대수적인 기법의 복습
목포해양대학교 곽 재 민
개요
| 공학에서 자주 쓰이는 대수적인 기법 소개공학에서 자주 쓰이는 대수적인 기법 소개 y 지수의 법칙 y 다항방정식(2차방정식) y 분수식 y 부등식의 해 부분분수 y 부분분수 2 2지수의 법칙
지수형태 표현 4 지수(index), 거듭곱(power) | 지수형태 표현y
4 밑수(base) 4y
y
y
y
y
×
×
×
=
| 예제1.1 지수형태로표현하시오 예제1 2 다음을 계산하시오 ) 2 )( 2 )( 2 ( ) (a − − − ) ( ) )( )( ( ) ( b bb a a aa d − − − 3 3 4 | 예제1.2 다음을 계산하시오 (b) (−3)3 (b) 23(−3)4 | 지수의 곱셈y 지수의 제1법칙(first law of indices)
같은 밑수를 갖는 지수표현식을 곱하면 거듭곱이 합해짐 : 같은 밑수를 갖는 지수표현식을 곱하면 거듭곱이 합해짐 예제 3 n m n m
a
a
a
=
+ | 예제1.3 3 6 3 ) (c x x (d ) y4y2y3지수의 법칙
지수의 나눗셈 | 지수의 나눗셈y 지수의 제2법칙(second law of indicies)
같은 밑수를 갖는 지수표현의 나눗셈은 거듭곱이 빼짐 n m n m a a a = − : 같은 밑수를 갖는 지수표현의 나눗셈은 거듭곱이 빼짐 | 예제1.5) 다음을 단순화하시오 a ? 5 5 7 9 = ? ) 2 ( ) 2 ( 13 16 = − − 1 2 2 2 0 3 3 = = | 음의 지수 m m
a
a
−=
1
=
1
| 예제1.6)다음을 계산하시오 4 m ma
a
a
a
− 4 2 3 2 3 2 6 6 ) ( ) 3 ( ) ( 4 2 ) ( 3 ) ( − − − − − e d b a지수의 법칙
다중지수 | 다중지수y 지수의 제3법칙(third law of indicies)
mn n m
a
a
)
=
(
(
a
mb
n)
k=
a
mkb
nk | 예제1.8, 예제1.9 | 분수지수 yx
1/n 은 x의 n제곱근 y 은 x의 n제곱근 | 예제1 10 5x
| 예제1.10 5다항방정식
| 다항방정식(Polynomial equation)의 형식 | 다항방정식(Polynomial equation)의 형식 y n: 음이 아닌 정수(0 1 2 3 )( )
x = a x +a −1x −1 +a −2x −2 +...+a2x2 + a1x + a0 = 0 P n n n n n n y n: 음이 아닌 정수(0,1,2,3,…) y an, an-1, . . . a2 ,a1, a0 : 상수인 다항식의 계수들 y 차수(degree): 다항식의 각 항중 가장 큰 지수(거듭곱)의 값 y 차수(degree): 다항식의 각 항중 가장 큰 지수(거듭곱)의 값 y 다항식의 근(roots) : P(x)=0을 만족하는 x의 값 y n차 다항방정식은 n개의 근을 가짐 y n차 다항방정식은 n개의 근을 가짐 | 다항방정식의 예 (표1 1참고) | 다항방정식의 예 (표1.1참고) 60
1
4
7
x
2+ x
−
=
0
20
3=
x
0 = +b ax 0 2 + + = c bx ax 2 3 60
20
=
−
x
3 + 2 + + = 0 d cx bx ax 0 2 3 4 + + + + = e dx cx bx ax다항방정식
차방정식 | 2차방정식 y 2차방정식의 표준형 차방정식의 세가지 해법 인수분해법 근의공식 제곱만들기0
2+
+
=
c
bx
ax
y 2차방정식의 세가지 해법 : 1.인수분해법, 2.근의공식, 3제곱만들기 | 예제1.12 의 근을 구하시오6
x
2+ x
11
−
10
=
0
.(1.인수분해법) 70
)
5
2
)(
2
3
(
x
−
x
+
=
0
5
2
0
2
3
x
−
=
or
x
+
=
72
/
5
3
/
2
0
5
2
0
2
3
−
=
∴
=
+
=
or
x
x
or
x
다항방정식
| 2. 근의공식을 이용한 2차방정식의 해법 yax
2+
bx
+
c
=
0
의 근은a
ac
b
b
x
2
4
2−
±
−
=
| 예제1.13 의 근을 구하시오3
x
2− x
−
6
=
0
.(2.근의공식)a
2
| 3. 제곱만들기 방법을 이용한 2차방정식의 해법 yax
2+
bx
+
c
=
0
의 근은 | 예제1.14 아래 방정식의근을 구하시오.(2.제곱만들기방법) 80
2
8
22
24
+
1
0
80
2
8
2+ x
+
=
x
2
x
− x
4
+
1
=
0
다항방정식
높은 차수의 다항방정식 | 높은 차수의 다항방정식 | 예제1.15) x=1과 x=2가 P(x)=x4 −2x2 −x+2=0 의 근임을 증명하시오 | 예제1.16) 을 푸시오 (4는 근들중의 하나임)P(x)=x3 +2x2 −37x+52=0 페이지 연습문제 9 | 15페이지 연습문제1(i), 2(a),(e), 3(c), 4(g),(k), 5(c), 6(d) 9분수식
분수식의 형태 | 분수식의 형태 다항식 다항식 분수식 = 3t+1 y2 +1 | 적합(proper)분수식과 부적합(improper)분수식 다항식 수식 4 2 +t+ t y2 + y2 +3 (p p ) ( p p ) y 적합분수식 : 분모의 차수가 분자의 차수보다 큰 경우 y 부적합분수식 : 분모의 차수가 분자의 차수보다 작거나 같을 경우 | 예제예제1.17) 적합,부적합으로 분류하고 각각의 분자,분모의 차수를 밝히라.) 적합,부적합으로 분류하고 각각의 분자,분모의 차수를 밝히라 10 100 3 6 9 ) ( 3 2 2 + + − + x x x x a 9 6 9 ) ( 5 2 3 + − + + t t t t b 10 16 10 5 ) 2 ( ) ( 2 2 + + + z z z d 6 3 ) 6 )( 1 ( ) ( 2 + + − + v v v v c분수식
동등한 분수식 | 동등한 분수식 y 같은 값을 갖는 모든 분수식 t 2 2 2( +1) 2 t 1 + yt xt y x y x = = 2 2 t x xt x x x x 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 = + + = 3 4 2 + x+ x | 예1.18 과 이 동등한 분수식임을 보이시오. 7 1 + + x x 21 10 3 4 2 + + + + x x x x | 분수식의 약분 y 분수식을 단순화 하기 위해 분모와 분자에 공통인자로 나누는 것 y 분수식을 단순화 하기 위해 분모와 분자에 공통인자로 나누는 것 | 약분 예제) 6x = 4 2 − 1− = 11 2 y y | 약분 예제) 2 = 11 18x 6x+4 = y2 −2y+1 =분수식
분수식의 곱셈과 나눗셈 | 분수식의 곱셈과 나눗셈 ac c a c a × = × = a ÷ c = a × d = ad bd d b d b × × b ÷ d b × c bc | 예제1.22, 1.23) 다음을 약분하시오 6 5 ) ( 2 2 + + − x x x x 2 3 2 2 ) ( 2 + + × − x x x a 2 12 2 3 2 2 7 6 7 8 ) ( x x x x x x x b + + ÷ − + + 12분수식
분수식의 덧셈과 뺄셈 | 분수식의 덧셈과 뺄셈
y 각각의 분수식을 약분된 형태로 표시
분수식의 최저공통분모 를 구함
y 분수식의 최저공통분모(lowest common denominator)를 구함
y 모든 분수식을 최저공통분모를 분모로 갖도록 표시하고 덧셈 뺄셈연산 수행 | 예1.24,25) 다음을 한 개의 분수식으로 표시하시오 8 6 4 4 4 2 ) 1 ( 4 ) 2 ( 2 4 2 ) 1 )( 2 ( 8 6 ) 1 )( 2 ( 4 4 4 2 ) 1 )( 2 ( ) 1 ( 4 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( 2 2 4 1 2 + + + = + + + + + = + + + + + + + = + + + x x x x x x x x x x x x x x x 13 ? 6 2 2 1 2 3 2 2 = + − − + + x x x x | 23페이지 연습문제1.4) 1(a)(c)(f), 2(h), 5(c) 13
부등식
(
INEQUALITY)의 해
부등식 기호를 포함하는 식 | 부등식 : 기호를 포함하는 식 y : a가 b보다 큰 것을 의미 가 보다 작은 것을 의미 ≤ ≥ < >, , , b a> y : a가 b보다 작은 것을 의미 y : a가 b보다 크거나 같은 것을 의미 가 보다 작거나 같은 것을 의미 b a≥ b ≤ b a< y : a가 b보다 작거나 같은 것을 의미 | 부등식의 양변에 같은 값을 더하거나 빼도 부등호는 변하지 않음 b a≤ | 부등식의 양변에 같은값을 곱하거나 나눌때는 값의 부호에 주의 y 양수를 양변에 곱하고나 나눌때는 부등호 변하지 않음 y 음수를 양변에 곱하거나 나눌때는 부등호가 반대로 바뀜 | 예제1.26) 부등식을 푸시오 14 14 z z ≤ + −3 6 2부등식의 해
| 예제1.27) 다음부등식을 푸시오 1 2 3 0 6 2 1 ) ( > − + x x a 1 2 3 2 ) ( ≤ + + t t b | 예제1.28) 부등식을푸시오 4 ) (a)x2 > 4 (b)x2 < 4 (a x > (b)x < 4 일반적으로 다음이 성립함 만약 x2 > k이면 x > k 또는 x < − k 이다 만약 이면 또는 이다 만약 이면 이다 k x > k x2 < − k < x > k | 예제1.29) 다음 부등식을 푸시오 15 0 6 ) (a x2 + x− > (b) x2 + x8 +1< 0 | 29페이지 연습문제1.5) 2(a)(j)(l)(m) 15부분분수
(
PARTIAL FRACTION)
하나의 분수식을 간단한 여러 개의 분수식들의 합으로 표현 가능 | 하나의 분수식을 간단한 여러 개의 분수식들의 합으로 표현 가능 8 6 ) 1 ( 4 ) 2 ( 2 4 2 + = + + + = + x x x 2 3 ) 2 )( 1 ( 2 1+ + = + + = 2 + + + x x x x x x 8 6 | 분수식 의 부분분수 : 2 3 8 6 2 + + + x x x 2 4 , 1 2 + + x x | 적합한 분수식에 대한 부분분수를 구하는 방법과 | 적합한 분수식에 대한 부분분수를 구하는 방법과 | 부적합한 분수식에 대한 부분분수를 구하는 방법을 구분 부분분수를 구할때 분모를 차 또는 차인자들의 곱으로 인수분해 16 | 부분분수를 구할때 분모를 1차 또는 2차인자들의 곱으로 인수분해 16부분분수
(
PARTIAL FRACTION)
적합한 분수식에 대한 부분분수 표현 | 적합한 분수식에 대한 부분분수 표현 y 1. 분모를 인수분해함 분모의 각인자가 부분분수를 이룸 y 2. 분모의 각인자가 부분분수를 이룸 y 3. x의 특정값을 사용하거나 계수비교법으로 미지수를 구함 선형인자 | 선형인자(linear factors) : y 분모의 선형인자 는 형태의 부분분수로 표현 b ax+ b ax+ b ax A + | 예제1.30) 다음을 부분분수들로 나타내시오.(계수비교법,특정값이용 두가 지모두 사용해보자 b ax+ 지모두 사용해보자) 17 1 2 ) 1 )( 2 ( 8 6 2 3 8 6 2 + + = + + + + = + + + x B x A x x x x x x 17 ) 2 ( ) 1 ( 8 6x+ = A x+ + B x+부분분수
(
PARTIAL FRACTION)
적합한 분수식에 대한 부분분수 | 적합한 분수식에 대한 부분분수
| 다중선형인자(repeated linear factors) : 등(ax+b)2, (ax+b)3
y 분모의 다중선형인자 (ax+b)2 는 부분분수 2 형태로 표현 ) (ax b B b ax A + + + | 예제1.31) 다음을 부분분수들로 나타내시오 ) (ax b b ax+ + 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 5 2 1 2 5 2 + + + = + + = + + + x B x A x x x x x | 예제1.32) 부분분수로 나타내시오. 18 13 14 13 14 2 + 2 + A B C 18 1 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( 13 14 ) 1 )( 1 4 4 ( 13 14 2 2 2 2 2 − + + + + = − + + = − + + + x C x B x A x x x x x x x x x
