우석대학교 에너지전기공학과

강의 (4)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 주요내용 복습) 4-3. 역함수  함수

𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌

에서,

𝑋

의 각 원소

𝑥

에 대해

𝑌

의 각 원소

𝑦

가 단 하나 대응 될 때, 

𝑌

를 정의역,

𝑋

를 치역으로 하는

𝑌

에서

𝑋

로의 함수를 얻을 수 있음.  이 함수를 함수

𝑓

의 역함수(inverse function)라 하고,

𝑓

−1

∶ 𝑌 → 𝑋

로 표시. (그림 1) (그림2)  모든 함수의 역함수가 존재하는 것은 아님.

𝑥

에 대해

𝑦

가 단 하나의 일대일 대응이 아니면, 역함수는 존재하지 않는다. 𝑋 𝑌 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑋 𝑌 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 함수

𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌

역함수

𝑓

−1

: 𝑌 → 𝑋

𝑋 𝑌 𝑥₀ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑋 𝑌 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂ (역함수가 존재하지 않음) (역함수 존재함) 복습

 역함수 구하는 법 1) 함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

가 완전 일대일 함수인지 판별: 완전 일대일 함수가 아니면 역함수는 존재하지 않음. 2) 변수

𝑥, 𝑦

를 서로 바꾼다 3)

𝑦

에 대해서 정리 ※ 역함수 관계가 있는 두 함수의 그래프는 직선

𝑦 = 𝑥

에 대칭. (예시)

𝑦 = 𝑥

2

+ 1

의 역함수가 존재하는지 조사하고, 역함수가 존재하면 역함수를 구하라. (1) 주어진 함수가 일대일 함수인지 그래프로 판별 ※

𝑦 = 𝑥

2

+ 1

는 완전 일대일 대응함수가 아님:

𝑦 = 𝑥

2

+ 1

의 역함수는 존재하지 않는다. 역함수 𝑋 𝑌 0 1 −1 2 2 1 5 (함수

𝑦 = 𝑥

2

+ 1

) −2 (역함수

𝑓

−1

∶ 𝑌 → 𝑋 ?

) 𝑋 𝑌 0 1 −1 2 2 1 5 −2 𝑦 = 𝑥2 _{+ 1} 𝑥 𝑦 2 −2 5

4-4. 함수의 그래프  함수의 이동 (1) 함수의 평행이동  함수

𝑦 = 𝑓 𝑥

의 그래프를

𝑥

축 방향으로

𝑝, 𝑦

축방향으로

𝑞

만큼 평행 이동한 그래프의 변환.

𝑥

대신

𝑥 − 𝑝 & 𝑦

대신

𝑦 − 𝑞

을 대입:

𝑦 − 𝑞 = 𝑓 𝑥 − 𝑝

(2) 함수의 대칭이동 

𝑥

축에 관하여 대칭이동한 그래프:

𝑦

대신에

−𝑦

를 대입,

−𝑦 = 𝑓 𝑥

예시)

𝑦 = (𝑥 − 1)

2

−𝑦 = (𝑥 − 1)

2 

𝑦

축에 관하여 대칭이동한 그래프:

𝑥

대신에

−𝑥

를 대입,

𝑦 = 𝑓 −𝑥

예시)

𝑦 = (𝑥 − 1)

2

𝑦 = (−𝑥 − 1)

2  원점에 관하여 대칭이동:

𝑥

대신에

−𝑥

를,

𝑦

대신에

−𝑦

를 대입,

−𝑦 = 𝑓 −𝑥

예시)

𝑦 = (𝑥 − 1)

2

−𝑦 = (−𝑥 − 1)

2 

𝑦 = 𝑥

에 관하여 대칭이동한 그래프:

𝑥

대신에

𝑦

를,

𝑦

대신에

𝑥

를 대입 즉,

𝑥 = 𝑓 𝑦

역함수 복습

4-5-2. 직선의 방정식  기본형:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

(case 1) 기울기가

𝑚

이고,

𝑦

절편이

𝑏

인 직선:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

예시) 기울기가 2 이고,

𝑦

절편이 1 인 직선의 방정식

𝑦 = 2𝑥 + 1

(case 2) 기울기가

𝑚

이고, 한 점

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

을 지나는 직선:

𝑦 − 𝑦

₁

= 𝑚(𝑥 − 𝑥

₁

)

예시) 기울기가 -1 이고, 점(1, -0.5)를 지나는 직선의 방정식 

𝑦 − −0.5 = −(𝑥 − 1) 𝑦 = − 𝑥 − 1 − 0.5 𝑦 = −𝑥 + 0.5

(case 3) 두 점

(𝑥

₁

, 𝑦

₁

), (𝑥

₂

, 𝑦

₂

)

을 지나는 직선:

𝑦 − 𝑦

₁

=

𝑦2−𝑦1 𝑥₂−𝑥₁

∙ 𝑥 − 𝑥

1

(단,

𝑥

1

≠ 𝑥

2) 예시) 두 점

(1, 1), (−0.5, −1)

을 지나는 직선의 방정식 

𝑦 − 1 =

−1−1 −0.5−1

∙ 𝑥 − 1 𝑦 =

2 1.5

∙ 𝑥 − 1 + 1 𝑦 =

4 3

𝑥 −

1 3

(case 4)

𝑥

절편이

𝑎 & 𝑦

절편이

𝑏

인 직선: 𝑥 𝑎

+

𝑦 𝑏

= 1

(단,

𝑎𝑏 ≠ 0

) 예시)

𝑥

절편이

1 & 𝑦

절편이

2

인 직선  𝑥 1

+

𝑦 2

= 1 𝑦 = 2(1 − 𝑥)

𝑥 𝑦 1 2 0 𝑦 = 2(1 − 𝑥)

(예제) 다음 주어진 조건에서 직선의 방정식을 구하라. (1) 기울기가 -2 이고 점 (1, 3)를 지나는 직선을 구하고,

𝑥

축 방향으로 1만큼 평행 이동한 직선방정식..  기울기가 -2 이고 점 (1, 3)를 지나는 직선  (case 2)

𝑦 − 𝑦

₁

= 𝑚(𝑥 − 𝑥

₁

)



𝑚 = −2 & 𝑥

₁

, 𝑦

₁

= (1, 3)

∴

𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 1) 𝑦 = −2𝑥 + 5



𝑥

축 방향으로 1만큼 평행이동  함수

𝑦 = 𝑓 𝑥

의 그래프를

𝑥

축 방향으로

𝑝 & 𝑦

축 방향으로

𝑞

만큼 평행 이동한 그래프.

𝑦 − 𝑞 = 𝑓 𝑥 − 𝑝



𝑝 = 1 & 𝑞 = 0

∴ 𝑦 = −2 𝑥 − 1 + 5 𝑦 = −2𝑥 + 7

4-5. 일차 함수 𝑦 = −2𝑥 + 5 𝑦 = −2𝑥 + 7 𝑥 𝑦 2.5 5 0 7 3.5

(2) 두 점 (2, 1)과 (-1, -1)을 지나는 직선을 구하고,

𝑦

축 방향으로 -2만큼 평행 이동한 직선의 방정식.  두 점 (2, 1) 와 (−1, −1) 을 지나는 직선  (case 3)

𝑦 − 𝑦

₁

=

𝑦2−𝑦1 𝑥₂−𝑥₁

∙ 𝑥 − 𝑥

1

,

(𝑥

1

≠ 𝑥

2

)



𝑥

₁

, 𝑦

₁

= 2, 1 & 𝑥

₂

, 𝑦

₂

= (−1, −1)

∴

𝑦 − 1 =

−1−1₋₁₋₂

∙ 𝑥 − 2 𝑦 =

2₃

𝑥 − 2 + 1 𝑦 =

2₃

𝑥 −

1₃ 

𝑦

축 방향으로 -2 만큼 평행이동  함수

𝑦 = 𝑓 𝑥

의 그래프를

𝑥

축 방향으로

𝑝 & 𝑦

축 방향으로

𝑞

만큼 평행 이동한 그래프.

𝑦 − 𝑞 = 𝑓 𝑥 − 𝑝

 𝑝 = 0 & 𝑞 = −2

∴

𝑦 − −2 =

2₃

𝑥 −

1₃

𝑦 =

2₃

𝑥 −

7₃ 𝑦 = 2 3𝑥 − 1 3 𝑦 = 2 3𝑥 − 7 3 𝑥 𝑦 −1 3 0 12 −7 3 7 2