우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

2 (중간시험 검토) 1) 다음 각 수열의 처음 세 항을 적어라. 1-1) 1 2𝑛 = 1 2 , 1 4 , 1 8 1-2) (−1)𝑛 (𝑛+1) = − 1 2 , 1 3 , − 1 4 2) 다음 합을 나열식으로 적어라. 2-1) 𝑘2 2 3 𝑘=1 = 1₂+4₂+ 9₂ 2-2) 1 3𝑘−1 5 𝑘=1 =₃10 + 1 31 + 1 32 + 1 33 + 1 34 = 1 + 1 3+ 1 32 + 1 33 + 1 34 3) 등차수열 1 2− 𝑛 3 의 50번째 항 𝑎50 과 50번째 항까지의 합 𝑆50 을 구하라.  첫째 항이 𝑎 이고, 공차가 𝑑 인 등차수열의 𝑛 째 항: 𝑎_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑  𝑎₁ = 1₂−1₃ = 1₆ , 𝑎₂ = 1₂−2₃ = −1₆ , 𝑑 = 𝑎₂− 𝑎₁ = −1₆−1₆= −1₃ ∴ 𝑎50 =1₆+ 50 − 1 −1₃ =1₆−49₃ = −97₆  처음 𝑛 항 까지의 합 ∶ 𝑆_𝑛 = 𝑛₂ 𝑎₁+ 𝑎_𝑛 ∴ 𝑆50 = 50₂ 1₆−97₆ = −25 × 16 = −400

3 𝑆_𝑛− 𝑟𝑆_𝑛 을 활용하여 등비수열의 처음 𝑛 항까지의 합이 𝑆_𝑛 = 𝑎 1−𝑟𝑛 1−𝑟 이 됨을 보여라.  𝑆_𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ 𝑎𝑟}3 _{+ ⋯ + 𝑎𝑟}𝑛−1  𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2_{+ 𝑎𝑟}3_{+ ⋯ + 𝑎𝑟}𝑛−1_{+ 𝑎𝑟}𝑛 𝑆_𝑛− 𝑟𝑆_𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛 ∴ 𝑆_𝑛(1 − 𝑟) = 𝑎 1 − 𝑟𝑛 _𝑆 𝑛 = 𝑎 1−𝑟 𝑛 1−𝑟 5) 아래 주어진 함수가 𝑥 = 2 에서 연속인지를 확인하라.  연속함수의 조건 1) 𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함. 2) 𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함. 3) 𝑥 = 𝑎 에서의 극한값과 𝑓(𝑎) 가 같아야 함. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)  주어진 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)_𝑥2−1 에서, 1) 𝑥 = 2 에서 함수의 값 𝑓 2 = 2(2−1) 22₋₁ = 2 3 정의 됨. 2) 𝑥 = 2 에서 극한값 lim 𝑥→2𝑓(𝑥) = lim𝑥→2 𝑥(𝑥−1) 𝑥2₋₁ = 2(2−1) 22₋₁ = 2 3 극한값이 존재 함. 3) 𝑥 = 2 에서 lim𝑓(𝑥) = 𝑓 2 =2 3 극한값 lim𝑓(𝑥) 와 𝑓(2) 가 같음.

4 6) 다음의 극한값을 구하라. 6-1) lim 𝑥→0 2𝑥 2_{− 𝑥 + 1 = 2 × 0}2 _{− 0 + 1 = 1} 6-2) lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥2_−𝑥 = 0 0 6-3) lim 𝑥→∞ 2𝑥 1+𝑥2₊₂ = ∞ ∞ 6-4) lim 𝑥→0 tan 4𝑥 2𝑥 = 0 0 6-5) lim 𝑥→0 1 + 2𝑥 2 𝑥 확정형 부정형 (1) : 인수분해 부정형 (2) : 근호 밖의 최고차 𝑥 로 분모, 분자 나눔 삼각함수의 극한 : lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 자연대수 : lim 𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒 ∴ lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥2_−𝑥 = lim_𝑥→1 (𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥(𝑥−1) = lim𝑥→1 (𝑥+1) 𝑥 = 2 ∴ lim 𝑥→∞ 2𝑥 1+𝑥2₊₂ = lim_𝑥→∞ 2𝑥 𝑥 1+𝑥2 𝑥2 + 2 𝑥 = lim 𝑥→∞ 2 1 𝑥2 + 1 + 2 𝑥 = 2 ∴ lim 𝑥→0 tan 4𝑥 2𝑥 = lim𝑥→0 sin 4𝑥 2𝑥 cos 4𝑥 = lim𝑥→0 sin 4𝑥 2𝑥 1 cos 4𝑥 = lim𝑥→0 2×sin 4𝑥 2×2𝑥 1 cos 4𝑥 = lim𝑥→0 sin 4𝑥 4𝑥 2 cos 4𝑥 = 2 ∴ lim 𝑥→0 1 + 2𝑥 2 𝑥 = lim 𝑥→0 1 + 2𝑥 2×2 𝑥×2 = lim 𝑥→0 1 + 2𝑥 1 2𝑥 4 = 𝑒4

7-1) 𝑥 의 범위 [1, 3] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율 ∆𝑦_∆𝑥 을 구하라. ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥 = 𝑓 3 −𝑓(1) 3−1 = 1 3+1 − 1 1+1 2 = 1 4 − 1 2 2 = − 1 8 7-2) 𝑓 𝑥 의 도함수를 미분의 정의에 의해 구하라 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 1 𝑥+∆𝑥+1− 1 𝑥+1 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑥+1 −(𝑥+∆𝑥+1) (𝑥+∆𝑥+1)(𝑥+1) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −∆𝑥 ∆𝑥(𝑥+∆𝑥+1)(𝑥+1) ∴ 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 −1 (𝑥+∆𝑥+1)(𝑥+1) = −1 (𝑥+1)2 = −(𝑥 + 1)−2 검산: 𝑓′ 𝑥 = _𝑥+11 ′ = (𝑥 + 1)−1 ′ = − 𝑥 + 1 −1−1 = −(𝑥 + 1)−2 7-3) 𝑥 = 1 에서 접선의 방정식  𝑥 = 1 에서 𝑓′ _{1 = − 1 + 1} −2 _{= −}1 4 , 𝑓 1 = 1 2  𝑥 = 𝑎 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′ _{𝑎 𝑥 − 𝑎} 𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1) 𝑦 − 1₂= −1₄ (𝑥 − 1) ∴ 𝑦 = −𝑥₄+3₄ 1 3 𝑥 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 접선 𝑎𝑡 𝑥 =1 𝑓(3) 𝑓(1)

6 8) 두 함수 𝑓 𝑥 와 𝑔 𝑥 의 곱의 미분이 다음과 같음을 증명하라 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ _{= 𝑓}′ _{𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔}′ _𝑥  𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 라 하면, (𝑓 𝑥 𝑔(𝑥))′ = 𝐹′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝐹 𝑥+ℎ −𝐹 𝑥 ℎ = limℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ 분자에 𝑓 𝑥 + ℎ 𝑔 𝑥 를 빼고 더하면 (𝑓 𝑥 𝑔(𝑥))′ = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 +𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ℎ = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ {𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 }+𝑔 𝑥 {𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 } ℎ = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ {𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 } ℎ + limℎ→0 𝑔 𝑥 {𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 } ℎ = 𝑓 𝑥 𝑔 ′ _{𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓}′ _𝑥 𝑔 ′ _{𝑥 𝑓}′ _𝑥

 함수 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 의 우변을 전개하면, 𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 이므로 이 함수의 도함수는 𝑦′ _{= 4𝑥}2_{+ 4𝑥 + 1} ′ _{= 8𝑥 + 4 = 4 2𝑥 + 1}  그러나 주어진 식을 일일이 전개하지 않고 직접 도함수를 구할 수 있는 방법 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 _{에서 𝑢 = 2𝑥 + 1 로 놓으면 𝑦 = 𝑢}2 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 _{는 𝑢 = 2𝑥 + 1 과 𝑦 = 𝑢}2 _{의 합성함수}  그러므로, 𝑦 = 𝑢2 _{에서 𝑦를 𝑢 로 미분하고, 𝑢 = 2𝑥 + 1 에서 𝑢 를 𝑥 로 미분하면,}

𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 2𝑢, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑢 · 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑢 · 2 = 4(2𝑥 + 1)  합성함수의 미분이 필요한 경우 𝑦 = (2𝑥 + 1)4 𝑢 = 2𝑥 + 1 로 놓으면 𝑦 = 𝑢4 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 4𝑢3, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢· 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 4𝑢3 · 2 = 8 2𝑥 + 1 3