우석대학교 에너지전기공학과

강의 (28)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

결강 보강 결강사유 일시 수업 일시 수업 10월9일 (수) 1~2교시 12월18일 (수) 1~2교시 (기말시험) 한글날 휴무 <퀴즈 make up 계획>  대상: 결석으로 퀴즈(1~6) 를 못 본 학생  일시: 12월11일 (수) 까지  문자 또는 전화로 일정 조절

3-4. 최종 값 정리  미분정리에서 𝑠 가 0 에 접근하는 극한을 취하면,  미분정리: ℒ 𝑓′(𝑡) = 𝑠 ∙ ℒ 𝑓(𝑡) − 𝑓 0 = 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑓(0)  𝑠 가 0 에 접근하는 극한: lim 𝑠→0 𝑓′(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = lim_𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑓 0 ---- (1)  위 식 (1) 에서 좌변의 𝑓′(𝑡) 는 𝑡 의 함수이므로, 𝑠 에 무관함  lim 𝑠→0 𝑓′(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑡) ∙ lim_𝑠→0 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡  ₀∞ 𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡 의 상한을 극한을 이용하여 다시 정리하면 ₀∞ 𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡 = lim 𝑡→∞ 𝑓′(𝑡) 𝑡 0 𝑑𝑡 ∴ 𝑓′(𝑡₀∞ 𝑑𝑡 = lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) 0 𝑡 _{= lim} 𝑡→∞ 𝑓 𝑡 − 𝑓(0) = lim𝑡→∞ 𝑓(𝑡) − 𝑓(0) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, lim 𝑠→0 𝑓′(𝑡) ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = lim_𝑡→∞ 𝑓(𝑡) − 𝑓(0) --- (2)  식 (1)의 우변: lim 𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑓(0 식 (2)의 우변과 같아야 하므로  lim

𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑓(0) = lim𝑡→∞ 𝑓(𝑡) − 𝑓(0) lim𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 = lim𝑡→∞ 𝑓(𝑡) : 최종값 정리

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예시) 함수 _𝑓(𝑡) 의 라플라스 변환이 다음과 같을 때, _𝑓(𝑡) 의 최종 값을 구하라. (1) 𝐹 𝑠 = 2𝑠+10 𝑠3_+6𝑠2_+5𝑠  최종 값 정리: lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 = lim𝑠→0 𝑠 ∙ 2𝑠+10 𝑠3+6𝑠2+5𝑠 ∴ lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑠→0 2𝑠+10 𝑠2+6𝑠+5 = 10 5 = 2 (2) 𝐹 𝑠 = 2𝑠+5 𝑠 𝑠+1 𝑠+2  최종 값 정리: lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 = lim𝑠→0 𝑠 ∙ (2𝑠+5) 𝑠 𝑠+1 𝑠+2 ∴ lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡) = lim𝑠→0 2𝑠+5 𝑠+1 𝑠+2 = 0 0 ? ? ?

 부분분수로 분해: 2𝑠+5 𝑠+1 𝑠+2 = 𝐴 𝑠+1 + 𝐵 𝑠+2  통분하여 𝐴 & 𝐵 를 구함: 2𝑠+5 𝑠+1 𝑠+2 = 𝐴 𝑠+2 +𝐵(𝑠+1) 𝑠+1 (𝑠+2) = 𝐴+𝐵 𝑠 +(2𝐴+𝐵) 𝑠+1 (𝑠+2) 𝐴 = 3 & 𝐵 = 1 ∴ lim 𝑡→∞ 𝑓(𝑡 = lim𝑠→0 2𝑠+5 𝑠+1 𝑠+2 = lim_𝑠→0 3 𝑠+1 + 1 𝑠+2 = 3 + 1 2 = 3 1 2 부분분수분해

3-5. 적분정리  시간함수 𝑓(𝑡) 의 1차 적분 _{𝑓 𝑡 𝑑𝑡} 의 라플라스 변환  _{ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 =} ∞ _{𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑒}−𝑠𝑡 0 𝑑𝑡  부분적분: 𝑝′ 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 & 𝑞 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑝 𝑡 =−1 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 _{& 𝑞}′ _{𝑡 = 𝑓(𝑡)} ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ −1 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 0 ∞ − 𝑓 𝑡 ∙ −1 𝑠𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑡=∞ ∙ − 1 𝑠𝑒 −∞ _{− 𝑓 𝑡 𝑑𝑡} 𝑡=0 ∙ − 1 𝑠𝑒 0 ₊1 𝑠 𝑓 𝑡 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 ∴ ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1_𝑠 𝐹 𝑠 + 1 𝑠 ∙ lim_𝑡→0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: lim 𝑡→0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 (∗1)_{(0) 𝑓}(∗1)_{(0) 는 𝑡 → 0 일 때 계산한 적분의 초기값} 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1_𝑠 𝐹 𝑠 +1 𝑠𝑓 (∗1)₍₀₎  만약, 𝑓 ∗1 0 = 0 이면: _{ℒ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =} 1 𝑠 𝐹 𝑠 + 1 𝑠𝑓 ∗1 _{0 ℒ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =} 1 𝑠 𝐹(𝑠) ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠) 0 0 1 lim 𝑡→0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

3-5. 적분정리 (계속)  시간함수 𝑓(𝑡) 의 2차 적분 _{𝑓(𝑡) 𝑑𝑡}2 의 라플라스 변환  ℒ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡2 = ₀∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 ∙ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡  부분적분: 𝑝′ 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡 & 𝑞 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 𝑝 𝑡 =−1 𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 _{& 𝑞}′ _{𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡} ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 _{= 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡}2 _{∙ −}1 𝑠𝑒 −𝑠𝑡 0 ∞ − ₀∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ −1_𝑠𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 𝑡=∞ ∙ − 1 𝑠 𝑒 −∞ _{− 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡}2 𝑡=0 ∙ − 1 𝑠𝑒 0 ₊1 𝑠 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 ∴ ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 ₌ 1 𝑠 ∙ ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝑠 ∙ lim_𝑡→0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒1: lim 𝑡→0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2 _{= 𝑓}(∗2)_{(0) 𝑓}(∗2)_{(0) 는 𝑡 → 0 일 때 계산한 2차 적분의 초기값} ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒2: ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 1_𝑠 𝐹 𝑠 + 1 𝑠 𝑓 ∗1 _{(0) 1차 적분의 라플라스 변환} 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 ₌ 1 𝑠 ∙ 1 𝑠 𝐹 𝑠 + 1 𝑠 𝑓 (∗1)_{(0) +}1 𝑠 ∙ 𝑓 ∗2 ₍₀₎ = 1 𝑠2𝐹 𝑠 + 1 𝑠2𝑓 ∗1 _{(0) +} 1 𝑠 ∙ 𝑓 ∗2 ₍₀₎ ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 0 1 lim 𝑡→0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2

3-5. 적분정리 (요약)  시간함수 𝑓(𝑡) 의 1차 적분 _{𝑓(𝑡) 𝑑𝑡} 의 라플라스 변환  ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ₀∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∙ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑠𝐹 𝑠 + 1 𝑠𝑓 (∗1)₍₀₎  시간함수 𝑓(𝑡) 의 2차 적분 _{𝑓(𝑡) 𝑑𝑡}2 의 라플라스 변환  ℒ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 = ₀∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡2 ∙ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑠2𝐹 𝑠 + 1 𝑠2𝑓 ∗1 _{(0) +} 1 𝑠 ∙ 𝑓 ∗2 ₍₀₎  시간 함수 𝑓(𝑡) 의 n차 적분 _{⋯ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡}𝑛 의 라플라스 변환  ℒ ⋯ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 = 1 𝑠𝑛𝐹 𝑠 + 1 𝑠𝑛𝑓 ∗1 _{0 +} 1 𝑠(𝑛−1)𝑓 ∗2 _{0 + ⋯ +} 1 𝑠 𝑓 (∗𝑛)_{(0), (𝑛 ≥ 2)}  모든 초기값이 0 이면: 𝑓 ∗1 0 = 𝑓 ∗2 0 = ⋯ = 𝑓 ∗𝑛 0 = 0 ∴ ℒ ⋯ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑛 ₌ 1 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: lim 𝑡→0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 ∗1 ₀ lim 𝑡→0 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2 _{= 𝑓}(∗2)₍₀₎ ⋮ lim 𝑡→0 ⋯ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 2 _{= 𝑓}(∗𝑛)₍₀₎

예시1) 1 3 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑔 𝑡 = 2 에서 𝑔 𝑡 의 라플라스변환 을 구하라. (단, 초기값은 𝑘) (1) 라플라스변환: _ℒ 1 3 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑔 𝑡 = ℒ 2

1 3ℒ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 + ℒ 𝑔(𝑡) = ℒ 2 (2) 적분정리: _{ℒ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠𝐺 𝑠 + 1 𝑠 𝑔 ∗1 ₀

_{ℒ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠𝐺 𝑠 + 𝑘 𝑠 (3) _{𝑔 𝑡} 의 라플라스 변환: _{ℒ 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠)} (4) 단위 계단함수의 라플라스변환: ℒ 2 = 2 𝑠  From (1) ~ (4)  1 3ℒ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 + ℒ 𝑔(𝑡) = ℒ 2 1 3 1 𝑠𝐺 𝑠 + 𝑘 𝑠 + 𝐺(𝑠) = 2 𝑠 ∴ 1 3𝑠+ 1 ∙ 𝐺 𝑠 = 2 𝑠 − 𝑘 3𝑠 1+3𝑠 3𝑠 ∙ 𝐺 𝑠 = (6−𝑘) 3𝑠 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝐺 𝑠 = 3𝑠(6−𝑘) 3𝑠(1+3𝑠) = (6−𝑘) (1+3𝑠) 함수 𝑔(𝑡) 의 라플라스 변환 𝑘

예시2) 𝑒 𝑡 = 1 𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 3𝑡 에서 𝑒 𝑡 의 라플라스 변환(𝐸 𝑠 )을 구하라. (단, 초기값은 0) (1) 라플라스변환: _{ℒ 𝑒 𝑡 = ℒ} 1 𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 3𝑡

ℒ 𝑒 𝑡 = 1 𝐶 ∙ ℒ 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 3 ∙ ℒ 𝑡 (2) 𝑒 𝑡 의 라플라스 변환: ℒ 𝑒(𝑡) = 𝐸(𝑠) (3) 적분정리: _{ℒ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠𝐼 𝑠 + 1 𝑠𝑖 ∗1 ₀

_{ℒ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠 𝐼 𝑠 (4) 단위경사함수의 라플라스 변환: _{ℒ 𝑡 =} 1 𝑠2  From (1) ~ (4)  ℒ 𝑒 𝑡 = 1 𝐶 ∙ ℒ 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 + 3 ∙ ℒ 𝑡 𝐸 𝑠 = 1 𝐶∙𝑠 ∙ 𝐼 𝑠 + 3 𝑠2 0

3-6. 복소미분정리  함수 𝑓(𝑡) 의 라플라스변환 _{𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)𝑒}∞ −𝑠𝑡 0 𝑑𝑡 를 𝑠 에 대해 미분하면,  𝑑 𝑑𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑑 𝑑𝑠 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 𝑠 에 대한 미분이므로 𝑡 에 무관 ∴ 𝑑 𝑑𝑠 𝐹 𝑠 = 𝑑 𝑑𝑠 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑 𝑑𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑑 𝑑𝑠 𝐹 𝑠 = −𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = −ℒ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡) ℒ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡) = − 𝑑 𝑑𝑠 𝐹 𝑠  𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)𝑒₀∞ −𝑠𝑡𝑑𝑡 를 _𝑠 에 대해 2번 미분  𝑑2 𝑑𝑠2 𝐹 𝑠 = 𝑑2 𝑑𝑠2 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑2 𝑑𝑠2 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡  𝑑 2 𝑑𝑠2 𝑒 −𝑠𝑡 _{의 계산:} 𝑑2 𝑑𝑠2 𝑒 −𝑠𝑡 ₌ 𝑑 𝑑𝑠 𝑑 𝑑𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 ₌ 𝑑 𝑑𝑠 −𝑡 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 _{= 𝑡}2 _{∙ 𝑒}−𝑠𝑡 ∴ 𝑑2 𝑑𝑠2 𝐹 𝑠 = 𝑡 2 _{∙ 𝑓(𝑡)𝑒}−𝑠𝑡 ∞ 0 𝑑𝑡 = ℒ 𝑡 2 _{∙ 𝑓(𝑡)}

_{ℒ 𝑡}2 _{∙ 𝑓(𝑡) =} 𝑑2 𝑑𝑠2 𝐹 𝑠  _{𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)𝑒}∞ −𝑠𝑡 0 𝑑𝑡 를 𝑠 에 대한 n번 미분 ℒ 𝑡 𝑛 _{∙ 𝑓(𝑡) = (−1)}𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛 𝐹 𝑠 −𝑡 ∙ 𝑒−𝑠𝑡

예시) _{𝑔 𝑡 = 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)} 에서 _{𝑔 𝑡} 의 라플라스변환을 구하라 (1) 라플라스변환: _{ℒ 𝑔 𝑡 = ℒ 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)} (2) ℒ 𝑔(𝑡) 𝑔 𝑡 의 라플라스 변환: ℒ 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠) (3) _{ℒ 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)} 복소미분 정리 _{ℒ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡) = −} 𝑑 𝑑𝑠 𝐹 𝑠 활용  𝑓 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 의 라플라스변환: _{𝐹 𝑠 = ℒ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)} ∴ ℒ 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = − 𝑑 𝑑𝑠ℒ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) (4) ℒ 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 : 사인함수의 라플라스변환 ℒ 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 = 𝜔 𝑠2+𝜔2 From (1) ~ (4)  ℒ 𝑔 𝑡 = ℒ 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) ℒ 𝑔 𝑡 = − 𝑑 𝑑𝑠ℒ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) ∴ 𝐺 𝑠 = − 𝑑 𝑑𝑠 𝜔 𝑠2_+𝜔2 = 2𝜔𝑠 𝑠2_+𝜔2 2 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑑 𝑑𝑠 𝜔 𝑠2+𝜔2 = 𝜔 𝑑 𝑑𝑠 𝑠 2 _{+ 𝜔}2 −1 _𝑠2 _{+ 𝜔}2 _{= 𝑡 로 치환 2s =} 𝑑𝑡 𝑑𝑠 _𝜔 𝑑 𝑑𝑠 𝑠 2 _{+ 𝜔}2 −1 _{= 𝜔} 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 −1 _∙ 𝑑𝑡 𝑑𝑠 = −𝜔 𝑡 −2 _{∙ 2s = −} 2𝜔𝑠 𝑠2+𝜔2 2 𝜔 𝑠2_{+ 𝜔}2

3-7. 복소적분정리  함수 𝑓(𝑡) 의 라플라스변환 _{𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)𝑒}∞ −𝑠𝑡 0 𝑑𝑡 를 𝑠 에 대해 0에서 ∞ 까지 적분하면,  _𝑠∞ 𝐹 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒_𝑠∞ ₀∞ −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑠 에 대한 적분이므로 𝑡와 𝑓 𝑡 에 무관 ∴ 𝐹 𝑠_𝑠∞ 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑡)₀∞ 𝑒_𝑠∞ −𝑠𝑡𝑑𝑠 𝑑𝑡 ※ _{𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑒}∞ −𝑡𝑠 𝑠 𝑑𝑠 = − 1 𝑡𝑒 −𝑡𝑠 𝑠 ∞ = −1 𝑡𝑒 −𝑡∙∞ _{− −}1 𝑡𝑒 −𝑡𝑠 ₌ 1 𝑡𝑒 −𝑡𝑠 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝐹 𝑠_𝑠∞ 𝑑𝑠 = 𝑓(𝑡) ∙ 1 𝑡 ∙ 𝑒 −𝑡𝑠 ∞ 0 𝑑𝑡  복소적분 정리: ℒ 𝑓(𝑡) 𝑡 = 𝐹 𝑠 ∞ 𝑠 𝑑𝑠 0 ℒ 𝑓(𝑡) 𝑡

3-8. 시간이동 정리  함수 𝑓 𝑡 − 𝑎 는 _𝑓(𝑡) 가 _{𝑡 = 𝑎} 만큼 이동한 그래프  𝑡 < 𝑎 에서 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 0 인 함수 𝑓 𝑡 − 𝑎 의 라플라스변환  라플라스변환: ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑓 𝑡 − 𝑎 ∙ 𝑒₀∞ −𝑠𝑡 𝑑𝑡  (𝑡 − 𝑎) 를 𝜏 로 치환: 𝑡 − 𝑎 = 𝜏 𝑡 = 𝜏 + 𝑎 적분구간 변화  양변을 𝑡에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑑𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝜏 • _{ℒ 𝑓(τ) = −𝑎}∞ 𝑓 𝜏 𝑒−𝑠(𝜏+𝑎) 𝑑𝜏 = _−𝑎∞ 𝑓 𝜏 𝑒−𝑠𝜏 ∙ 𝑒−𝑠𝑎 𝑑𝜏 = 𝑒−𝑠𝑎 _−𝑎∞ 𝑓 𝜏 𝑒−𝑠𝜏 𝑑𝜏 ∴ ℒ 𝑓(τ) = 𝑒−𝑠𝑎 _−𝑎∞ 𝑓 𝜏 𝑒−𝑠𝜏 𝑑𝜏 = 𝑒−𝑠𝑎 _−𝑎0 𝑓 𝜏 𝑒−𝑠𝜏 𝑑𝜏+ 𝑓 𝜏 𝑒₀∞ −𝑠𝜏 𝑑𝜏 ※ _{𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑡 < 𝑎} 에서 _{𝑓 𝑡 − 𝑎 = 0} 이므로, _{τ = −𝑎, 0} 에서 _{𝑓 𝜏 = 0} 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, ℒ 𝑓 𝜏 = 𝑒−𝑎𝑠 ∞ _{𝑓 𝜏 𝑒}−𝑠𝜏 0 𝑑𝜏 = 𝑒 −𝑎𝑠_𝐹(𝑠)  환원: ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) 𝑓(𝑡) 를 𝑡 = 𝑎 만큼 이동한 그래프의 라플라스 변환 𝑡 = 0 𝜏 = −𝑎 𝑡 = ∞ 𝜏 = ∞ 0

예시) 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 4 3 의에서 𝑓 𝑡 의 라플라스 변환을 구하라.  방법(1) : 치환적분 이용  라플라스 변환: ℒ 𝑡 − 4 3 = ₀∞ 𝑡 − 4 3𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡  (𝑡 − 4) 를 𝜏 로 치환: 𝑡 − 4 = 𝜏 𝑡 = 𝜏 + 4 • 적분구간 변화  양변을 t 에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑡 𝑡 − 4 = 𝑑𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝜏 ∴ ℒ 𝜏3 _{= 𝜏}∞ 3_𝑒−𝑠(𝜏+4) 0 𝑑𝜏 = 𝑒 −4𝑠 ∞ _𝜏3_𝑒−𝑠𝜏 0 𝑑𝜏 = 𝑒 −4𝑠 _∙ 3! 𝑠4 = 6𝑒−4𝑠 𝑠4  환원: ℒ 𝑡 − 4 3 = 𝑒−4𝑠 ∙ 3! 𝑠4 = 6𝑒−4𝑠 𝑠4  방법(2) 시간이동 정리 활용  시간이동 정리: ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠)  주어진 함수 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 4 3 는 _{𝑓 𝑡 = 𝑡}3 을 _{𝑡 = 4} 만큼 이동한 그래프  𝑓 𝑡 = 𝑡3 의 라플라스 변환 _{𝐹 𝑠 =} 3! 𝑠4 = 6 𝑠4 ∴ ℒ 𝑡 − 4 3 _{= 𝑒}−4𝑠_{ℒ 𝑡}3 ₌ 6𝑒−4𝑠 𝑠4 𝑡 = 0 𝜏 = −4 𝑡 = ∞ 𝜏 = ∞

<라플라스 변환의 정리 요약> (1) 선형정리: _{ℒ 𝑎 ∙ 𝑓1 𝑡 ± 𝑏 ∙ 𝑓2(𝑡) = ℒ 𝑎 ∙ 𝑓1 𝑡 ± ℒ 𝑏 ∙ 𝑓2(𝑡) = 𝑎𝐹1(𝑠) ± 𝑏𝐹2(𝑠)} (2) 미분정리 (모든 초기값이 0): ℒ 𝑓𝑛(𝑡) = 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠 _{𝑓 0 = 𝑓}′ _{0 = ⋯ = 𝑓}(𝑛−1) _{0 = 0}  1계 미분 (n=1): ℒ 𝑓′(𝑡) = 𝑠 ∙ ℒ 𝑓(𝑡) − 𝑓 0 = 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑓(0)

 2계 이상 미분 (n≥2): ℒ 𝑓𝑛(𝑡) = 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠 − 𝑠 𝑛−1 ∙ 𝑓 0 − 𝑠 𝑛−2 ∙ 𝑓′ 0 − ⋯ − 𝑓(𝑛−1) 0 (3) 초기값 정리: _lim 𝑡→0𝑓(𝑡) = 𝑓 0 = lim𝑠→∞ 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 (4) 최종값 정리: lim 𝑡→∞𝑓 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠 ∙ 𝐹 𝑠 (5) 적분정리 (모든 초기값이 0 이면): _{ℒ … 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠𝑛 ∙ 𝐹 𝑠  1차 적분: ℒ 𝐹(𝑡) = 1 𝑠 𝐹(𝑠) + 1 𝑠𝑓 (−1) ₀  2차 이상 적분: _{ℒ … 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 =} 1 𝑠𝑛𝐹 𝑠 + 1 𝑠𝑛𝑓 −1 _{0 +} 1 𝑠(𝑛−1)𝑓 −2 _{0 + ⋯ +} 1 𝑠 𝑓 (−𝑛)₍₀₎ (6) 복소미분 정리 (_𝑠 에 대한 n번 미분): _{ℒ 𝑡}𝑛 _{∙ 𝑓(𝑡) = (−1)}𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛𝐹 𝑠 (7) 복소적분 정리: _ℒ 𝑓(𝑡) 𝑡 = 𝐹(𝑠) ∞ 𝑠 𝑑𝑠 (8) 시간이동 정리: ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) 𝑓(𝑡) 를 𝑡 = 𝑎 만큼 이동한 그래프의 라플라스 변환