수학 1 중간고사 (2019년 4월 20일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 150점) 문제 1 [20점] 다음 급수의 수렴여부를 판정하시오. (a) (5점) ∞ X n=1 (log n)3 n3 (b) (5점) ∞ X n=1 sin n n2 (c) (5점) ∞ X n=1 1 − sinh1 n n2 (d) (5점) ∞ X n=1 n 1 − cos 1 n 문제 2 [15점] 거듭제곱급수 ∞ X n=3 n1n− 1xn이 수렴하는 x의 범위를 구하시오. 문제 3 [15점] 다음 급수가 수렴함을 보이고, 급수의 합을 구하시오. (a) (5점) ∞ X n=1 (−1)n−1 n 1 3n (b) (5점) ∞ X n=1 n2 2n (c) (5점) ∞ X n=1 1 n(n + 1)2n 문제 4 [20점] hn= n X k=1 1 k일 때, 거듭제곱급수 ∞ X n=1 hnxn에 대하여, 물음에 답하시오. (a) (10점) ∞ X n=1 hnxn의 수렴범위가 −1 < x < 1임을 보이시오. (b) (10점) ∞ X n=1 hn 2n의 값을 구하시오. h 연습용 여백 i 1
수학 1 중간고사 학번: 이름: 문제 5 [15점] 함수 f (x) = sinh x + sinh−1 x에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) y = f (x)의 역함수 x = g(y)가 정의됨을 보이고, g0(0) 과 g00 (0)을 구하시오. (b) (5점) 원점에서 g(y)의 2차 근사다항식을 구하시오. 문제 6 [10점] 다음 극한값을 구하시오. lim x&0(1 − arctan x) 1 x 문제 7 [10점] 2번 미분가능한 함수 f (x)의 원점 근방에서의 2차 근 사다항식을 1 + 2x + 4x2라고 할 때 1 f (x)의 원점 근방에서의 2차 근사다항식을 구하시오. 문제 8 [15점] 점 x = 11 근방에서 log x의 3차 테일러 다항식 p(x)를 구하고, 구간 [10, 12]의 모든 점 x에 대하여 부등식 | log x − p(x)| ≤ 1 4 · 104이 성립함을 보이시오. 문제 9 [15점] 극좌표계로 주어진 두 곡선 r = 3 sec θ, r = 1 1 2 + cos θ 의 개형을 좌표평면에 그리고 그 교점을 구하시오. 문제 10 [15점] 다음 구면좌표계 (ρ, ϕ, θ)로 표현된 식을 직교좌표계 (x, y, z)로 나타내시오. (a) (7점) ρ = cos ϕ (b) (8점) ϕ = arctan 2 h 연습용 여백 i 2
