이차방정식의 근의 공식
0
➊ ax€+bx+c=0 (a+0)의 근은 ⇨ x= -b\"ƒb€-4ac2a
➋ ax€+2b'x+c=0 (a+0)의 근은 ⇨ x= -b'\"ƒb'€-aca
이차방정식이 ax€+2b'x+c=0과 같은 꼴일 때,
➊의 공식에 b 대신 2b'을 대입하면 x= -2b'\"ƒ(2b')€-4ac2a
= -2b'\"ƒ4(b'€-ac)2a
= -b'\"ƒb'€-aca
따라서 일차항의 계수가 짝수일 때의 근의 공식은 x= -b'\"ƒb'€-aca
LEC TURE
⑶ 양변에 분모의 최소공배수 12 를 곱하면 3(3x-1)-4(x+2)=2_12
9x-3-4x- 8 =24, 5x=35 ∴ x=7
이차방정식의 판별식을 D라 할 때,
⑴ (x-2)€=3, 즉 x€-4x+1=0에서 일차항의 계수가 짝수이므로 a=1, b'=-2, c=1을
D4 =b'€-ac에 대입하면 D4 =(-2)€-1_1=3>0 ∴ 서로 다른 두 실근
⑵ a=1, b=3, c=4를 D=b€-4ac에 대입하면 D=3€-4_1_4=-7<0
∴ 서로 다른 두 허근
4-2
이차방정식의 판별식을 D라 할 때,
⑴ D= 5 €-4_2_1=17 > 0 ∴ 서로 다른 두 실근
⑵ D=(-1)€-4_1_1=-3<0 ∴ 서로 다른 두 허근
⑶ 일차항의 계수가 짝수이므로 D4 =b'€-ac에 대입하면
D4 =( -'3 )€-3_1=0 ∴ 중근
4-1
⑴ x€-4x+3=0에서 (x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3
⑵ 2x€+x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=1
⑶ x€-x-1=0에서 좌변의 이차식을 인수분해하기 어려 우므로 근의 공식을 이용하면
x=-(-1)\"ƒ(-1)€-4_1_(-1)
2_1 = 1\'52
⑷ 3x€-16x+22=0에서 좌변의 이차식을 인수분해하기 어려우므로 근의 공식을 이용하면
x= -(-8)\"ƒ(-8)€-3_223 = 8\'ß-23
= 8\'2i3
3-2
⑶ 일차항의 계수가 짝수이므로a=3, b'=-2, c=2를 D4 =b'€-ac에 대입하면 D4 =(-2)€-3_2=-2<0
∴ 서로 다른 두 허근
⑷ 일차항의 계수가 짝수이므로
a=2, b'=-2'5, c=10을 D4 =b'€-ac에 대입하면 D4 =(-2'5 )€-2_10=0
∴ 중근
⑴ x€+6x+11=0에서
a+b=-;1^;=-6, ab=:¡1¡:=11
⑵ x€-2x-1=0에서
a+b=- -21 =2, ab=-1 1 =-1
⑶ 2x€+2x+3=0에서 a+b=-;2@;=-1, ab=;2#;
⑷ 3x€-2x+4=0에서 a+b=- -23 =;3@;, ab=;3$;
5-2
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때, a+b=-;aB;, ab=;aC;
⑴ a+b=- -4
1 =4, ab=;1@;=2
⑵ a+b=- -1
1 =1, ab= -11 =-1
⑶ a+b=-;2!;, ab= -12 =-;2!;
⑷ a+b=-;3@;, ab= 1 3
5-1
⑴ 구하는 이차방정식은
x€-( 3 +7)x+3_7=0 ∴ x€- 10 x+21=0
6-1
046 | 정답과 해설
⑴ x€-(4+5)x+4_5=0 ∴ x€-9x+20=0
⑵ x€-(-3+6)x+(-3)_6=0 ∴ x€-3x-18=0
6-2
본문 | 88~102 쪽 확인 문제
⑴ (a€+2)x=(a€+2)(a€-1)에서
a가 실수일 때, a€+2>0이므로 등식의 양변을 a€+2로 나누 면
x= (a€+2)(a€-1)a€+2 ∴ x=a€-1
⑵ (a+1)(a-2)x=a-2에서
1 a+-1, a+2일 때, 등식의 양변을 (a+1)(a-2)로 나누 면
x= a-2
(a+1)(a-2) ∴ x= 1a+1 2 a=-1일 때, 0*x=-3이므로 해는 없다. 3 a=2일 때, 0*x=0이므로 해는 무수히 많다.
a€+2+0
(a+1)(a-2)+0
01-1
셀파 방정식 Ax=B를 A=0일 때와 A+0일 때로 나눈 다.x에 대한 이차방정식 x€+(a€-1)x+a=0의 한 근이 -1이므 로 이 방정식에 x=-1을 대입하면
1-(a€-1)+a=0
a€-a-2=0, (a+1)(a-2)=0
∴ a=-1 또는 a=2
02-1
셀파 x=-1을 이차방정식 x€+(a€-1)x+a=0에 대입 하면 등식이 성립한다.(a-3)x+5=x+b에서 (a-4)x=b-5
⑴ x의 계수가 0이 아닐 때, 해가 하나이므로 a+4
⑵ 0*x=k (k+0) 꼴일 때, 해가 없으므로 a=4, b+5
⑶ 0*x=0 꼴일 때, 해가 무수히 많으므로 a=4, b=5
01-2
셀파 주어진 방정식을 Ax=B 꼴로 정리한 다음 각 경우에 따라 A, B의 조건을 생각한다.1 a=-1을 x€+(a€-1)x+a=0에 대입하면 x€-1=0, (x+1)(x-1)=0
∴ x=-1 또는 x=1
2 a=2를 x€+(a€-1)x+a=0에 대입하면 x€+3x+2=0, (x+2)(x+1)=0 ∴ x=-2 또는 x=-1
따라서 구하는 다른 한 근은
a=-1일 때 x=1, a=2일 때 x=-2
x=2가 이차방정식 kx€+px+(k+3)q=0의 근이므로 이 방 정식에 x=2를 대입하면 4k+2p+qk+3q=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로 k에 대하여 정리하면 (4+q)k+2p+3q=0에서 4+q=0, 2p+3q=0
∴ p=6, q=-4
02-2
셀파 x=2를 주어진 이차방정식에 대입한 다음 k에 대하여 정리한다.⑴ ('2+1)x€-x-2-'2=0의 양변에 '2-1을 곱하면 ('2-1)('2+1)x€-('2-1)x-('2-1)(2+'2 )=0 x€-('2-1)x-'2=0
좌변을 인수분해하면 (x+1)(x-'2 )=0 ∴ x=-1 또는 x='2
⑵ ('3+1)x€-('3+1)x-2'3=0의 양변에 '3-1을 곱하면 ('3-1)('3+1)x€-('3-1)('3+1)x-2'3('3-1)=0 2x€-2x-2'3('3-1)=0
x€-x-'3('3-1)=0 (x-'3 )(x+'3-1)=0 ∴ x='3 또는 x=-'3+1
03-1
셀파 주어진 방정식에서 이차항의 계수가 무리수이면 적당 한 수를 곱해 유리수로 고친다.⑴ 4x€-3|x|-1=0에서
1 x>0일 때, 4x€-3x-1=0, (4x+1)(x-1)=0 그런데 x>0이므로 x=1
2 x<0일 때, 4x€+3x-1=0, (4x-1)(x+1)=0 그런데 x<0이므로 x=-1
1, 2에서 x=-1 또는 x=1
04-1
셀파 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 x의 값을 기준으로 x 의 값의 범위를 나눈다.⑵ 구하는 이차방정식은
x€-(-4-5)x+(-4)_( -5 )=0 ∴ x€+9x+20=0
⑵ x€-3x+2=|x-1|에서 1 x>1일 때, x€-3x+2=x-1
x€-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 그런데 x>1이므로 x=1 또는 x=3 2 x<1일 때, x€-3x+2=-(x-1)
x€-2x+1=0, (x-1)€=0 ∴ x=1 그런데 x<1이므로 조건에 맞지 않는다.
1, 2에서 x=1 또는 x=3
x€+2(k+1)x+k€-1=0의 판별식을 D라 하면 D4 =(k+1)€-(k€-1)=2k+2
⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 D4 >0이므로 2k+2>0 ∴ k>-1
⑵ 중근을 가지려면 D4 =0이므로 2k+2=0 ∴ k=-1
⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 D4 <0이므로 2k+2<0 ∴ k<-1
05-1
셀파 x의 계수가 짝수이므로 D4 =b'€-ac를 이용한다.
kx€-2(k-1)x+k-1=0이 x에 대한 이차방정식이므로 k+0이고 이 방정식의 판별식을 D라 하면
D4 =(k-1)€-k(k-1)=-k+1>0 ∴ k<1 이때 k+0이므로 구하는 k의 값의 범위는
k<0 또는 0<k<1
05-2
셀파 이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 D>0⑴ $x&€-3$x&-4=0에서 $x&=n(n은 정수)으로 치환하면 n€-3n-4=0, (n+1)(n-4)=0
∴ n=-1 또는 n=4
즉, $x&=-1 또는 $x&=4이므로 1 $x&=-1일 때, -1<x<0 2 $x&=4일 때, 4<x<5 1, 2에서 구하는 방정식의 해는 -1<x<0 또는 4<x<5
⑵ 1 0<x<1일 때, [x]=0이므로 x€=2 ∴ x=-'2
그런데 0<x<1이므로 만족시키는 x의 값은 없다.
2 1<x<2일 때, [x]=1이므로 x€-1=2, x€=3 ∴ x=-'3
그런데 1<x<2이므로 x='3 3 2<x<3일 때, [x]=2이므로
x€-2=2, x€=4 ∴ x=-2 그런데 2<x<3이므로 x=2 1, 2, 3에서 x='3 또는 x=2
확인 체크 01
셀파 특강
이차방정식 ax€+bx+c=0이 중근을 갖는 경우를 제외하고 판별식 D는 계수 a, b, c가 실수일 때, 의미를 갖는다.
이를테면 이차방정식 x€-(1-2i)x-(1+i)=0에서 D=(1-2i)€-4_1_{-(1+i)}=1>0
이다. 그러나 실제로 근을 구해 보면
x= (1-2i)\"ƒ(1-2i)€-4_1_{-(1+i)}2
= (1-2i)-12
∴ x=1-i 또는 x=-i 즉, 서로 다른 두 허근을 갖는다.
따라서 이차방정식에서 판별식 D는 계수가 실수일 때, 이용할 수 있음을 알 수 있다.
하지만 이차방정식이 중근을 가질 때는 계수가 허수라도 D=0은 의미를 갖는다.
a, b, c가 실수일 때, 이차방정식 ax€+bx+c=0에서 D=b€-4ac는 다음을 만족한다.
➊ D>0이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
➋ D=0이면 중근을 갖는다.
➌ D<0이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
세미나 판별식은 어떻게 이용되는가?
mx€+2mx-2가 x에 대한 이차식이므로 m+0 또 이 식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 mx€+2mx-2=0의 판별식 D=0이어야 한다.
D4 =m€+2m=0, m(m+2)=0
∴ m=-2 또는 m=0 그런데 m+0이므로 m=-2
06-1
셀파 x에 대한 이차식 ax€+bx+c가 완전제곱식이면 a+0이고 방정식 ax€+bx+c=0의 판별식 D=0이다.048 | 정답과 해설
x에 대한 이차식 x€-2(k-a)x+k€+2k-2b가 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x€-2(k-a)x+k€+2k-2b=0의 판별식 D=0이어야 한다.
D4 =(k-a)€-(k€+2k-2b)=0
k€-2ak+a€-k€-2k+2b=0, -2ak+a€-2k+2b=0 -2(a+1)k+a€+2b=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로 -2(a+1)=0, a€+2b=0
∴ a=-1, b=-;2!;
06-2
셀파 x에 대한 이차식이 완전제곱식이면 (이차식)=0이 중근을 가지므로 판별식 D=0을 이용한다.본문 | 95 쪽 집중 연습
x€+3x-1=0의 두 근을 a, b(a>b)라 하면
⑴ 근과 계수의 관계에서 a+b=-3
⑵ 근과 계수의 관계에서 ab=-1
⑶ a€+b€ =(a+b)€-2ab
=(-3)€-2_(-1)=11
⑷ 1a+ 1
b= a+b
ab = -3-1 =3
⑸ (a-b)€ =(a+b)€-4ab
=(-3)€-4_(-1)=13 ∴ a-b='ß13 (∵ a>b)
01
x€-4x+2=0의 두 근을 a, b(a>b)라 하면
⑴ 근과 계수의 관계에서 a+b=4
⑵ 근과 계수의 관계에서 ab=2
⑶ (a-b)€ =(a+b)€-4ab
=4€-4_2=8 ∴ a-b=2'2 (∵ a>b)
⑷ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)
=4‹-3_2_4=40
⑸ a‹-b‹ =(a-b)‹+3ab(a-b)
=(2'2 )‹+3_2_2'2
=16'2+12'2=28'2
02
x€-3x+1=0의 두 근을 a, b(a>b)라 하면
⑴ 근과 계수의 관계에서 a+b=3
⑵ 근과 계수의 관계에서 ab=1
⑶ a€+b€=(a+b)€-2ab=3€-2_1=7
⑷ 1a+ 1
b= a+b
ab =;1#;=3
⑸ D>0, a+b>0, ab>0에서 a>0, b>0이므로 ('a+'b )€ =a+b+2'a 'b=a+b+2'ßab
=3+2_1=5 ∴ 'a+'b='5 (∵ 'a+'b>0)
03
x€-6x+4=0의 두 근을 a, b(a>b)라 하면
⑴ 근과 계수의 관계에서 a+b=6
⑵ 근과 계수의 관계에서 ab=4
⑶ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)
=6‹-3_4_6=144
⑷ D>0, a+b>0, ab>0에서 a>0, b>0이므로 ('a+'b )€ =a+b+2'a 'b=a+b+2'ßab
=6+2_2=10 ∴ 'a+'b='ß10 (∵ 'a+'b >0)
⑸ b€
a + a€
b = a‹+b‹
ab = 1444 =36
04
x€-2x+5=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에서 a+b=2, ab=5
∴ 1
a+1+ 1
b+1= (b+1)+(a+1)(a+1)(b+1)
= a+b+2
ab+a+b+1= 2+25+2+1=;2!;
07-1
셀파 a+b, ab를 포함하도록 주어진 식을 변형한 다음 a+b=2, ab=5를 대입한다.x€-ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에서
a+b=a, ab=b åå㉠
x€-4x+2=0의 두 근이 a+b, ab이므로 근과 계수의 관계에서 a+b+ab=4, (a+b)_ab=2 åå㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 a+b=4, ab=2
∴ a‹+b‹ =(a+b)‹-3ab(a+b)
=4‹-3_2_4=40
07-2
셀파 근과 계수의 관계에서 a+b=a, ab=b 또 a+b+ab=4, (a+b)_ab=2두 근을 a, a€으로 놓으면 근과 계수의 관계에서 a+a€=-k ∴ k=-a-a€ åå㉠
a_a€=4k ∴ a‹=4k åå㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
a‹=4(-a-a€), a‹=-4a-4a€
a‹+4a€+4a=0, a(a€+4a+4)=0, a(a+2)€=0
∴ a=-2 (∵ a+0) 이 값을 ㉠에 대입하면 k=2-4=-2
k=-2일 때, 주어진 방정식은 x€-2x-8=0이므로 (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 따라서 k=-2일 때, 두 근은 x=-2 또는 x=4
a=0이면 ㉡에서 k=0이므로 k+0인 조건에 맞지 않다.
08-2
셀파 두 근을 a, a€으로 놓는다.x€-6x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에서 a+b=6, ab=1
⑴ (두 수의 합)=-a-b=-(a+b)=-6 (두 수의 곱)=(-a)(-b)=ab=1 따라서 구하는 이차방정식은 x€+6x+1=0
09-1
셀파 두 수 a, b를 근으로 하고 x€의 계수가 1인 이차방정식 은 x€-(a+b)x+ab=0이다.⑴ 두 근을 2a, 3a로 놓으면 근과 계수의 관계에서 2a+3a=k åå㉠, 2a_3a=6 åå㉡
㉡에서 a€=1 ∴ a=\1 a=\1을 ㉠에 대입하면 ∴ k=5 또는 k=-5
⑵ 두 근을 a, a+1로 놓으면 근과 계수의 관계에서 a+(a+1)=5 åå㉠, a(a+1)=k åå㉡
㉠에서 2a=4 ∴ a=2
a=2를 ㉡에 대입하면 k=2_3=6
| 다른 풀이 |
x€-5x+k=0의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에서 a+b=5, ab=k 또 주어진 조건에서 |a-b|=1이므로 |a-b|€=(a+b)€-4ab에서 1€=5€-4k, 4k=24 ∴ k=6
08-1
셀파 ⑴ 두 근을 2a, 3a로 놓는다.⑵ 두 근을 a, a+1로 놓는다. ⑵ (두 수의 합) = 1
a+ 1
b= a+b ab =6 (두 수의 곱)= 1
ab=1
따라서 구하는 이차방정식은 x€-6x+1=0
⑶ (두 수의 합) =a€+b€=(a+b)€-2ab
=6€-2_1=34 (두 수의 곱)=a€b€=(ab)€=1
따라서 구하는 이차방정식은 x€-34x+1=0
2x€-4x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에서 a+b=--4
2 =2, ab=;2#;
이때
(두 수의 합)=a€b+ab€=ab(a+b)=;2#;_2=3 (두 수의 곱)=a€b_ab€=a‹b‹=(ab)‹=;;™8¶;;
따라서 구하는 이차방정식은 8{x€-3x+:™8¶:}=0
∴ 8x€-24x+27=0
09-2
셀파 두 수 a, b를 근으로 하고 x€의 계수가 a인 이차방정 식은 a{x€-(a+b)x+ab}=0이다.⑴ 이차방정식 x€+6x+4=0의 근을 구하면 x=-3-"ƒ3€-4=-3\'5
∴ x€+6x+4 ={x-(-3+'5)}{x-(-3-'5)}
=(x+3-'5 )(x+3+'5 )
⑵ 이차방정식 x€+2x+3=0의 근을 구하면 x=-1-"ƒ1€-3=-1\'2 i
∴ x€+2x+3 ={x-(-1+'2i)}{x-(-1-'2i)}
=(x+1-'2 i)(x+1+'2 i) 확인 체크 02
셀파 특강
⑴ 이차방정식 x€-kx+1=0의 계수가 유리수이고 한 근이 2-'3이므로 다른 한 근은 2+'3이다.
이때 근과 계수의 관계에서
(2-'3 )+(2+'3 )=4=k ∴ k=4
10-1
셀파 주어진 근을 이용하여 다른 한 근을 구한 다음 근과 계 수의 관계를 이용한다.050 | 정답과 해설
⑵ 이차방정식 x€-ax+b=0의 계수가 실수이고 한 근이 1+3i 이므로 다른 한 근은 1-3i이다.
이때 근과 계수의 관계에서
(1+3i)+(1-3i)=2=a ∴ a=2 (1+3i)(1-3i)=1+9=b ∴ b=10
| 다른 풀이 |
x=1+3i를 방정식 x€-ax+b=0에 대입하면 (1+3i)€-a(1+3i)+b=0
1+6i-9-a-3ai+b=0 (-a+b-8)+(6-3a)i=0
-a+b-8, 6-3a는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에서 -a+b-8=0, 6-3a=0
∴ a=2, b=10
이차방정식 x€+2ax+a€-2a+6=0의 두 근을 a, b라 하면 a, b가 모두 음수일 조건은 D>0, a+b<0, ab>0
1 D
4 =a€-(a€-2a+6)=2a-6>0 ∴ a>3 2 a+b=-2a<0에서 a>0
3 ab=a€-2a+6=(a-1)€+5>0에서 a는 모든 실수이다.
1, 2, 3의 공통 범위를 구하면 a>3
11-1
셀파 두 근이 모두 음수이면 D>0, a+b<0, ab>0이차방정식 x€+(k€-4)x+5-4k=0의 두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르므로 ab<0에서
5-4k<0 ∴ k>;4%; åå㉠
두 근의 절댓값이 같으므로 a+b=0에서 -(k€-4)=0 ∴ k=\2 åå㉡
㉠, ㉡에서 k=2
11-2
셀파 두 근을 a, b라 할 때, 두 근의 절댓값이 같으므로 한 근이 a이면 다른 한 근은 -a, 즉 a+b=0이다.두 근의 부호가 서로 다를 경우
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근의 부호가 서로 다르면 (두 근의 곱)=;aC;<0
이 식의 양변에 양수인 a€을 곱해도 부호가 바뀌지 않으므로 a€_;aC;<0에서 ac<0
이때 ax€+bx+c=0의 판별식을 D라 하면 D=b€-4ac>0
즉, 두 근의 부호가 서로 다를 경우 두 근의 곱이 음수가 되고 이때 판별식은 항상 양수이다.
따라서 두 근의 곱이 음수라는 조건만 따지면 된다.
ac<0이므로 -4ac>0이다.
LEC TURE
정원의 폭을 x m라 하면 직사각형 모양의 땅 전체 넓이는
10_8=80 m€, 정원의 넓이는 (10x+8x-x€) m€이다.
남은 땅의 넓이가 24 m€이므로 80-(10x+8x-x€)=24
x€-18x+56=0, (x-4)(x-14)=0
∴ x=4 또는 x=14
그런데 0<x<8이므로 구하는 정원의 폭은 4 m
12-1
셀파 정원의 폭을 x m로 놓으면 정원의 넓이는 (10x+8x-x€) m€이다.주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하고 2x-99=t로 치환하면 t€+2t+10=0 åå㉠
㉠의 두 근은 2a-99, 2b-99이므로 근과 계수의 관계에서 (2a-99)+(2b-99)=-2, 2(a+b)=196
∴ a+b=98
따라서 구하는 답은 ③이다.
02
셀파 2x-99=t로 치환한다.본문 | 103~105 쪽 연습 문제
a(ax-1)-(x+1)=0에서 a€x-a-x-1=0,(a€-1)x=a+1 (a+1)(a-1)x=a+1 åå㉠
이때 방정식의 해가 없으므로 ㉠이 0*x=k (k+0) 꼴이어야 한 다. 즉,
(a+1)(a-1)=0, a+1+0 ∴ a=1
이차방정식 x€-(4a-1)x-5a+1=0에 a=1을 대입하면 x€-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
01
셀파 x에 대한 방정식 Ax=B의 해가 없으면 A=0, B+0 이다.| 참고 |
방정식 (a+1)(a-1)x=a+1에서 1 a+-1, a+1일 때, x= a+1
(a+1)(a-1) ∴ x= 1a-1 2 a=-1일 때, 0*x=0이므로 해는 무수히 많다.
3 a=1일 때, 0*x=2이므로 해는 없다.
10 m
8 m x m
x m
(k-1)x€+2(k+1)x+(k+2)=0이 이차방정식이므로 k-1+0 ∴ k+1 åå㉠
이때 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D4 =(k+1)€-(k-1)(k+2)>0 k+3>0 ∴ k>-3 åå㉡
㉠, ㉡에서 -3<k<1 또는 k>1
04
셀파 이차방정식에서 (x€의 계수)+0과 판별식 D>0을 이용 한다.이차방정식 x€-2(k+a)x+(k€-k+b)=0이 중근을 가지므 로 판별식을 D라 하면
D4 =(k+a)€-(k€-k+b)=0 k€+2ak+a€-k€+k-b=0
∴ (2a+1)k+a€-b=0 이 등식이 k에 대한 항등식이므로 2a+1=0, a€-b=0
∴ a=-;2!;, b=;4!;
05
셀파 이차방정식이 k의 값에 관계없이 중근을 가지면 판별식 D=0이고 이 등식은 k에 대한 항등식이다.이차방정식 (a+b)x€+2cx+a-b=0이 중근을 가지므로 판별 식을 D라 하면
D4 =c€-(a+b)(a-b)=0 c€-(a€-b€)=0 ∴ a€=b€+c€
a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이므로 이 삼각형은 빗변의 길이 가 a인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 답은 ①이다.
06
셀파 이차방정식 (a+b)x€+2cx+a-b=0이 중근을 가진다.⇨ 판별식 D=0이다.
이차방정식 x€-2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 a€-2a-4=0, b€-2b-4=0에서
a€=2a+4, b€=2b+4
a€-3a+1=2a+4-3a+1=5-a b€-3b+1=2b+4-3b+1=5-b
∴ (a€-3a+1)(b€-3b+1) =(5-a)(5-b)
=25-5(a+b)+ab 한편 근과 계수의 관계에서 a+b=2, ab=-4이므로 (주어진 식)=25-5_2-4=11
07
셀파 이차방정식 x€-2x-4=0의 두 근이 a, b이므로 a€-2a-4=0, b€-2b-4=0이다.⑴ x€+|x|="ƒ(x-1)€+3에서
"ƒ(x-1)€=|x-1|이므로 x€+|x|=|x-1|+3 1 x<0일 때,
|x|=-x, |x-1|=-(x-1)이므로 x€-x=-x+1+3, x€=4 ∴ x=-2 또는 x=2 그런데 x<0이므로 x=-2 2 0<x<1일 때,
|x|=x, |x-1|=-(x-1)이므로 x€+x=-x+1+3, x€+2x-4=0 ∴ x=-1\'5
그런데 0<x<1이므로 조건을 만족시키는 x의 값은 없다.
3 x>1일 때,
|x|=x, |x-1|=x-1이므로
x€+x=x-1+3, x€=2 ∴ x=\'2 그런데 x>1이므로 x='2
x€+x=x-1+3, x€=2 ∴ x=\'2 그런데 x>1이므로 x='2