우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

6-5-2. 복소수의 곱셈과 나눗셈 (복습)

 복소수의 대수적 곱셈

 ሶA ∙ ሶB = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}

이를 삼각함수형식으로 나타내면,

 ሶA ∙ ሶB = A cos θ1+ 𝑖 sin θ1 ∙ B cos θ2+ 𝑖 sin θ2

= AB{cos θ1cos θ2 + sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2 𝑖 + sin θ1sin θ2 𝑖2} = AB{ cos θ₁cos θ₂− sin θ₁sin θ₂ + sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ 𝑖}  복소수의 기하학적 곱셈

 삼각함수 덧셈정리를 활용

cos θ1cos θ2 − sin θ1sin θ2 = cos(θ1+θ2) sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2 = sin(θ1+θ2)  ሶA ∙ ሶB = AB{cos( 𝜃₁ + θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)}

= AB∠(𝜃₁+ θ₂)  지수함수 형식으로 부터

ሶA ∙ ሶB = A𝑒𝑖𝜃_{1 · 𝐵𝑒}𝑖𝜃_{2 = AB𝑒}𝑖(𝜃₁+θ₂)

0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ₁ θ2 𝜃1+ θ2 ሶA ∙ ሶB ሶA ሶB cos(θ₁+θ₂) sin(θ₁+θ₂)

 복소수의 대수적 나눗셈  ሶA_ሶB

=

𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖

=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

=

𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2−(𝑑𝑖)2

=

(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2+𝑑2 이를 삼각함수형식으로 나타내면,



ሶA_ሶB

=

A cos θ1+𝑖 sin θ1 B cos θ₂+𝑖 sin θ₂

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ1+𝑖 sin θ1 (cos θ2−𝑖 sin θ2)

B (cos θ₂)2_{−(𝑖 sin θ2)}2

=

A cos θ1+𝑖 sin θ1 (cos θ2−𝑖 sin θ2) B

=A

B{cos θ1cos θ2+ sin θ1cos θ2− cos θ1sin θ2 𝑖 − sin θ1sin θ2 𝑖 2_}

=A_B{(cos θ₁cos θ₂ + sin θ₁sin θ₂) + sin θ₁cos θ₂− cos θ₁sin θ₂ 𝑖} =A_B{cos( 𝜃₁− θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁−θ₂)}

 삼각함수 덧셈정리를 활용

cos θ₁cos θ₂+ sin θ₁sin θ₂ = cos(θ₁−θ₂) sin θ₁cos θ₂− cos θ₁sin θ₂ = sin(θ₁−θ₂)  지수함수 형식으로 부터

ሶA ∙ ሶB = A𝑒𝑖𝜃_{1 · 𝐵𝑒}𝑖𝜃_{2 = AB𝑒}𝑖(𝜃₁−θ₂) _{= AB∠(𝜃}

1− θ2) cos(θ₁−θ₂) sin(θ₁−θ₂) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 𝜃1− θ2 ሶA ሶB ሶA ሶB

예제) 두 복소수 ሶA = 20∠60° , ሶB = 5 + 5𝑖 의 합, 차, 곱셈과 나눗셈을 구하라. ሶA = 20∠60° = 20 cos 60° + 𝑖 sin 60° = 10 + 5 3𝑖

ሶB = 5 + 5𝑖 = 5 2 ∠45° 1) 복소수의 합과 차  ሶA + ሶB = 10 + 5 3𝑖 + 5 + 5𝑖 = 15 + 5 3 + 5 𝑖  ሶA + ሶB = 10 + 5 3𝑖 − 5 + 5𝑖 = 5 + 5 3 − 5 𝑖 2) 복소수의 곱  ሶA ∙ ሶB = 20∠60° ∙ 5 2∠45° = 100 2∠ 60° + 45° = 100 2∠105° = 100 2(cos 105° + 𝑖 sin 105°) 3) 복소수의 나눗셈  ሶA_ሶB = _{5 2∠45°}20∠60° = _{5 2}20 ∠ 60° − 45° = 4₂∠15° = 4₂(cos 15° + 𝑖 sin 15°)

예제) 복소수 ሶA = 2(cos5𝜋₆ + 𝑖 sin5𝜋₆) 와 ሶB = −1 − 3 3𝑖 의 합을 구하고, 이를 극형식(삼각함수형식)으로 나타내라.

1) ሶA 를 직각좌표형식으로 변환: ሶA = 2 cos2𝜋₃ + 𝑖 sin2𝜋₃ = 2 −1₂+ ₂3𝑖 = −1 + 3𝑖 2) ሶ_{A + ሶB = −1 + 3𝑖 + −1 − 3 3𝑖 = −2 − 2 3𝑖} 3) 크기 및 편각을 구함.  크기: 𝑟 = ሶA = (−2)2_{+(−2 3)}2_{= 4}  편각: θ = tan−1₍−2 3 −2 ) θ = 60 °_{+ 180}° ₌ π 3 + π = 4π 3  극형식: ሶA = 𝑟 (cos θ + 𝑖 sin θ) = 4 (cos4π₃ + 𝑖 sin4π₃)

 검토: ሶA = 4 cos4π₃ + 𝑖 sin4π₃ = 4 −1₂+ ₂3𝑖 = −2 − 2 3𝑖 −2 3 𝑃(−2,−2 3) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) ሶA = −2− 2 3𝑖 -2 θ 0

예제) 다음 값을 구하라. (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) 1) 5 + 5 3𝑖 = 10 ∠60° 2) −4 + 4𝑖 = 4 2 ∠135° 3) −5 + 5𝑖 = 5 2 ∠45° 그러므로, 1) ~ 3) 으로부터, (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) = (10 ∠60°)(4 2 ∠135°) (5 2 ∠45° ) = 10×4 2 5 2 ∠(135° + 60° − 45°) = 8∠150° = 8 cos 150° + sin 150° = 8 −1₂+ ₂3𝑖 = −4 + 4 3𝑖 Finally, (10+5 3𝑖)(−4+4𝑖) (5+5𝑖) + (2 + 3𝑖) = (−4 + 4 3𝑖) + (2 + 3𝑖) = −2 + (3 + 4 3)𝑖