우석대학교 에너지전기공학과

일반수학

강의 (24)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 주요내용 복습) 9-2-1. 사인함수의 역함수 

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

에서

𝑦 = 𝑏

가 되는

𝑥

는 무수히 많음.  축소된 함수

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) , −

π 2

≤ 𝑥 ≤

π 2 는

1:1

함수이므로 역함수가 존재함.  축소된 사인 함수

𝑉𝑠.

아크사인 함수  축소된 사인 함수:

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

정의역:

−

π₂

≤ 𝑥 ≤

π₂

치역:

−1 ≤ 𝑦 ≤ 1

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

(1) 아크사인 함수에서는 축소된 사인함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로,

𝑥

와

𝑦

의 구간이 바뀜. (2)

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛

−1

(𝑥)

는

𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑦)

를 의미하므로, 『

𝑦

는 아크사인함수에서

𝑥

값이 주어졌을 때의 각』  아크사인 함수:

𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑦) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛

−1

(𝑥)

정의역:

−

π 2

≤ 𝑦 ≤

π 2 치역:

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑦 𝑥 0 1 −1 −π 2 π 2 _{𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)} 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1_(𝑥) 𝑦 = 𝑥

(지난 시간 주요내용 복습) 9-2-2. 코사인함수의 역함수 

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

에서

𝑦 = 𝑏

가 되는

𝑥

는 무수히 많음.  축소된 함수

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

는

1:1

함수이므로 역함수가 존재함.  축소된 코사인 함수

𝑉𝑠.

아크코사인 함수  축소된 코사인 함수:

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

정의역:

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

치역:

−1 ≤ 𝑦 ≤ 1

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

(1) 아크코사인 함수에서는 축소된 코사인함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로,

𝑥

와

𝑦

의 구간이 바뀜. (2)

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥)

는

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

를 의미하므로, 『

𝑦

는 아크코사인 함수에서

𝑥

값이 주어졌을 때의 각』 복습  아크코사인 함수:

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥)

정의역:

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋

치역:

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑦 𝑥 0 1 −1 𝜋 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥) 𝑦 = 𝑥 𝜋 −1 1

예제) 함수와 그 역함수에 관한 성질에 의해, 다음이 정의 됨을 증명하라. (1)

𝑐𝑜𝑠

−1

𝑐𝑜𝑠(𝑦) = 𝑦 , (0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋)

<증명>  아크코사인함수의 정의:

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥)



𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑦) = 𝑥

이므로 (2)

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥) = 𝑥, (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1)

<증명> 

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

의 역함수:

𝑐𝑜𝑠(𝑦) = 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥)

(1) 주어진 식

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

−1

_{(𝑥) = 𝑥}

_{에서 우변의}

_𝑥

_대신

_{𝑐𝑜𝑠(𝑦)}

_{를 대입:}

_{𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠}

−1

_{(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑦)}

(2)

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

의 좌변에

𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥)

대신 를

𝑦

대입:

𝑐𝑜𝑠(𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

∴

𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠

−1

(𝑥) = 𝑥

가 성립.

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

_{𝑐𝑜𝑠(𝑦)}

9-2-3. 탄젠트함수의 역함수  탄젠트함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

에서

𝑦 = 𝑏

가 되는

𝑥

는 무수히 많으므로, 완전 1:1 함수가 아님.  탄젠트함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

의 정의역 구간을

−

π 2

,

π 2 로 축소하면,

𝑦 = 𝑏

가 되는

𝑥

는 오직 하나.

∴

축소된 탄젠트함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) , −

𝜋 2

< 𝑥 <

𝜋 2 는 완전

1:1

함수 역함수가 존재함  이 축소된 탄젠트함수의 역함수를 역 탄젠트 (아크탄젠트) 함수라 함.  아크탄젠트함수 구하는 방법 (1)

𝑥

와

𝑦

를 교환:

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

(2)

𝑦

에 대하여 정리:

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥)

(아크탄젠트

𝑥

라 함) 9-2. 역 삼각함수 𝑦 𝑥 0 𝜋 2 −𝜋₂ 3𝜋₂ −3𝜋₂ −π π 𝑦 = 𝑏 <탄젠트함수> 𝑦 𝑥 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑏 <축소된 탄젠트함수>

 아크탄젠트 함수 (arctangent function)의 정의  축소된 탄젠트 함수:

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

• 정의역:

−

𝜋 2

< 𝑥 <

𝜋 2 • 치역:

−∞ < 𝑦 < ∞

 아크탄젠트 함수:

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥)

• 정의역:

−

π 2

< 𝑦 <

π 2

• 치역:

−∞ < 𝑥 < ∞

※

𝑛𝑜𝑡𝑒

(1) 아크탄젠트 함수에서는 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로,

𝑥

와

𝑦

의 구간이 바뀜. (2)

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥)

는

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

를 의미하므로, 『

𝑦

는 아크탄젠트함수에서

𝑥

가 주어졌을 때의 각』 𝑜𝑟 𝑦 𝑥 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑥 𝑦 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) 𝑦 𝑥 0 −𝜋₂ 𝜋 2 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1_(𝑥)

 아크탄젠트 함수의 그래프  아크탄젠트함수의 정의에 의해 축소된 탄젠트함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) , −

π 2

< 𝑥 <

π 2

& − ∞ < 𝑦 < ∞

에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면, 아크탄젠트함수:

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) 𝑜𝑟 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥) , −∞ < 𝑥 < ∞ & −

π₂

< 𝑦 <

π₂  이것은 축소된 탄젠트함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) , −

π 2

< 𝑥 <

π 2

& − ∞ < 𝑦 < ∞

의 그래프를 직선

𝑦 = 𝑥

에 관하여 대칭 시킨 것.

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥)

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

9-2. 역 삼각함수

−

π₂

< 𝑥 <

π₂

& − ∞ < 𝑦 < ∞

−∞ < 𝑥 < ∞ & −

π₂

< 𝑦 <

π₂ 𝑦 𝑥 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑦 𝑥 0 1 −1 −π 2 π 2 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑥) 𝑦 = 𝑥

예시) 아크탄젠트

𝑡𝑎𝑛

−1

(1)

의 값을 구하라.

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(1)

1 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

:

𝑦

는 아크탄젠트함수에서

𝑥

값이

1

이 될 때의 각 !  축소된 탄젠트 함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥)

의 정의역과 치역:

−

𝜋 2

< 𝑥 <

𝜋 2 &

−∞ < 𝑦 < ∞

 아크탄젠트함수

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

의 정의역과 치역:

−

𝜋 2

< 𝑦 <

𝜋 2

& −∞ < 𝑥 < ∞

 따라서,

𝑦

는 아크탄젠트함수에서

𝑥 = 1

일 때의 각

𝑦 =

𝜋₄

∴

1 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

(1) =

𝜋 4 𝑦 𝑥 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) <축소된 탄젠트함수> 𝑥 𝑦 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) 1 𝜋 4 <아크탄젠트함수>

 탄젠트함수와 그 역함수에 관한 성질 (1)

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑡𝑎𝑛(𝑦) = 𝑦 ,

−

𝜋 2

< 𝑦 <

𝜋 2

&

(2)

𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

_{(𝑥) = 𝑥 , −∞ < 𝑥 < ∞}

예시1)

𝑦 =

𝜋 3 일 때,

𝑡𝑎𝑛

−1

_{𝑡𝑎𝑛(𝑦) = 𝑦}

_{가 됨을 보여라.}  주어진 식

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑡𝑎𝑛 𝑦 = 𝑦

의 좌변에

𝑦 =

𝜋 3 을 대입

𝑡𝑎𝑛

−1

_𝑡𝑎𝑛

𝜋 3

= 𝑦

∴

𝑡𝑎𝑛

−1

3 = 𝑦

 역함수의 정의에 의해:

𝑡𝑎𝑛

−1

3 = 𝑦 3 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

∴

탄젠트함수의 값이

3

이 되기 위한

𝑦

값 예시2)

𝑥 =

1 3 일 때,

𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

_{(𝑥) = 𝑥}

_{가 됨을 보여라.}  주어진 식

𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥) = 𝑥

의 좌변에

𝑥 =

1 3 을 대입

𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

= 𝑥



𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

= 𝑦

1 3

= 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

: 탄젠트함수의 값이 1 3 이 되기 위한

𝑦

값

𝑦 =

𝜋 6

∴

𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

=

𝜋 6

𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

=

𝜋 6 를 주어진 식

𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

(𝑥) = 𝑥

의 좌변에 대입

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑡𝑎𝑛

𝜋 6

=

1 3

= 𝑥

9-2. 역 삼각함수

𝑦 =

𝜋₃ 3 𝑦

예제) 다음 값을 구하라. (1)

𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2  위 식에서

𝑐𝑜𝑠

−1 3 2 를

𝑦

라 하면:

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2

3 2

= 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

∴

코사인함수의 값이 3 2 이 되기 위한 각

𝑦

를 찾는 문제임.  아크코사인함수 (구간

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋

) 에서 코사인 값이 3 2 이 되기 위한 각  따라서,

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1 ₂3

=

𝜋₆

∴

𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠

−1 ₂3

= 𝑠𝑖𝑛(𝑦) = 𝑠𝑖𝑛

𝜋₆

=

1₂ (숙제3)

𝑐𝑜𝑠

−1

𝑐𝑜𝑠

𝜋 6

=

𝜋 6

가 됨을 보여라.  양식: A4 용지  제출일: 다음주 월(6/10) 3교시 수업 시작 전 까지 제출.

𝑦 =

𝜋 6 𝑦 𝑦 아크코사인 함수 𝑥 𝑦 0 1 −1 𝜋 π 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦) 정의역구간: (0, 𝜋) 𝜋 6 3 2 <아크코사인함수>

(2)

𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛

−1

−1

 위 식에서

𝑡𝑎𝑛

−1

−1

을

𝑦

라 하면:

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

−1 − 1 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦)

∴

탄젠트함수의 값이

−1

이 되기 위한 각

𝑦

를 구하는 문제.  아크탄젠트함수

−

𝜋 2

< 𝑦 <

𝜋 2 에서 탄젠트함수의 값이

−1

이 되기 위한 각  따라서

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

−1 = −

𝜋₄

∴

𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛

−1

−1 = 𝑐𝑜𝑠(𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 −

𝜋₄

=

𝑦 = −

𝜋₄ 𝑦 𝑥 𝑟

=

1 2 9-2. 역 삼각함수 아크탄젠트 함수 𝑥 𝑦 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) −1 −𝜋₄ <아크탄젠트함수> 𝑜 𝑟 𝑥 𝑦 𝜃 =7𝜋 4 𝑝(𝑥, 𝑦)

·

< _{𝑐𝑜𝑠 −}𝜋 4 의 계산 > 𝛼 =𝜋 4 −1 2 1 (직각삼각형 특수각) 𝑦 𝑥 𝑦

(3)

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1 1 2

 위 식에서

𝑡𝑎𝑛

−1 1 2 을

𝜃

라 하면:

𝑡𝑎𝑛

−1 1 2

= 𝜃

1 2

= 𝑡𝑎𝑛(𝜃)



탄젠트함수의 값이 1 2 이 되기 위한 각

𝜃

를 구하는 문제 각

𝜃

는 특수각이 아님!! (1)

𝑡𝑎𝑛(𝜃) =

1 2

> 0 𝜃

는

1/4

분 면의 각

0 < 𝜃 <

𝜋 2

𝑜𝑟 3/4

분면의 각 (2) 아크탄젠트

𝑡𝑎𝑛(𝜃) =

1 2 에서

𝜃

의 범위

−

𝜋 2

< 𝜃 <

𝜋 2

𝜃

는

1/4

분면

𝑜𝑟 4/4

분 면의 각  From (1) & (2),

𝜃

는

1/4

분 면의 각

∴

𝑡𝑎𝑛(𝜃) =

1₂

=

𝑦_𝑥 에서 (그림 참조)



𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1 1 2

= 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = ?

우측 그림으로 부터:

𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

𝑦 𝑟

=

1 5 𝑥 = 2 𝑦 = 1 𝜃 𝑦 𝑥 𝜃 (피타고라스의 정리) 𝑟 = 5 𝜃 𝑥 𝜃 0 −𝜋₂ 𝜋₂ 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝑦) 1 2 𝜃 =?