생명과학을 위한 수학 2 중간고사 (2019년 10월 19일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [25점] 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하고 그 이유 를 설명하시오. (a) (6점) ∞ X n=1 2nn! nn (b) (6점) ∞ X n=2 1 n log n (c) (6점) ∞ X n=2 log 1 +1 n (d) (7점) ∞ X n=2 (−1)nlog n n2 문제 2. [10점] 급수 ∞ X n=1 an이 절대수렴할 때, 급수 ∞ X n=1 a2n의 수렴 여 부를 판정하고 그 근거를 제시하시오. 문제 3. [20점] 다음 급수가 수렴하는 x의 범위를 구하시오. (a) (10점) ∞ X n=1 n(n + 1)(n + 2) 3n x n (b) (10점) ∞ X n=1 x2n n2n 문제 4. [15점] 무한급수 ∞ X n=0 2 (2n + 1)32n+1 의 합을 구하시오. 문제 5. [15점] 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 함수 f (x) = Z x 0 2t 1 + t2dt의 원점에서의 테일러 급수 T f (x)와 수렴범위를 구하시오. (b) (10점) Z 0.1 0 f (x) dx의 근삿값을 오차가 10−8이하가 되도록 구 하고 그 근거를 제시하시오. 문제 6. [15점] 마트 과일코너에 원산지가 A, B, C인 수박들이 2 : 3 : 5 의 비율로 뒤섞여 있다. 수박의 당도가 10 이상일 확률은 원산지가 A, B, C인 경우, 각각 0.8, 0.7, 0.5 일 때 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 무작위로 선택한 수박의 당도가 10 이상일 확률을 구하시 오. (b) (10점) 선택한 수박의 당도가 10 이상이라면, 이 수박의 원산지 는 어느 곳일 가능성이 가장 높은지 말하고 그 근거를 밝히시오. h 연습용 여백 i 1
생명과학을 위한 수학 2 중간고사 학번: 이름: 문제 7. [20점] 실수 a, b 에 대하여 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f (x)가 다음과 같다. f (x) = ( ax(b − x) 0 < x < b 0 그밖의 경우 확률변수 Y = X 2 + 1에 대하여, 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) Y 의 확률밀도함수 g(y)를 구하시오 (b) (10점) 분산 V (Y ) = 1 20일 때, 실수 a, b를 구하시오. 문제 8. [20점] 항아리에 m 개의 빨간 공을 포함하여 총 N 개의 공이 들어있다. 이 중에서 n 개의 공을 꺼낼 때, 선택된 빨간 공의 개수를 X라 하자. (단, n ≥ m이고, N ≥ m + n이다.) (a) (5점) 확률 P(X = k) (0 ≤ k ≤ m)를 구하시오. (b) (5점) 기댓값 E(X)를 구하시오. (c) (10점) 빨간 공에 1부터 m까지 번호가 적혀있다면 선택된 빨간 공들에 적혀있는 번호의 합의 기댓값을 구하시오. 문제 9. [20점] 확률변수 X의 확률질량함수 p(n)이 다음과 같다. p(n) = c n3n, n = 1, 2, 3, . . . (a) (10점) 상수 c를 구하고, X의 확률생성함수 f (t)를 구하시오. (b) (10점) X의 평균과 분산을 구하시오. 문제 10. [10점] 관악교차로에서는 하루에 2번 꼴로 자동차 접촉사 고가 일어난다. 하루 동안의 자동차 접촉사고 횟수는 푸아송 분포를 따른다고 한다. 하루 동안 접촉사고가 3회 이상 발생할 확률을 푸아송 근사로 구하시오. 문제 11. [20점] 500명이 수강하는 한 수학 과목에서 한 학기 F를 받는 학생 수는 평균 10명인 이항분포를 따른다. 다음 물음에 대하여 답하시오. (답안은 간단한 수식으로 적어도 무방함.) (a) (5점) 이번 학기에 F를 받은 학생이 3명 이하일 확률을 구하시오. (b) (5점) (a)의 물음에 대하여 푸아송 근사를 이용하여 답하시오. (c) (10점) (a)의 물음에 대하여 정규분포로 근사하여 구하려고 한 다. Z를 표준 정규분포라고 할 때 이 확률값은 P(Z ≤ α)이다. α의 값을 구하시오. 문제 12. [10점] 확률변수 X가 모수가 p인 기하분포를 따를 때, 확률변 수 X의 적률생성함수 mX(t)를 구하고, 이를 이용하여 기댓값 E(X) 를 구하시오. (단, t < log 1 1 − p) h 연습용 여백 i 2
