(문제)
세 변의 길이가 서로 다른 ∆ABC 에서 내심이 I, 외심이 O이다. ∠AIO 일 때 AB AC BC 임을 증명하여라.
(관련문제)
AB , AC , ∠AIO 인 ∆ABC 의 넓이를 구하여라. (단, I는 내심이고, O는 외심이다.)
답 :
Ⅰ. 내접원의 반지름의 길이를 , 외접원의 반지름의 길이를 R 이라 하자. 오일러 정리에서 IO R R ⋯ ① ∆AIO은 직각삼각형이므로 IO AO AI R AI ⋯ ② ①, ②에서 AI
R ⋯ ③ 한편, 점 I에서 AB 에 내린 수선의 발을 D라 하면 ID 이므로 sin A AI
R ∴ cosA sin A R ⋯ ④ ∆AID에서 tan A AD AB AC BC ⋯ ⑤또, tan A cosAsinA R sinA BC ⋯ ⑥ (∵ 사인법칙) ⑤, ⑥에서 AB AC BC 가 성립한다.
Ⅱ.
AI의 연장선이 외접원과 만나는 점을 D라 하자.
∆ABC 의 외접원의 중심 O에서 현 AD에 내린 수선이 I이므로 AI DI ⋯ ① 또, 점 D를 중심으로 하는 원 위에 세 점 B I C 가 존재하므로 ⋯ ★ BD DI DC ⋯ ② 내접사각형 ABDC 에서 톨레미 정리에 의해 AB× DC AC × DB AD× BC ⋯ ③ ①, ②, ③에서 AB AC BC 가 성립한다.
Ⅲ.
점 I에서 AB AC 에 내린 수선의 발을 각각 P Q라 하고, 점 O에서 AB AC 에 내린 수선의 발을 각각 M N이라 하자. (점 M N은 각각 AB AC 의 중점이다.)
∠AID ∠AMD ∠AND 이므로
AD 를 지름으로 하는 원 위에 세 점 M I N이 존재한다.
점 I는 ∠A를 이등분하므로 IM IN ⋯ ①
또, IP IQ ⋯ ② ①, ②에서 두 직각삼각형 IMP INQ는 합동이다. (RHS합동) 따라서 MP NQ 이므로
