우석대학교 에너지공학과
이우금 교수
7-2. 부정적분의 계산 치환 적분법 부분 적분법 부분분수 분해법 7-2-1. 치환 적분법 case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡𝑎 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 형: 𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형: 𝑓 𝑥 = 𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 예제) (2𝑥 + 1)3𝑑𝑥: 2𝑥 + 1 = 𝑡, 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (2𝑥 + 1)3𝑑𝑥 = 𝑡3 1 2 𝑑𝑡 = 1 2 𝑡 3𝑑𝑡 = 1 2∙ 𝑡4 4 + 𝐶 = 𝑡4 8 + 𝐶 = 1 8 2𝑥 + 1 4+ 𝐶 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 형: 𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 예제) 2𝑥(3𝑥2+ 5)6 𝑑𝑥 : 3𝑥2 + 5 = 𝑡, 6𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 2𝑥(3𝑥2+ 5)6 𝑑𝑥 = 𝑡6 1 3 𝑑𝑡 = 1 3× 𝑡7 7 = (3𝑥2+5)7 21 case 3) 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형: 𝑓 𝑥 = 𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝑡𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶 예제) 𝑥 𝑥2+1𝑑𝑥 : 𝑥2+ 1 = 𝑡, 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 1 1 𝑑𝑡 =1𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 = 1𝑙𝑛 𝑥2+ 1 + 𝐶
예제) 다음의 부정적분을 구하라 (1) 1 3𝑥−5𝑑𝑥 3𝑥 − 5 = 𝑡 𝑑𝑥𝑑 (3𝑥 − 5) = 𝑑𝑥𝑑𝑡 (2) sin(6𝑥 + 5) 𝑑𝑥 6𝑥 + 5 = 𝑡 𝑑𝑥𝑑 (6𝑥 + 5) = 𝑑𝑥𝑑𝑡 (3) 𝑒5𝑥𝑑𝑥 5𝑥 = 𝑡 𝑑𝑥𝑑 (5𝑥) = 𝑑𝑥𝑑𝑡 (4) sin3𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 = 𝑡 𝑑𝑥𝑑 (sin 𝑥) = 𝑑𝑥𝑑𝑡 (5) 𝑑𝑥 2𝑥+1 2𝑥 + 1 = 𝑡 𝑑𝑥𝑑 (2𝑥 + 1) = 𝑑𝑥𝑑𝑡
7-2-2. 부분 적분 (integration by part) 두 함수의 곱 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 에 관한 미분은… 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 위의 식을 변형하면, 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′− 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 다시 적분을 하면, 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 ※ 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 가 쉽게 계산될 수 있는 간단한 함수의 곱으로 구성되어야 함. 예제) 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 를 구하라 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 𝑥 = 𝑔(𝑥) 로 놓으면 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑔′(𝑥) = 1 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥ㆍ𝑥 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑒 − 𝑒𝑥 + 𝐶 ※ 만약, 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 로 놓으면 𝑓 𝑥 = 𝑥2 2 , 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ? ? ?
예제) 다음의 부정적분을 구하라 (1) 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥
sin 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = − cos 𝑥 , 𝑔′(𝑥) = 1
𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
(2) 𝑥2∙ cos 𝑥 𝑑𝑥
cos 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 𝑥2 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑔′(𝑥) = 2𝑥
𝑥2 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ sin 𝑥 − 2𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ sin 𝑥 − 2 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶
∴ 𝑥2∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ sin 𝑥 + 2𝑥 ∙ cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶
(3) 4𝑥 ∙ cos 2𝑥 𝑑𝑥 cos 2𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , 4𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 1 2sin 2𝑥 , 𝑔′(𝑥) = 4 4𝑥 ∙ cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥 ∙1 2sin 2𝑥 − 4 ∙ 1
2sin 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ sin 2𝑥 − 2 ∙ sin 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
