미적분학 (5)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
(지난주 강의 복습) 2-5. 무한등비급수 (기하급수) 첫째 항이 𝑎 이고 공비가 𝑟 인 등비수열 𝑎𝑛 = 𝑎𝑟(𝑛−1) 에서 얻어진 무한급수. 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑟(𝑛−1) = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ 𝑎𝑟3 + ⋯ + 𝑎𝑟(𝑛−1)+ ⋯ 무한등비급수의 수렴 및 발산 부분합의 수열 𝑠𝑛 = 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑛, … 이 𝑠로 수렴할 때: lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑠 무한급수 𝑘=1∞ 𝑎 𝑘 는 𝑠로 수렴하며 𝑠를 무한급수의 합 𝑘=1∞ 𝑎𝑘 = s 부분합의 수열 {𝑠𝑛}이 발산할 때, 이 무한급수는 발산한다고 기하급수의 합 𝑟 < 1 일 때: lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑎 1−𝑟 = 𝑠 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑟(𝑛−1) = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+ ⋯ + 𝑎𝑟(𝑛−1)+ ⋯ = s 𝑟 ≥ 1 일 때: lim 𝑛→∞𝑠𝑛 은 발산
예제1) 다음 기하급수의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하라. 1-1) 3 + 3 + 1 + 1 3+ ⋯ 첫째 항과 공비: 𝑎1 = 3 & 𝑟 = 𝑎2 𝑎1 = 3 3 = 1 3 ( 𝑟 < 1, 주어진 기하급수는 수렴) ∴ lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑎 1−𝑟 = 3 1− 1 3 = 3−13 3 = 3 3 3−1 3 + 3 + 1 + 1 3+ ⋯ = 3 3 3−1 1-2) 1 −5 3+ 25 9 − 125 27 + ⋯ 첫째 항과 공비: 𝑎1 = 1 & 𝑟 = 𝑎2 𝑎1 = − 5 3 ( 𝑟 > 1, 주어진 기하급수는 발산) 1-3) 𝑛=1∞ 5 1 2 𝑛−1 주어진 기하급수를 나열: 5 + 51 2+ 5 1 2 2 + 5 1 2 3 + ⋯ + 5 1 2 𝑛−1 + ⋯ 첫째 항과 공비: 𝑎1 = 5 & 𝑟 = 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 5 12 𝑛 5 1 2 𝑛−1 = 1 2 ( 𝑟 < 1, 주어진 기하급수는 수렴) ∴ lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑎 1−𝑟 = 5 1−1 2 = 10 𝑛=1∞ 5 1 2 𝑛−1 = 10 2. 수열의 극한
3. 함수의 극한과 연속 3-1. 함수 그림3.1과 같이 두 집합 𝑥, 𝑦 에서, 𝑥 의 각 원소에 𝑦 의 원소가 오직 하나씩 대응 할 때, 이 대응을 𝑥 에서 𝑦 로의 함수(function)라 하고 (𝑦 는 𝑥 의 함수), 다음과 같이 표시함. 𝑓: 𝑥 𝑦 (그림 3.1) ※ 𝑥 를 독립변수, 𝑦 를 종속변수
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𝑥
𝑦
정의역 (domain) 함수 𝑓 의 치역 (range) 𝑓3-2. 함수의 극한 함수
𝑓 𝑥 =
𝑥2−1 𝑥−1 는 𝑥 = 1 일 때, 분모가 0 이 되므로 함수 𝑓(𝑥) 는 𝑥 = 1 에서 정의되지 않음. 𝑓(1) 이 정의되지 않으므로, 𝑥 ≠ 1 이면 𝑓(𝑥) 는 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥−1 = (𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1 = 𝑥 + 1, (단, 𝑥 ≠ 1) 그러므로 𝑥 가 1에 한없이 접근할 때, 𝑓(𝑥) 값은 2에 한없이 접근함. 𝑥 → 1 일 때, 함수 𝑓 𝑥 는 2에 수렴한다고 하며, 2를 𝑓 𝑥 의 극한값 이라하고, 다음과 같이 표시함. 𝑥 → 1 일 때, 𝑓 𝑥 → 2 𝑜𝑟 lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2 3. 함수의 극한과 연속 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 =𝑥 2− 1 𝑥 − 1 (그림 3.2)3-3. 함수의 극한값 좌 극한값: 𝑥 가 1 보다 작은 값을 가지면서 1 에 한없이 접근하여 𝑓 𝑥 가 2 에 수렴 할 때, ∴ 𝑥 → 1 − 0 일 때 𝑓 𝑥 → 2 𝑜𝑟 lim 𝑥→1−0𝑓(𝑥) = 2 우 극한값: 𝑥 가 1 보다 큰 값을 가지면서 1 에 한없이 접근하여 𝑓 𝑥 가 2 에 수렴 할 때, ∴ 𝑥 → 1 + 0 일 때 𝑓 𝑥 → 2 𝑜𝑟 lim 𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2 함수의 좌 극한값과 우 극한값이 존재하며, 그 값이 같으면 극한값이 존재함. lim 𝑥→1−0𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 =𝑥 2− 1 𝑥 − 1
3-4. 극한값의 존재 극한값이 존재하지 않는 경우 좌 극한값과 우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으면, 극한값이 존재하지 않음. 예시) 그림 3.3에서 좌∙ 우 극한값이 서로 같지 않으므로, 함수 𝑓(𝑥)의 극한값은 존재하지 않음 좌 극한값: lim 𝑥→2−0𝑓(𝑥) = 1 우 극한값: lim 𝑥→2+0𝑓(𝑥) = 2
∴
lim 𝑥→2−0𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→2+0𝑓(𝑥) 극한값이 존재하지 않음 예시) 그림 3.4에서 좌 극한값은 −∞, 우 극한값은 +∞ 좌 극한값: lim 𝑥→−0𝑓(𝑥) = −∞ 우 극한값: lim 𝑥→+0𝑓(𝑥) = ∞ 3. 함수의 극한과 연속 𝑓 𝑥 =1 𝑥 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 2 (그림 3.3) 𝑥 𝑦 (그림 3.4) 양의 무한대로 발산 좌∙우 극한값이 양의 무한대로 발산 𝑓 𝑥 = 1 𝑥−2 lim 𝑥→2−0𝑓(𝑥) = ∞ ∙ lim 𝑥→2+0𝑓(𝑥) = ∞ 좌∙우 극한값이 음의 무한대로 발산 𝑓 𝑥 = − 1 𝑥−2 lim 𝑥→2−0𝑓(𝑥) = −∞ ∙ lim 𝑥→2+0𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥 𝑦 0 2 𝑥 𝑦 0 2
예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→02 𝑥 = 1 2) lim 𝑥→0 1 𝑥2 = ∞ 3) lim 𝑥→2(3 − 4 𝑥−2) = −∞ 3. 함수의 극한과 연속
3-6. 극한값의 계산 극한값의 기본성질 (1) lim 𝑥→𝑎𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) (2) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (3) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (4)
lim
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)=
lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥) 극한값 계산의 기본형 확정형 불능형: 𝐶 0 형 부정형 (1) 0 0 형 (2) ∞ ∞형3-6-1. 확정형 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수이고 분수식의 분모 𝑔(𝑥) ≠ 0 일 때, 𝑥 의 정해진 값을 대입. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 , lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑎 , lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑎 (단, 𝑔(𝑎) ≠ 0) 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→1(3𝑥 2+3) = 6 2) lim 𝑥→2(𝑥 − 1)(𝑥 2+ 2) = 6 3) lim 𝑥→1( 3𝑥2+2 2𝑥−1) = 5 3-6-2. 불능형 함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶0 형 (𝐶는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음 𝐶 > 0 : 분모 → +0 이면 +∞, 분모 → −0 이면 −∞ 𝐶 < 0 : 분모 → +0 이면 −∞, 분모 → −0 이면 +∞ 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→0 1 𝑥 = ∞ 3. 함수의 극한과 연속
3-6-3. 부정형 (1) 0 0 형 분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2−3𝑥+2 = 0 0 2) lim 𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3= 0 0 lim 𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥2+ 2𝑥 + 4) (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = lim𝑥→2 (𝑥2+2𝑥 + 4) (𝑥 − 1) = 12 lim 𝑥→0 𝑥 𝑥 + 9 − 3= lim𝑥→0 𝑥 ( 𝑥 + 9 + 3) ( 𝑥 + 9 − 3)( 𝑥 + 9 + 3)= lim𝑥→0 𝑥( 𝑥 + 9 + 3) 𝑥 = 6
3-6-3. 부정형(계속) (2) ∞ ∞ 형 분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. 무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→∞ 6𝑥2−5𝑥 3𝑥−1 = ∞ ∞ 2) lim 𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2−2= ∞ ∞ 3. 함수의 극한과 연속 lim 𝑥→∞ 6𝑥2− 5𝑥 3𝑥 − 1 = lim𝑥→2 6𝑥 − 5 3 −1𝑥 = ∞ lim 𝑥→∞ 6𝑥 3 + 𝑥2− 2= lim𝑥→∞ 6 3 𝑥2+ 1 − 2 𝑥 = 6
3-6-3. 부정형 (계속) (3)
