우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 전기에너지공학과

이우금 교수

2  1계 비제차 선형 미분방정식의 해 (복습) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑜𝑟 𝑦′ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) - 1계 제차 선형 미분방정식의 일반 해 𝑦 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 에서 A가 상수이므로, 비제차의 일반 해가 되지 않음. - 1계 비제차 선형미분방정식의 해에서 𝐴는 𝑥 의 함수로 나타남.

𝑦 = 𝐴(𝑥)𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

(𝐴는 𝑥 의 함수) - 그러므로, 𝐴를 𝑥 의 함수로 간주하여 위의 해를 다시 미분하면,

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{− 𝑃 𝑥 𝐴(𝑥)𝑒}− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)

- 위 식을 변형하여 적분: 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝐴 𝑥 = 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 - 1계 비제차 선형미분방정식의 해는: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶}} 𝑦

예제) 다음의 미분방정식을 풀어라 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑒2𝑥  비제차 1계 선형 미분방정식: 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑦 = 𝑒2𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = −1, 𝑄 𝑥 = 𝑒2𝑥  1계 선형 비제차 미방의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶}

_{𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = −1 𝑑𝑥 = −𝑥} 𝑦 = 𝑒𝑥 _{{ 𝑒}2𝑥_𝑒−𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑒}𝑥 _{{ 𝑒}𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑒}𝑥_{𝑒𝑥_{+ 𝐶)} 𝑦 = 𝑒2𝑥 _{+ 𝐶𝑒}𝑥

4 예제) 다음의 미분방정식을 풀어라 𝑥𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 𝑦 = 4  1계 선형 미분방정식의 형태로 변형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 𝑥𝑦 = 4 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = 1_𝑥, 𝑄 𝑥 =_𝑥4  1계 선형 비제차 미방의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶}} 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 1_𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) _{ 4 𝑥𝑒 𝑙𝑛 (𝑥)_{𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑥}−1 _{ 4 𝑥∙ 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} = 1 𝑥 {4𝑥 + 𝐶) = 4 + 𝐶 𝑥 (note: 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑡 − ln 𝑥 = ln 𝑡 𝑥−1 = 𝑡 ∴ 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑥−1)  다른 방법: 주어진 방정식 𝑥𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 4 는 (𝑥𝑦)′ = 4 와 동일함. _{(𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 4𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = 4𝑥 + 𝐶} 𝑦 = 4 +𝐶_𝑥

예제) 다음의 미분방정식을 풀어라 𝑥𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 𝑦 = sin 𝑥  1계 선형 미분방정식의 형태로 변형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 𝑥𝑦 = sin 𝑥 𝑥 1계 선형 비제차 미분방정식  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = 1_𝑥 𝑄 𝑥 =sin 𝑥_𝑥  1계 선형 비제차 미방의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶}}

_{𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) _{ sin 𝑥 𝑥 𝑒𝑙𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑥−1 { sin 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} = 1 𝑥 sin 𝑥 + 𝐶 𝑦 =_𝑥1(− cos 𝑥 + 𝐶)  다른 방법: 주어진 방정식 𝑥𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 𝑦 = sin 𝑥 는 (𝑥𝑦)′ = sin 𝑥 와 동일함. _{(𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥𝑦 = − cos 𝑥 + 𝐶} 𝑦 =1_𝑥(− cos 𝑥 + 𝐶)

6 예제) 다음의 미분방정식을 풀어라 𝑦 = 𝑥(3 −𝑑𝑦_𝑑𝑥)  1계 선형 미분방정식의 형태로 변형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 𝑥𝑦 = 3 1계 선형 비제차 미분방정식  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = 1_𝑥 𝑄 𝑥 = 3  1계 선형 비제차 미방의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶}}

_{𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) _{{ 3𝑒}𝑙𝑛 (𝑥)_{𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑥}−1 _{{ 3𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} =} 1 𝑥 { 3𝑥2 2 + 𝐶) = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥  다른 방법: 주어진 방정식 𝑥𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 는 (𝑥𝑦)′ = 3𝑥 와 동일함. _{(𝑥𝑦)′𝑑𝑥 = 3𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} 𝑥𝑦 =3𝑥₂2 + 𝐶 𝑦 =3𝑥₂ +𝐶_𝑥

8-3. 2계 선형 미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

- 미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′_{, 𝑦" , … 등에 관하여 1차인 미분방정식}  2계 선형 미분방정식: 2계 도함수 (즉, 𝑦′′ _{), 1계 도함수 및 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식.} 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑃 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑅 𝑥 𝑜𝑟 𝑦′ ′ _{+ 𝑃 𝑥 𝑦}′ _{+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑅(𝑥)} ※ 이때, R 𝑥 = 0 : 2계 제차 선형 미분방정식 R 𝑥 ≠ 0 : 2계 비제차 선형 미분방정식 ※ 또한, 𝑃 𝑥 & 𝑄 𝑥 = 상수 : 2계 상계수 제차 선형 미분방정식  2계 상계수 제차 선형 미분방정식

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑏𝑦 = 0 (𝑎, 𝑏 는 상수)