재료역학 주응력 보충설명

04 / 평면응력 변환과 주응력

(Plane Stress Transformation & Principal Stress)

✤ 학습목표 ✤ ① 평면응력의 개념을 이해하고 평면응력 변환식을 활용할 수 있다. ② 주응력의 개념을 이해하고 주각과 주응력을 구할 수 있다. ③ 최대(최소)전단응력을 구할 수 있다. ④ 모어원(Mohr`s Circle)을 그릴 수 있고 활용할 수 있다. ￭ 평면응력 변환과 주응력을 배우기 이전에 ... Question. 다음과 같은 조건이라면 구조부재는 안전할까? 그림(a)와 같은 교각(교량을 지지하는 기둥형태의 구조부재)이 하중을 받고 있다. 이 하중 으로 인해 교각 일부 요소의 응력상태는 그림(b)와 같다. 교각을 만드는데 사용된 재료는 모든 방향으로 균질하며, 수직응력 30MPa, 전단응력 20MPa을 초과하게 되면 파괴된다고 가정한다(수직응력, 전단응력 중 어느 하나의 응력만 초과되어도 파괴된다). → Eat . ' EEE . ( The, Tx = 261hPa , Oz -_ 121hPa , 2×2=16 Mpa ) J2 2×2 B Toe Son - . Ox ClOx_{) On} , (3) Ox -7×2 Jz 2 Gz Gz < 2×2 . a PIER A Ox (2) Ox Ox > _ca) g ox 2×2 7 Alex# walk nmlkatthahh J2 Jz (a) _1712124172£ (b) IF #527 EH EH

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4.1 평면응력 변환

￭ 응력을 표현하는 방법 ➡ 수직응력의 정확한 표현은 , , 지만 일반적으로 , , 로 표현 ￭ 2차원 평면응력(plane stress) •임의의 한 요소에는 그림 (b)와 같이 3개의 수직응력과 3개의 전단응력이 독립적으로 존재 •3차원의 응력 상태를 2차원 평면 내로 단순화시켜 응력 해석을 수행(경사진 면에서 응력들 을 구하기 위해 해석의 범위를 제한). 이러한 경우 요소의 응력 상태는 그림 (c)와 같음 ➡ 평면응력(plane stress) (x-z 평면에서 응력성분은 , , t 의 3가지) 2 * . XUE 622 72X . _o .. 7×2 .

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Question.➡ 좌표축과 일치하지 않는 면에 발생되는 응력은 왜 구하려고 할까? ∙ 2축방향 혹은 3축방향으로 응력이 발생하는 경우 응력들 사이의 상호작용에 의해서 평면 요소에 발생된 응력보다 더 큰 응력이 발생되는데 그 응력의 크기를 구하기 위함(또한 그 때의 회전각). 이러한 응력에 근거해서 구조부재의 파손여부를 판단 할 수 있음(힘의 합력을 구하는 것과 유사한 개념) ∙ 어느 한 축방향으로만 응력이 발생하는 경우 평면요소의 파손여부(즉, 구조부재의 파손여 부)를 손쉽게 판단할 수 있음 발생된 응력 > 평면요소(구조부재)가 버틸 수 있는 응력의 한계 → 파손

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￭ 평면응력 변환 •좌표축이 일치하는 요소의 수직응력 , 와 전단응력 t 의 값을 이용하여 아래 그림과 같이 만큼 반시계 방향으로 회전한 좌표축 ′ ′에 직각인 경사면의 응력을 구할 수 있 음. ➡ 평면응력 변환(반시계 방향 회전을 (+)로 규정 •회전된 요소위에 작용하는 응력 ′, t ′ ′는 정역학적 평형방정식을 사용하여 , , t 의 항으로 표현 가능

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￭ 평면응력 변환식(transformation equations for plane stress)

➡ 수직응력 ′는 ′와 90°를 이루고 있으므로 ′를 구하는 식에서 대신 + 90°를 대입하여 정리, 부호 바뀜

➡ 평면요소에서 서로 직교하는 면의 수직응력 합은 회전각 에 상관없이 일정함을 의미, ➡ 이러한 사실을 응력불변량(stress invariant)이라 한다.

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4.2 주응력 및 주각

￭ 다음 그림을 보고 같이 생각해 보자. ∙ 균열은 왜 이런 형태로 발생할까? ∙ 균열이 어떠한 방향으로 발생할 것인지 미리 알 수 있을까?

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1) 평면응력변환식으로부터 주응력과 주각 구하기 ￭ 주응력(principle stress) : 평면요소의 회전각 가 변화함에 따라 얻어지는 수직응력 중 최댓값과 최솟값을 각각 ‘최 대수직응력’과 ‘최소수직응력’ 이라 하고, 이 최대 및 최소수직응력을 ‘주응력’이라 함. → 주응력을 구하는 것은 구조 부재의 파괴를 검토하기 위하여 중요 → 주응력은 ‘평면응력 변환식’을 회전각 에 대해 미분함으로써 구할 수 있음 → 주평면, 주각 ￭ 주평면(principle plane) : 주응력이 발생되는 평면 ￭ 주각(principle angle, ) : 주응력이 발생되는 회전각 ￭ 주응력(최대수직응력, 최소수직응력) 계산식 ￭ 최대(최소)전단응력 계산식

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2) 모어원(Mohr`s Circle)을 이용한 주응력 및 주각 구하기

￭ Mohr원(Mohr's circle)은 평면응력 변환식을 도식적인 방법으로 표현하기 위한 방법.

➡ Mohr원은 독일의 토목공학자이며 교수였던 Otto Mohr(1835~1918)에 의해 개발

￭ Mohr원 그릴 때 주의할 점

∙ 가로축(수직응력)의 경우 오른쪽을 양(+)으로 하고, 세로축(전단응력)의 경우 아래쪽을 양 (+)으로 설정해야 한다. 물론 세로축을 위방향을 양(+)으로 설정할 수도 있으나, 이럴 경우 평면요소의 회전방향과 Mohr 원에서의 회전방향이 서로 반대가 되어 혼란스럽다.

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60=-4.331-1.5

= - 2.8314Pa

Problem_02 그림과 같이 평면응력을 받고 있는 평면요소가 있다. 이 평면요소가 각 = 60°만큼 반시계 방 향으로 축을 회전함으로써 얻어진 경사면에 작 용하는 수직응력 ′ 와 ′, 전단응력 t ′ ′를 구하여라. Solution 7TH - GIGI ME the

-" " EH

_I

, ' mo

_?

Be

'

÷

.

⇒

②

_¥

in

*

④

=

-5¥

=

#

. . " _↳"

J2 CIO ,2) 20-2%2-3 g, = 1+9.22--10 ' ' _UP " " R= 62 = _I - 9 . 22 = - I.221hPa

Ap

-- tan '

.j⇒=tenrf⇒=f¥=

9.22 = 11.2.50 %Op=6.25°_ I o → co

D

Problem_03 다음 그림과 같은 평면요소의 주응력과 주각 최대전단응력을 구하여라. Solution 1) IT 27 Ji , Oz It 474 Op, , Opz .

:O

, =

¥2

tf¥xI=

t

fFI

= 0.665 Mpa :.

A-Eat

-f¥xI=

¥

-fFI

=

-8.66514Pa

- EY

Op 221-7178 Fled 81- Uel HEE 4819 .

• Op =

I

tant =

I

tan i

(

j

)

=

I

tan '

(

ab₎ = 15.50

-Op = 15-507 _t T_, EE Tsa - matching EIEHE

" EID ₈₂₇ KIEHL " I 01%8 Htt 5k Eet. Tx' ( 0=15.5 ) = _t cos (2×15.5) t ( -2.4 ) 5Th C 2×15.5 ) = - 8.66514Pa . Op -- 15.5 E Oz = - 8.665 Mpa El ¥74

Problem_04 평면요소의 주응력과 주각, 최대전단응력을 Mohr`s Circle을 이용하여 구하여라. Solution ① Ox. Zxy C 8,3 ) ⑦ Gy. Zyx ( 2. -3) ③ favor = = 5 . ④ R =

¥-21532

= 424 ⑤ J, = Javert R =

#

+ 2=9.24 Mpa 22 • ⑥ Js = favor - R = I- 4,24=0,176 Mpa C2_, - 3) •

⇐ 2042 ④ Zmax = 12=4.24 MPa ( 2, = 4.2414Pa

\ f - 2 2- =3 22=-4 -241hPa ) (Goo

#

⑧ tan -_Op , =

-33=1

•

§

•

059624

2019

' 45 o: Op , ' 22.50 82=0.176

y

Gop

,

)

: Ops --Op, -1900 =

22-5+900

R =

112.5%0147110181-13900

205, • ⑨

052

. Os_, (013) .: f, = Op_, +450=22.50+45 • 2 2_, = 6750 CHINA )

y

i: Osi -- Op

5--22.50-45=-022.51

↳ Hattie OLDE " -" d

I

75278

) , , Kat FIT Op,,Opa

(

J, = 9.2414Pa

, Op, ' 22.50

Oz = 0,17414Pa Ops = 22.5-1900=112.50 ← Opa = Op

, -190 ° d- _20ps = 2Op , -11800 2) Ith . IIE 21-4827 2 , , 2 Et Osi , 052 2, = 4241hPa . Os, =

-2

7141882122 ) or Os_, = 157.5°C VIHFH than 2122)

(

₂₂ = - 4.2414Pa

µ WE ' "n

f

that

z

;

14-37

Tx

-

I=⇒z

a-¥÷

. E.

±zt_

_R g!

¥⑧d

1)

- 2×2 "

EEE

_:

j

-1¥

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.