생명과학을 위한 수학 1 기말고사 (2020년 6월 14일 오후 1:00–4:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 400점) 문제 1. [20점] 다음 극한값을 구하시오. (a) (10점) lim x→0 1 − cos x x sinh x (b) (10점) lim x→∞x 2 arctan(x + 1) − arctan x 문제 2. [20점] 방정식 f (x) = x3− 3x + 1 = 0의 해를 구하려고 한다. 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 함수 y = f (x) 그래프의 개형을 그리고 실수해가 몇 개인 지 구하시오. (b) (10점) 뉴턴의 방법을 적용할 때 점화식을 구하시오. (c) (5점) 한 해의 근사해를 찾기 위해, 초깃값 x0 = 0라 할때 첫 번째 근사해 x1을 구하시오. 문제 3. [30점] 다음 적분을 구하시오. (a) (10점) Z e 1 (x2+ 1) log x dx (b) (10점) Z 0.5 0 arccos x dx (c) (10점) Z ∞ 1 1 1 + cosh xdx 문제 4. [20점] 다음 특이적분의 수렴, 발산을 판정하시오. Z∞ 2 sin(arctanx1) log x dx 문제 5. [35점] 곡선 |x|23+ |y| = 1에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 점 (1 8, 3 4)에서 접선의 방정식을 구하시오. (b) (15점) 곡선의 길이를 구하시오. (c) (10점) 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하시오. 문제 6. [25점] 음함수로 정의된 곡면 x3+ 2y3+ 2z3+ 3xyz + 2 = 0 에 대하여 다음 물음에 대하여 답하시오. (a) (10점) 곡면 위의 점 (1, −1, 1)에서 z값이 가장 빠르게 증가하는 방향의 단위벡터 v를 구하시오. (b) (5점) 곡면 위의 점 (1, −1, 1)에서 접평면의 방정식을 구하시오. (c) (10점) 점 (1, −1)의 근방의 점 (x, y) = (1.1, −0.9)에서 z의 값을 선형근사를 이용하여 구하시오. h 연습용 여백 i 문제 5의 참고그림 1
생명과학을 위한 수학 1 기말고사
학번: 이름:
문제 7. [15점] 다음 함수의 임계점을 분류하시오. g(x, y) = x4+ y4− 4xy + 1
문제 8. [40점] 다음 미분방정식의 해를 구하시오. (a) (10점) te−ysin t − ydy
dt = 0
(b) (10점) (t2− t)y0+ y = t, (t > 1), y(2) = 0 (c) (20점) t2y00+ ty0+ 9y = 0, y(1) = 0, y0(1) = 2.5
문제 9. [20점] 다음 미분방정식에 대하여 물음에 답하시오. t2y00− 4ty0+ (6 + 4t2)y = 0
(a) (10점) 두 함수 y1(t) = t2cos 2t, y2(t) = t2sin 2t 는 이 미분방
정식의 해이다. 이 때 이 두 개의 해가 일차독립임을 보이시오. (b) (10점) yπ 2 = π2, y0π 2 = 4π − π2 을 만족하는 초깃값 문제의 해를 구하시오. 문제 10. [15점] 160πcm3 들이의 원기둥 모양 컵을 만드는데 밑면은 1cm2 당 50원의 재료비가 들고, 옆면은 1cm2 당 20원의 재료비가 든 다고 하자. 이 때 최소의 재료비로 만들 수 있는 컵의 반지름과 높이를 라그랑주 승수법을 이용하여 구하시오. 문제 11. [30점] 어떤 종류의 생물은 자연상태에서 개체 수가 K 이 하로 떨어지면 멸종하게 된다. 이를 반영하여 로지스틱 모형은 다음과 같이 수정될 수 있다. dP dt = rP 1 −P L 1 −K P (이 때, L > K > 0 은 상수) (a) (5점) 위 미분방정식에 대하여 위상도(1차원 위상묘사)를 P > 0 인 범위에서 그리고, 해의 증감에 관해 설명하시오. (b) (15점) 이 미분방정식의 초깃값이 P0일 때, Q = P − L P − K에 대 하여 log |Q|를 t에 관한 함수로 나타내시오.(단 P06= L, K 이고 P0> 0) (c) (10점) (b)에서 구한 함수를 이용하여, L = 3K, r = 0.05, P0= K/2일 때, 이 종이 멸종하는데 걸리는 시간을 구하시오. h 연습용 여백 i 2
생명과학을 위한 수학 1 기말고사 학번: 이름: 문제 12. [20점] 다음 각 이계미분방정식에 대하여 특성방정식의 해를 각각 구하고, y(0) = 2, y0(0) = 5 을 초깃값으로 갖는 해의 그래프로서 알맞은 것을 보기(별도 페이지에 첨부)에서 찾으시오. (답만 쓰시오.) (a) (5점) y00− 6y0+ 8y = 0 (b) (5점) y00− 5y0− 6y = 0 (c) (5점) y00+ 9y = 0 (d) (5점) y00+ 2y0+ 10y = 0 문제 13. [30점] t ≥ 0에서 정의된 x(t), y(t)에 대한 다음 미분방정식 계에 대하여 각각 물음에 답하시오. (1) x0 = x −2y y0 = −2x −2y (2) x0 = x − 2y y0 = 2x + y (a) (각 10점) x(t)와 y(t)의 일반해를 구하시오. (b) (각 5점) 초기 상태가 (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1) 인 해곡선을 보기(별도 페이지에 첨부)에서 찾으시오. (답만 쓰시오.) 문제 14. [40점] 두 개의 용기가 서로 연결되어 있다. 용기 A에는 소금 1.5kg이 녹아 있는 소금물 200L가 들어 있고, 용기 B에는 소금 5kg이 녹아 있는 소금물 100L가 들어 있다. A에서 B로는 1분당 4L의 소금 물이, B에서 A로는 1분당 3L의 소금물이 흘러 들어간다. 또한 1L에 100g의 소금이 녹아 있는 소금물이 용기 A로 1분당 5L씩 흘러 들어 가고, 잘 섞인 소금물은 1분당 4L의 비율로 A에서 빠져 나온다. 한편 용기 B에는 1L에 30g의 소금이 녹아 있는 소금물이 1분당 1L씩 흘러 들어가고 잘 섞인 소금물은 1분당 2L의 비율로 B에서 빠져 나온다. 시간 t에서 용기 A에 있는 소금의 양을 x(t), 용기 B에 있는 소금의 양을 y(t)라 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) x(t)와 y(t)에 대한 미분방정식계를 구하시오. (b) (10점) 평형점을 찾고, 평형점을 분류하시오. (c) (20점) x(t)와 y(t)를 구하시오. 문제 15. [40점] 총 인구 N = 1500, 전이계수 α = 0.0002, 평균적으 로 회복하는 데에 걸리는 시간은 10일이며, 회복 후 면역이 생기지만 40일 후면 면역이 없어지는 SIRS 모형을 생각하자. (a) (20점) 이 모형의 분기선들을 구하고 분기선들로 생긴 상태공간 의 각 영역에서 대표적인 속도벡터를 그리시오. (b) (20점) 평형점들을 구하고 각 평형점들의 종류를 판단하시오. h 연습용 여백 i 3
