우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (15)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(퀴즈4 검토) 1) 다음 𝑓 𝑥 = 2𝑥2_{+ 1 에 대해 다음을 구하라.} 1-1) 구간 [1, 2] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율 ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 2 −𝑓(1) ∆𝑥 = 2∙22+1 − 2∙12+1 2−1 = 9−3 1 = 6 1-2) 주어진 함수 _{𝑓 𝑥} 의 두 점 _{𝑥 = 1 과 𝑥 = 2 를 지나는 직선의 방정식}  직선의 기울기: ∆𝑦 ∆𝑥 = 6  직선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 1 = ∆𝑦_∆𝑥 𝑥 − 1 𝑜𝑟 𝑦 − 𝑓 2 = ∆𝑦_∆𝑥 𝑥 − 2 𝑦 − 3 = 6 𝑥 − 1 𝑜𝑟 𝑦 − 9 = 6 𝑥 − 2 𝑦 = 6𝑥 − 3 1-3) 𝑥 = 1 에서 𝑓(𝑥) 의 미분계수를 미분의 정의에 의해 구하라. 𝑓′ _{1 = lim} ∆𝑥→0 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 2∙(1+∆𝑥)2+1 − 2∙12+1 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 2 1+2∆𝑥+∆𝑥2 +1−3 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 4∆𝑥+2∆𝑥2 ∆𝑥 = lim∆𝑥→04 + 2∆𝑥 = 4 퀴즈4 검토

(퀴즈4 검토) 2) 다음 각 함수의 도함수를 구하라. 2-1) _{𝑦 = 2𝑥}2_{− 1} 10  𝑢 = 2𝑥2_{− 1} 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 4𝑥  𝑦 = 𝑢10 𝑑𝑦_𝑑𝑢 = 10𝑢9 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 4𝑥 ∙ 10𝑢9 = 40𝑥 ∙ 2𝑥2− 1 9 2-2) 𝑦 = 1 − 𝑥2 _{= 1 − 𝑥}2 1₂  𝑢 = 1 − 𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = −2𝑥  𝑦 = 𝑢12 𝑑𝑦 𝑑𝑢= 1 2𝑢 − 1₂ ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = −2𝑥 ∙ 1 2𝑢 − 1_{2 = −𝑥 ∙ 1 − 𝑥2 −} 1_{2 = −} 𝑥 1−𝑥2 퀴즈4 검토

(지난 시간 복습)

5-2-1. 삼각함수의 미분

 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 의 도함수: sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos 𝐴+𝐵₂ sin 𝐴−𝐵₂ 를 활용 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 sin(𝑥+∆𝑥)−sin 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 2 cos 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂ ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 · 2sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 · sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = lim ∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 = cos 𝑥

 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 의 도함수: cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin 𝐴+𝐵

2 sin 𝐴−𝐵 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 cos(𝑥+∆𝑥)−cos 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −2 sin 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂ ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −2 sin 2𝑥+∆𝑥₂ sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −sin 2𝑥+∆𝑥 2 · 2sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −sin 2𝑥+∆𝑥 2 · sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = lim ∆𝑥→0 − sin 2𝑥+∆𝑥 2 = −sin 𝑥 복습 lim ∆𝑥→0 sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = 1

5. 미분법

5-2-1. 삼각함수의 미분

 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 = _{cos 𝑥}sin 𝑥 의 도함수 I 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑡𝑎𝑛 𝑥+∆𝑥 −𝑡𝑎𝑛(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 sin(𝑥+∆𝑥) cos(𝑥+∆𝑥) − sin 𝑥 cos 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0

sin(𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥 −sin 𝑥 cos(𝑥+∆𝑥) cos( 𝑥+∆𝑥) cos 𝑥

∆𝑥

※ note 삼각함수의 곱을 합과 차로 변환하는 공식: sin 𝐴 · cos 𝐵 =1₂ sin 𝐴 + 𝐵 + sin(𝐴 − 𝐵)

∴ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0

sin(𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥 −sin 𝑥 cos(𝑥+∆𝑥) cos( 𝑥+∆𝑥) cos 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 1 2 sin 𝑥+∆𝑥+𝑥 +sin(𝑥+∆𝑥−𝑥) − 1 2 sin 𝑥+∆𝑥+𝑥 +sin(𝑥−∆𝑥−𝑥) cos( 𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥·∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 2 sin 2𝑥+∆𝑥 +sin(∆𝑥) − 1 2 sin 2𝑥+∆𝑥 +sin(−∆𝑥)

cos( 𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥·∆𝑥 = lim∆𝑥→0

sin(∆𝑥) cos( 𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥·∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 cos( 𝑥+∆𝑥)·cos 𝑥 · sin(∆𝑥) ∆𝑥 = 1 cos2_𝑥 = sec2𝑥 lim ∆𝑥→0 sin ∆𝑥 ∆𝑥 = 1

 𝑦 = tan 𝑥 의 도함수 II 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 tan 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 ※ note 𝑦 = 𝑓(𝑥)_𝑔(𝑥) 의 미분: 𝑦′ ₌ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 ∙𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 ∙𝑔_{𝑔(𝑥) 2} ′(𝑥) ∴ 𝑑𝑦_𝑑𝑥 = _𝑑𝑥𝑑 tan 𝑥 = _𝑑𝑥𝑑 _{cos 𝑥}sin 𝑥 = sin 𝑥 ′∙cos 𝑥−sin 𝑥∙ cos 𝑥_{cos 𝑥 2} ′

= cos 𝑥∙cos 𝑥−sin 𝑥∙ − sin 𝑥_{cos 𝑥 2} =cos2_cos𝑥 + sin_2𝑥 2𝑥 = _cos1_2𝑥 = sec2_𝑥

예제) 함수 𝑦 = sin 2𝑥 + cos 3𝑥 를 미분하라 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 2𝑥 + cos 3𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 2𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 cos 3𝑥

 𝑡 = sin 2𝑥 의 미분 _𝑑𝑥𝑑𝑡 : 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢_𝑑𝑥 = 2 & 𝑡 = sin 𝑢 _𝑑𝑢𝑑𝑡 = cos 𝑢 ∴ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑢∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = cos 𝑢 ∙ 2 = 2 cos 2𝑥 5. 미분법

예제) Chain Rule을 이용하여 다음 각 함수를 미분하라

1) 𝑦 = sin 𝑥 + cos 𝑥 3

 𝑢 = sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑢_𝑑𝑥 = cos 𝑥 − sin 𝑥 & 𝑦 = 𝑢3 𝑑𝑦_𝑑𝑢= 3𝑢2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 3 ₌ 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 3 ₌𝑑 𝑢3 𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =3𝑢 2_{· cos 𝑥 − sin 𝑥}

= 3 sin 𝑥 + cos 𝑥 2· (cos 𝑥 − sin 𝑥) 2) 𝑦 = sin3_𝑥

 𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑢_𝑑𝑥 = cos 𝑥 & 𝑦 = 𝑢3 𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 3𝑢2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin3𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑢3 = 𝑑 𝑢3 𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 3𝑢2∙ cos 𝑥 = 3 sin2𝑥 · cos 𝑥

3) 𝑦 = tan22𝑥

 𝑢 = tan 2𝑥 𝑑𝑢_𝑑𝑥 =𝑑 tan 𝑡_𝑑𝑡 ∙_𝑑𝑥𝑑𝑡 = 2 sec2_{2𝑥 & 𝑦 = 𝑢}2 𝑑𝑦

𝑑𝑢 = 2𝑢

∴ 𝑑𝑦 = 𝑑 tan2_{2𝑥 =} 𝑑 _𝑢2 ₌ 𝑑 𝑢2 _∙𝑑𝑢 _{= 2𝑢 ∙ 2 sec}2_{2𝑥 = 4 tan 2𝑥 ∙ sec}2_2𝑥