일반수학 (14)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
5-6. 삼각함수의 응용 예제 1) 아래그림 (A) 처럼 어떤 물체에 힘 𝐹를 가하는 것은, 그림 (B)와 같은 수평분력 𝐹𝑥 와 수직분력 𝐹𝑦 를 동시에 가하는 것과 동일한 효과가 있다. 𝐹 = 14, θ = 60° 일 때, 𝐹𝑥 와 𝐹𝑦 를 구하라. cos θ = 𝐹𝑥 𝐹 𝐹 cos θ = 𝐹𝑥 ∴ 𝐹𝑥 = 14 · cos 60° = 14 ×12 = 7 sin θ = 𝐹𝐹𝑦 𝐹 sin θ = 𝐹𝑦 ∴ 𝐹𝑦 = 14 · sin 60° = 14 × 23 = 7 3
𝐹 = 14
θ물체
𝐹 = 14
𝐹
𝑥𝐹
𝑦 θ물체
5. 삼각함수예제 2) 아래 그림과 같이 질량 m (kg) 물체가 빗변의 길이ℓ인 직각삼각형 블록의 경사면을 따라 중력에 의해 아래까지 내려왔을 때, 경사면에 수평방향으로 작용한 힘을 구하라. (단, 중력가속도는 𝑔 (𝑚/𝑠2) , 블록과 경사면의 마찰력은 없는 것으로 가정) 힘의 정의 및 단위 힘의 정의: 힘의 단위: 물체의 자유낙하 질량 𝑚 𝑘𝑔 의 물체가 떨어지는 것은, 이 물체에 지구에서 당기는 중력이 작용하는 것임. 지구의 중력가속도는 9.8 (𝑚/𝑠2) 이며, 일반적으로 𝑔 로 표시함. ∴ 질량 𝑚 𝑘𝑔 의 물체의 낙하시, 이물체에 작용되는 힘은: 𝑚 (𝑘𝑔) × 𝑔 (𝑚/𝑠2) = 𝑚𝑔 (𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2) 뉴턴의 제2법칙 𝐹 = 𝑚 · 𝑎 , 물체의 질량에 가속도를 곱한것 θ mg (kg·m/𝑠2) 𝐹𝑥 𝐹𝑦 1𝑘𝑔의 물체에 1m/𝑠2의 가속도가 가해졌을 때, 물체에 가해진 힘은 1𝑁, 1𝑁 = 1𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2 ℓ θ m (kg) 𝐹𝑥
아래 그림에서 질량 𝑚 𝑘𝑔 의 물체가 떨어질 때, 이물체에 작용되는 힘: 중력 𝐹 = 𝑚𝑔 (𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2) 중력: 경사면에 수평으로 작용하는 힘 𝐹𝑥 와 경사면에 수직으로 작용하는 힘𝐹𝑦 의 합 삼각형 블록의 경사각: 𝜃 ∴ 경사면에 수평으로 작용하는 힘: 𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ cos 𝜃 = 𝑚𝑔 ∙ cos 𝜃 (𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2) θ mg (kg·m/𝑠2) 𝐹𝑥 𝐹𝑦 ℓ θ m (kg) 𝐹𝑥
5-7. 삼각함수의 성질 삼각함수는 주기함수
각 θ 와 θ + 2π의 삼각함수의 값은 같으므로,
sin θ = sin(θ + 2π) , cos θ = cos θ + 2π , tan θ = tan(θ + 2π) 그러므로, 모든 실수 𝑥 에 대하여 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑇 를 만족하는 함수 𝑓 𝑥 를 주기함수 (periodic function) 라 하고, 𝑇 를 함수의 주기라 한다. (단, 𝑇 는 0 이아닌 상수) ※ 일반적으로 함수 𝑓 𝑥 의 주기는 주기 중 최소의 양수를 의미함. 𝑦 = sin θ 𝑜𝑟 𝑦 = cos θ 의 주기: 2π(= 360°) 𝑦 = tan θ 의 주기: π(= 180°) 최대값과 최소값 𝑦 = sin θ 𝑜𝑟 𝑦 = cos θ 의 최대값은 1, 최소값은 -1. 𝑦 = tan θ 의 최대, 최소 값은 없음.
−1 ≤ sin θ ≤ 1, −1 ≤ cos θ ≤ 1, −∞ < tan θ < ∞
5-7. 삼각함수의 성질 (계속)
우함수 (even function)와 기함수(odd function)
𝑦 = sin θ 𝑜𝑟 𝑦 = tan θ 는 원점에 대해 대칭이므로 기함수. 기함수: 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 𝑦 = cos θ 는 𝑦 축에 대칭이므로 우함수 우함수: 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝐴sin ω𝑥, (𝐴 ≠ 0) 의 진폭과 주기 진폭: 𝐴 최대값: 𝐴 , 최소값: − 𝐴 주기: 𝑇 = 2πω (= 360°ω ) 주파수: 𝑓 = 𝑇1 =2πω (=360°ω ) 각속도: ω 5. 삼각함수
예제) 𝑦 = 2sin 2𝑥 의 진폭, 주기, 주파수, 각속도를 구하라. 진폭: 𝐴 = 2 최고값: 2, 최소값: -2 각속도: 𝜔 = 2 주기(T): 2π ω = 2π 2 = 𝜋 주파수(f): 1 𝑇 = 1 π 2π동안 몇 개의 주기가 있는가? 주기수=𝑓 × 2π = 2π π = 2 4. 삼각함수 2π ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥
