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생명과학을 위한 수학 1 기출문제 - [2019-1] 생명과학을 위한 수학 1 기말고사

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Academic year: 2021

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생명과학을 위한 수학 1 기말고사 (2019년 6월 8일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [10점] 다음 초깃값 문제의 해를 양함수 형태로 구하시오. dy dx = 3x2+ 4x + 2 2(y − 1) , y(0) = −1 문제 2 [10점] 미분방정식 2y0 + ty = 2의 일반해 y(t)에 대하여 lim t→∞y(t)의 값이 존재하면 구하시오. 문제 3 [40점] 512명의 학생이 수강하는 생명과학을 위한 수학 기말 고사를 8일 앞두고, 수강생의 50%가 F를 받을 것이라는 소문을 들은 학생이 한 명 발생했다. 4일 후 이 소문을 들은 학생수가 16명으로 늘어났다고 한다. y(t)를 시간 t(단위: 일)까지 소문을 들은 학생수라 하면, y(t)는 t 의 증가함수가 된다. y(t) = 512가 되기 전까지의 소문이 퍼지는 속도 (y0)를 다음의 각 경우와 같이 가정한다면, 기말고사일(t = 8)에 소 문을 들은 학생수가 어떻게 되는지 구하시오. (모든 계산은 학생수가 연속적으로 변한다고 가정하며, y(8)의 값이 정수가 아닌 경우 소수 첫째 자리에서 반올림하여 답한다.) (a) (10점) 소문이 퍼지는 속도는 현재 소문을 들은 학생수에 비례 한다. (b) (10점) 소문이 퍼지는 속도는 현재 소문을 들은 학생수와 듣지 못한 학생수의 곱에 비례한다. (계산시 312/511 ≈ 1.88의 근삿 값을 사용하시오.) (c) (10점) 소문이 퍼지는 속도는 현재 소문을 들은 학생수의 제곱 근에 비례한다. (d) (10점) 소문이 퍼지는 속도는 현재 소문을 들은 학생수의 제곱에 비례한다. 문제 4 [15점] 다음 미분방정식에 대해 물음에 답하시오. y0= 0.1y(4 − y)(7 − y) (a) (4점) 평형해를 찾고 위상도를 그리시오. (b) (3점) 초깃값이 y(0) = 2인 경우와 y(0) = 6인 경우에 각각 lim t→∞y(t)의 값이 어떻게 되는지 설명하시오. (c) (8점) 초깃값이 y(0) = 2로 주어질 때, ∆t = 0.5로 놓고 오일러 의 방법을 이용하여 y(1)의 근삿값을 구하시오. 문제 5 [10점] 다음 이계미분방정식의 초깃값 문제를 푸시오. y00+ y0+ y = 0, y(0) = 2, y0(0) = 0.5 문제 6 [15점] 다음 이계미분방정식의 초깃값 문제에 대해 물음에 답 하시오. (1 + t2)2d 2 y dt2 + (2t − 3)(1 + t 2 )dy dt+ 2y = 0, y(0) = 1, dy dt(0) = −2 (a) (10점) t = tan x로 치환하여, 위 미분방정식을 x에 대한 초깃값 문제로 고치시오. (b) (5점) (t에 대한 함수로서) 위 초깃값 문제의 해를 구하시오. h 연습용 여백 i 1

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생명과학을 위한 수학 1 기말고사 학번: 이름: 문제 7 [15점] 시간 t일 때, 어느 숲속에 있는 토끼의 양 x(t)와 사냥 꾼의 수 y(t)는 다음과 같은 관계가 있다고 한다. i. 사냥꾼이 없는 경우 토끼는 자연성장률이 0.5, 수용용량이 1000 인 로지스틱 모형에 따른 성장을 한다. ii. 한 명의 사냥꾼이 잡는 토끼의 양은 숲속에 있는 토끼의 양에 비례하고, 이때의 비례상수는 0.02이다. iii. 새롭게 숲속을 찾아오는 사냥꾼의 수는 숲속에 있는 토끼의 양에 비례하고, 이때의 비례상수는 0.001이다. iv. 숲속을 떠나는 사냥꾼의 수는 숲속에 있는 사냥꾼의 수에 비례 하고, 이때의 비례상수는 0.0225이다. (a) (5점) 숲속의 상황을 미분방정식계를 이용하여 나타내시오. (b) (5점) 수직분기선, 수평분기선, 평형점을 구하시오. (c) (5점) 상태공간은 수직분기선과 수평분기선에 의해 4개의 영 역으로 분할된다. 각 영역에서의 속도벡터의 방향을 그림으로 나타내시오. 문제 8 [15점] 다음 선형계를 푸시오. ( x0= y y0 = − 1 4t2x − 2 ty 문제 9 [20점] t ≥ 0에서 정의된 x(t), y(t)에 대한 다음 미분방정식계 에 대하여 물음에 답하시오.  x0 = −2x + y y0 = 2x − 3y (a) (10점) x(t)와 y(t)의 일반해를 구하시오. (b) (5점) 직선 궤적을 모두 구하시오. (c) (5점) 초기 상태가 각각 (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1)인 경우의 궤적을 그리시오. 문제 10 [10점] 양수 m, b, k를 계수로 갖는 다음 미분방정식에 대하여 물음에 답하시오. m y00+ b y0 + k y = 0 (a) (5점) 이 미분방정식을 일계선형미분방정식계로 변환하고 평형 점을 구하시오. (b) (5점) (a)에서 언급한 평형점이 나선끌개가 될 조건을 구하시오. 문제 11 [40점] 인접한 세 지역 A, B, C 중 A 지역에서 어느 날 SIR 모형을 따르는 풍토병이 발생하여 I0(≥ 1)명의 감염자가 발생했다. 이 풍토병은 지역 B나 C에서는 발생하지 않으며 감염자의 경우에 도 다른 지역으로 이주하면 곧 회복된다고 한다. A 지역의 주민수는 N = 1000명이고, 전이계수는 α = 0.001, 회복계수는 β = 0.2라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 지역 간의 이주 및 인구변동이 없다고 가정할 때, A 지 역의 감염가능자수(S)와 감염자수(I)에 대한 미분방정식계를 구하시오. (초깃값도 기술하시오.) (b) (5점) (a)의 가정하에서 이 풍토병이 더 이상 퍼지지 않는 감염 가능자의 문턱값을 구하시오. (c) (10점) (a)의 가정하에서 최대감염자수를 예측하시오. (도움말: 먼저 I를 S의 함수로 나타내볼 수 있다.) (d) (5점) (a)에서와 달리 A 지역의 주민은  = 0.05의 비율로 C 지역으로 이주해 나가고, 또 그만큼 B 지역으로부터 이주해 들 어온다고 가정하자. 이 가정하에서 A 지역의 감염가능자수(S) 와 감염자수(I)에 대한 미분방정식계를 구하시오. (e) (15점) (d)에서 언급한 미분방정식계의 평형점을 모두 구하고, 각 평형점의 야코비 행렬을 구한 다음, 각 평형점을 분류하시오. h 연습용 여백 i 2

참조

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