(x™, y™) D(x£, y£) (0, 0)

(3, -1)

변 AB의 중점의 좌표가 (0, 0)이므로 1+x¡2 =0, 2+y¡

2 =0에서 x¡=-1, y¡=-2

∴ B(-1, -2)

또 변 BC의 중점의 좌표가 (3, -1)이므로 -1+x™

2 =3, -2+y™2 =-1에서 x™=7, y™=0

∴ C(7, 0)

이때 사각형 ABCD가 평행사변형이므로 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치한다. 즉,

-1+x£

2 =4, -2+y£2 =1

∴ x£=9, y£=4

∴ D(9, 4)

08-2

^셀파 B(x¡, y¡), C(x™, y™), D(x£, y£)으로 놓고 변 AB, BC의 중점을 이용한다.

또 마름모는 네 변의 길이가 같으므로 AB’=AD’에서 AB’€=AD’€

(5-1)€+(-1-1)€=(3-1)€+(b-1)€

b€-2b-15=0, (b+3)(b-5)=0

∴ b=-3 또는 b=5

그런데 주어진 조건에서 b>0이므로 b=5 b=5를 ㉠에 대입하면 a=3

∴ a=3, b=5

사각형의 대각선의 성질

➊ 등변사다리꼴：두 대각선의 길이가 같다.

➋ 평행사변형：두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

➌ 마름모：두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

➍ 직사각형： 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분 한다.

➎ 정사각형： 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이 등분한다.

LEC TURE

서로 다른 것을 이등분한다.

길이가 같다.

서로 수직 이다.

평행사변형 ◯

마름모 ◯ ◯

직사각형 ◯ ◯

정사각형 ◯ ◯ ◯

등변사다리꼴 ◯

오른쪽 그림과 같은 사각형 ABCD에서 대각선 AC의 중점의 좌표는

{ 1+72 , 1+a 2 }, 즉 {4, 1+a2 }

또 대각선 BD의 중점의 좌표는 { 5+32 , -1+b

2 }, 즉 {4, -1+b2 }

사각형 ABCD는 마름모이므로 두 대각선 AC, BD의 중점이 일 치한다.

1+a2 =-1+b

2 에서 1+a=-1+b

∴ a-b=-2 yy㉠

08-1

^셀파 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

A(1, 1)

D(3, b)

C(7, a)

B(5, -1)

도서관이 세워지는 지점 P의

B(-3, 4)

P(a, b)

C(-4, -1)

A(2, 3) y

O x

좌표를 (a, b)라 하면 AP’=BP’=CP’이므로 AP’=BP’일 때

"ƒ(a-2)€+(b-3)€

="ƒ{a-(-3)}€+(b-4)€

양변을 제곱하여 정리하면 10a-2b=-12

∴ 5a-b=-6 yy㉠

BP’=CP’일 때

"ƒ{a-(-3)}€+(b-4)€="ƒ{a-(-4)}€+{b-(-1)}€

양변을 제곱하여 정리하면

2a+10b=8 ∴ a+5b=4 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=1

따라서 도서관이 세워지는 지점의 좌표는 (-1, 1)

02

^셀파 도서관이 세워지는 지점의 좌표를 P(a, b)라 놓고, AP’=BP’=CP’를 이용한다.

점 P(a, b)가 2x-y=7 위의 점이므로 2a-b=7 yy㉠

또 A(1, -3), B(5, 1)에서 AP’=BP’이므로 AP’€=BP’€

(a-1)€+(b+3)€=(a-5)€+(b-1)€

8a+8b=16

∴ a+b=2 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-1

∴ ab=-3

따라서 구하는 답은 ③이다.

03

^셀파 점 P가 직선 2x-y=7 위의 점이므로 2a-b=7

 점 P는 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이고 점 Q는 y축 위의 점 이므로 x좌표가 0이다.

따라서 점 P, Q의 좌표를 각각 (a, 0), (0, b)로 놓을 수 있다.

 AP’=BP’이므로 AP’€=BP’€

(a-1)€+(0-2)€=(a-3)€+(0-4)€

a€-2a+5=a€-6a+25 4a=20 ∴ a=5

AQ’=BQ’이므로 AQ’€=BQ’€

(0-1)€+(b-2)€=(0-3)€+(b-4)€

b€-4b+5=b€-8b+25 4b=20 ∴ b=5

따라서 P(5, 0), Q(0, 5)이다.

 ∴ PQ ’="ƒ(5-0)€+(0-5)€

='ß50=5'2

04

^셀파 구하는 점을 각각 P(a, 0), Q(0, b)로 놓고 AP’=BP’, AQ’=BQ’를 생각한다.

본문 | 204~205^쪽 연습 문제

두 점 A(a-2b, a), B(a, -a)에서 AB ’="ƒ{a-(a-2b)}€+(-a-a)€

="ƒ(2b)€+(-2a)€

="ƒ4a€+4b€=2"ƒa€+b€

두 점 A, B 사이의 거리가 2'ß15이므로 2"ƒa€+b€=2'ß15

양변을 제곱하면 4(a€+b€)=60

∴ a€+b€=15

01

^셀파 ^AB’=2'ß15를 이용한다.

삼각형 ABC가 정삼각형이므로 AB’=BC’=CA’

A(-1, 3), B(3, 3), C(a, b)에서 AB’="ƒ{3-(-1)}€+(3-3)€=4 BC’="ƒ(a-3)€+(b-3)€

CA’="ƒ(-1-a)€+(3-b)€

BC’=CA’이므로 BC’€=CA’€

(a-3)€+(b-3)€=(a+1)€+(b-3)€

8a=8 ∴ a=1

CA’=AB’이므로 CA’€=AB’€

(-1-a)€+(3-b)€=16 a=1을 대입하면 4+(3-b)€=16 b€-6b+13=16, b€-6b-3=0

∴ b=3\2'3

b>0이므로 b=3+2'3

∴ a=1, b=3+2'3

05

^셀파 AB’=BC’=CA’를 이용한다.

채점 기준 배점

두 점 P, Q의 좌표를 a, b로 나타낸다. 20%

두 점 P, Q의 좌표를 구한다. 60%

선분 PQ의 길이를 구한다. ^20%

092^{| 정답과 해설}

점 B(3, 2)와 y축에 대하여 대칭인 ^y

O P

x B'(-3, 2) B(3, 2)

A(1, -1)

점을 B'이라 하면 B'(-3, 2)이다.

y축 위의 점 P에 대하여 BP’=B'P’이므로 AB’+AP’+BP’

= AB’+AP’+B'P’

>AB’+AB'’

이때

AB’="ƒ(3-1)€+{2-(-1)}€='ß13 AB'’="ƒ(-3-1)€+{2-(-1)}€='ß25=5

∴ AB’+AB'’=5+'ß13

따라서 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 AB’+AB'’=5+'ß13

06

^셀파 점 B와 y축에 대하여 대칭인 점 B'을 잡는다.

삼각형 ABC에서

점 D는 선분 BC를 1：3으로 내분하므로 BD’：DC’=1：3

08

^셀파 선분의 내분과 외분을 이용하여 높이가 같은 삼각형에서 삼각형의 넓이의 비를 구한다.

| 다른 풀이 |

오른쪽 그림과 같이 선분 AB와 y축이 만나는 점을 P라 하고, 점 P와 점 B에서 점 A를 지나고 x축에 평행한 직선에 내 린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 평 행선 사이의 선분의 길이의 비에서 AP’：PB’=AH’：HH'’=3：1=m：n 이때 m, n은 서로소인 자연수이므로 m=3, n=1

O 1 x

1 P

-3

6 B(1, 6)

H H' A(-3, 1)

두 점 A(-3, 1), B(1, 6)을 이은 선분 AB를 m：n으로 내분하 는 점의 좌표는

{ m_1+n_(-3) m+n , m_6+n_1m+n } 이 점이 y축 위에 있으므로 x좌표는 0이다.

m-3nm+n =0, m-3n=0 ∴ m=3n 이때 m, n은 서로소인 자연수이므로 m=3, n=1

07

^셀파 선분 AB를 m：n으로 내분하는 점의 x좌표가 0이다.

점 E는 선분 BC를 2：3으로 외분하므로 EB’=2BC’

점 F는 선분 AB를 1：2로 외분하므로 BF’=2AB’

B D C

8 1 3

BD’：EB’=1：8이므로

△AEB=8△ABD yy㉠

BF’=2AB’이므로

△FEB=2△AEB yy㉡

㉠, ㉡에서

△FEB=16△ABD

∴ k=16

높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 두 삼각형의 밑변의 길 이의 비와 같다.

B m Pn C

P n C h A

B P

m h

BP’：CP’=m：n이면

△ABP：△ACP={;2!;_m_h}：{;2!;_n_h}

=m：n

이므로 밑변의 길이의 비가 넓이의 비가 된다.

△ABP：△ACP=m：n

예 삼각형 ABC의 넓이가 30 cm€이고 BP’：CP’=2：1일 때,

⑴ △ABP=₂₊₁² _(△ABC)

=;3@;_30=20 (cm€)

⑵ △APC=₂₊₁¹ _(△ABC)

=;3!;_30=10 (cm€)

⑶ △ABP：△ACP=2：1

세미나 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비

B 2 P 1 C

점 M은 변 BC의 중점이고 점 G가 삼각형 ABC의 무게중심이므로 AG’：GM’=2：1

이때 GM’='2이므로 AG’=2'2

∴ AM’=AG’+GM’=3'2 또 BM’=;2!; BC’=;2!;_6=3

따라서 삼각형 ABC에서 중선 정리를 이용하면 AB’€+AC’€=2(AM’€+BM’€)

6€+AC’€=2{(3'2)€+3€}

36+AC’€=54, AC’€=18

∴ AC’=3'2 (∵ AC’>0)

B 6

3 M 3 C

G 3'2

10

^셀파 점 G는 중선 AM을 2：1로 내분하므로 AG’=2GM’이 다.

중선과 무게중심

➊ 삼각형 ABC에서 한 꼭짓점 과 그 대변의 중점을 잇는 선분 을 중선이라 한다.

➋ 삼각형에서 중선은 세 개가 존 재하고, 이 세 중선의 교점 G가 삼각형의 무게중심이다.

LEC TURE

B M C

L G N

세 점 O(0, 0), A(1, 7), B(5, 2)와 점 P(x, y)에 대하여 PO’€=x€+y€

PA’€ =(1-x)€+(7-y)€

=x€-2x+y€-14y+50 PB’€ =(5-x)€+(2-y)€

=x€-10x+y€-4y+29

∴ PO’€+PA’€+PB’€

=3x€-12x+3y€-18y+79 =3(x-2)€+3(y-3)€+40

x, y는 실수이므로 (x-2)€>0, (y-3)€>0

따라서 PO’€+PA’€+PB’€은 x=2, y=3일 때 최솟값 40을 가지 므로

m=40, a=2, b=3

∴ m+a+b=40+2+3=45

| 다른 풀이 |

점 P가 삼각형 OAB의 무게중심일 때, PO’€+PA’€+PB’€의 값이 최소가 된다.

무게중심 P의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 0+1+53 =2, y= 0+7+23 =3

따라서 PO’€+PA’€+PB’€의 값이 최소가 되는 점 P의 좌표는 (2, 3)이다.

이때

PO’€=(0-2)€+(0-3)€=4+9=13 PA’€=(1-2)€+(7-3)€=1+16=17 PB’€=(5-2)€+(2-3)€=9+1=10

∴ PO’€+PA’€+PB’€=13+17+10=40 m=40, a=2, b=3이므로

m+a+b=40+2+3=45

11

^셀파 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 PO’€+PA’€+PB’€을 x, y에 대한 식으로 나타낸다.

삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점이 D이 므로

AB’：AC’=BD’：DC’ yy㉠

이때 A(2, 8), B(-3, -4), C(6, 5)에서 AB’="ƒ(-3-2)€+(-4-8)€='ß169=13 AC’="ƒ(6-2)€+(5-8)€='ß25=5 AB’：AC’=13：5이므로 BD’：DC’=13：5 즉, 점 D는 선분 BC를 13：5로 내분하는 점이다.

점 D의 좌표를 (x, y)라 하면 x= 13_6+5_(-3)13+5 =;1^8#;=;2&;

y= 13_5+5_(-4)13+5 =;1$8%;=;2%;

∴ D{;2&;, ;2%;}

09

^셀파 삼각형의 내각의 이등분선의 성질을 이용한다.

삼각형의 각의 이등분선

삼각형 ABC에서 ∠A(또는 ∠A의 외각)의 이등분선과 BC’

(또는 BC’의 연장선)와의 교점을 D라 할 때, 다음이 성립한다.

AB’：AC’=BD’：DC’

B D C B C D

내각의 이등분선 외각의 이등분선 LEC TURE

094^{| 정답과 해설}

삼각형의 세 꼭짓점에서 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점 수직선 위에서 두 점 A(a)와

A(a) x

|x-a| |x-b|

P(x) B(b)

B(b)를 잇는 선분 AB 위의 한 점을 P(x)라 하면

AP’€+BP’€ =|x-a|€+|x-b|€

=(x-a)€+(x-b)€

=x€-2ax+a€+x€-2bx+b€

=2x€-2(a+b)x+a€+b€

=2{x-a+b

2 }€+ (a-b)€2

따라서 AP’€+BP’€의 값은 점 P의 좌표가 두 점 A, B 좌표의 평균, a+b

2 일 때 최소가 된다.

즉, 두 점 A, B에 이르는 거리의 제곱의 합이 최소인 점 P는 두 점 A, B를 잇는 선분의 중점이다.

마찬가지로 좌표평면 위의 세 점 A, B, C에 대하여

AP’€+BP’€+CP’€의 값은 점 P의 좌표가 세 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)의 좌표의 평균인

{x¡+x™+x£

3 , y¡+y™+y£

3 }일 때, 최소가 된다.

즉, 세 점 A, B, C에 이르는 거리의 제곱의 합이 최소인 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심이다.

LEC TURE

삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 중점 P, Q, R를 꼭짓점으 로 하는 삼각형 PQR의 무게중심은 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다.

문서에서 2020 셀파 수학상 답지 정답 (페이지 78-87)