생명과학을 위한 수학 1 중간고사
(2017년 4월 22일 오후 1:00-3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [15점] 수면 위 6m 에 있는 부두와 밧줄로 연결된 배가 있다. 부두에서 이 밧줄을 0.6 m/sec 의 속도로 당기는 상황을 아래 그림1 과 같이 생각하자. 배와 부두 사이의 거리가 15m 일 때, 밧줄과 수면이 이루는 각도 θ 는 얼마나 빨리 증가하는지 구하시오. Figure 1. 문제 2. [20점] 함수 f (x) = Z x 1 log(t2+ t + 1) dt (x > 0) 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) y = f (x) 는 역함수 x = g(y) 를 가짐을 보이고, 이 때 g0(0) 의 값을 구하시오. (b) (10점) h(x) = Z x2+1 x2 log(t2+ t + 1) dt 일 때, h0(1) 의 값을 구하시오. 문제 3. [20점] 두번 미분가능한 함수 f 가 f00 (x) = f (x), f (0) = 1, f0(0) = 0 을 만족할 때 다음 물음에 답하시오.(a) (13점) 평균값 정리를 이용하여 f0(x) cosh x − f (x) sinh x = c0와 f0(x) sinh x − f (x) cosh x =
c1 (c0, c1 은 상수) 임을 보이시오. (b) (7점) (a)를 이용하여 f (x) = cosh x 임을 보이시오. 문제 4. [10점] 방정식 x5− 10x3− 10 = 0 의 한 해가 열린 구간 (−2, 2) 에 있음을 보이고, 초기값을 x0= 2 로 선택할 때 뉴턴의 방법에 의하여 얻은 첫 번째 단계의 근사해 x1 을 구하시오. 문제 5. [30점] 다음 극한값을 구하시오. (a) (10점) lim x→∞x(log(x + 1) − log(x − 1)) (b) (10점) lim n→∞ n X k=1 n3 (k2− 2nk + 2n2)2 (c) (10점) lim h→0 f (x + h) − f (x) − f0(x)h h2 단, 함수 f 는 실수 전체에서 두번 미분가능한 함수이다. 1
2 문제 6. [10점] 정적분 Z 9 3 dx x 의 사다리꼴 근삿값을 구간을 3등분하여 구하시오. 문제 7. [20점] 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) Z ∞ −∞ xe−x2 dx 의 수렴, 발산을 판정하시오. (b) (10점) Z ∞ e dx x(log x)p 가 수렴하는 양의 실수 p 의 범위를 구하시오. 문제 8. [30점] 다음 물음에 답하시오.
(a) (10점) 곡선 X1(t) = (2 cos2t, cos t sin t) (0 ≤ t ≤ π) 의 개형을 그리고 t 가 증가할 때 곡선이
움직이는 방향을 화살표로 나타내시오.
(b) (10점) 곡선 X1(t) = (2 cos2t, cos t sin t) (0 ≤ t ≤ π) 의 내부의 넓이를 구하시오.
(c) (10점) 곡선 X2(t) = (t cos t, t sin t) (0 ≤ t ≤ 2π) 의 길이를 구하시오. 문제 9. [10점] 미분 가능한 함수 z = f (x, y) 에 대하여 점 (a, b) 에서의 (1, 1) 방향 미분계수가 3 이고, (1, −2) 방향 미분계수가 −2 이다. 이 때 점 (a, b) 를 포함하는 등위선의 점 (a, b) 에서의 접선을 구하시오. 문제 10. [20점] 다음 물음에 답하시오. (a) [10점] 좌표평면 R2에서 정의된 함수 f (x, y) = x3−y3 + 3x2+ 3y2−9x 의 극대, 극소, 안장점을 모두 구하시오.
(b) [10점] f (u, v) = u log v , u = y + sin x , v = x2+ 2 + cos y 일 때 ∂
2 f ∂x∂y 를 구하시오. 문제 11. [15점] 구면 x2 + y2+ z2= 1 의 온도 분포가 T (x, y, z) = xz + yz + 2 일 때 가장 뜨거운 곳을 구하시오.
