생명과학을 위한 수학 2 중간고사 (2020년 10월 17일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 (20점). 다음 급수의 수렴여부를 판정하시오. (a) (6점) ∞ X n=1 n sin 1 n2 (b) (7점) ∞ X n=1 nn (2n)!e2n (c) (7점) ∞ X n=3 1 n log((log n)2) 문제 2 (15점). 멱급수 ∞ X n=1 arctan n n2+ 1 (2x − 1) n 의 수렴반경과 수렴구간을 구하시오. 문제 3 (15점). 다음 급수의 합을 구하시오. ∞ X n=0 (−1)n (2n)!(2n + 2) 문제 4 (20점). 무리수 p3 3/2의 유리수 근삿값을 오차가 0.1 이하가 되도록 구하시오. 단, 함수 √3 1 + x 를 이용해도 좋다. 문제 5 (15점). 함수 f (x) = −x + π, (0 ≤ x ≤ π) −x − π, (−π ≤ x < 0) 의 푸리에 급수를 구하고, 이를 이용하여 급수 ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1 = 1 − 1 3+ 1 5− 1 7+ · · · 의 합을 구하시오. 문제 6 (10점). 항아리 A에는 검은 공 10개와 흰 공 20개가, 항아리 B 에는 검은 공 30개와 흰 공 40개가 들어있다. 앞면, 뒷면이 나올 확률이 각각 1/3, 2/3인 동전을 던져서 앞면이 나오면 A에서, 뒷면이 나오면 B에서 공을 하나 꺼내는 실험을 했을 때, 나온 공이 검은 공이라면 동전의 앞면이 나왔을 확률을 구하시오. 문제 7 (15점). 서울대학교 정문을 통과하는 차량의 평균 속력이 시속 40km 라고 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (7점) 정문을 통과중인 한 차량의 속력이 시속 60km 이상일 확 률은 2/3 을 넘지 못함을 보이시오. (b) (8점) 만약 정문을 통과하는 차량 속력의 표준편차가 시속 10km 라면, 정문을 통과중인 한 차량의 속력이 시속 60km 이상이거나 20km 이하일 확률은 1/4 를 넘지 못함을 보이시오. h 연습용 여백 i 1
생명과학을 위한 수학 2 중간고사 학번: 이름: 문제 8 (10점). 이산확률변수 X의 누적분포함수 F (x)가 다음과 같을 때 F (x) = 0, (x < 1) 1/3, (1 ≤ x < 4) 1/2, (4 ≤ x < 6) 5/6, (6 ≤ x < 10) 1, (10 ≤ x) 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 확률 P(2 < X ≤ 6) 을 구하시오. (b) (5점) 다음의 확률분포표를 완성하고 X의 기댓값을 구하시오. X = k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(X = k) 문제 9 (20점). 상수 C에 대하여 이산확률변수 X의 확률질량함수 pX 가 다음과 같을 때 pX(n) = C(log 2)2n (2n)! , n = 0, 1, 2, · · · 다음 물음에 답하시오. (a) (6점) C를 구하시오. (b) (7점) X의 확률생성함수를 구하시오. (c) (7점) X의 평균과 분산을 구하시오. 문제 10 (15점). 앞뒤가 나올 확률이 같은 동전을 처음으로 앞면이 나올 때까지 던지는 실험을 할 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 던진 횟수가 홀수일 확률을 구하시오. (b) (10점) n번 던지는 동안 앞면이 안나왔다면 그 후로 처음으로 앞면이 나올 때 까지 더 던진 횟수를 m이라고 할 때, 던진 총 횟수 n + m이 홀수일 확률을 구하시오. 문제 11 (15점). 어느 인쇄소에서는 10,000권의 책을 인쇄하면 그 중 0.2%가 결함이 생긴다고 한다. 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 인쇄된 10,000권의 책 중에서 결함이 있는 책의 수를 X 라고 할 때, 확률변수 X의 기댓값 및 분산을 구하시오. (b) (10점) 인쇄된 10,000권의 책 중에서 결함이 3권 이하일 확률을 푸아송 근사를 이용하여 구하시오. 문제 12 (15점). 모수가 λ인 지수분포를 따르는 두 확률변수 X와 Y 가 독립일 때, 즉, 모든 실수 x, y에 대하여 등식 P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) 를 만족할 때, X와 Y 중 작은 값을 취하는 확률변수 Z = min(X, Y ) 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) Z는 무기억성질을 가짐을 보이시오. (b) (5점) Z의 기대값을 구하시오. 문제 13 (15점). 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 모수가 (µ, σ2)인 정규분포를 따르는 확률변수 X에 대하 여 X의 적률생성함수 mX(t)를 구하시오. 단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z의 적률생성함수가 mZ(t) = et 2/2 임을 사용 해도 좋다. (b) (10점) 확률변수 X의 적률생성함수가 mX(t) = et+t 2 일 때 확률 P(X ≤ 1)을 구하시오. 또한 정규분포를 따르는 확 률변수 Y 가 X와 독립이고 X + Y 의 적률생성함수가 mX+Y(t) = e3t+4t 2 일 때, 기댓값 E(Y ) 및 분산 Var(Y )를 구하시오. h 연습용 여백 i 2