우석대학교 에너지전기공학과

강의 (15)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

<중간시험 총정리> 1. 행렬 (matrix) 1-1. 행렬의 정의  수 또는 문자(수를 나타내는)를 괄호 안에 사각형의 형태로 배열한 것.  괄호 안의 수 또는 문자를 행렬의 원소(element) or 성분(component) 이라 함.  행렬의 가로 줄을 행(row), 세로 줄을 열(column) 이라 함.  행렬은 일반적으로 A, B, C, … 등의 고딕체 문자로 표기.

𝑨 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂ 제1행 제2행 제3행 제1열 제2열

𝑨 =

2 3

4 5

6 7

𝑎₁₁ 𝑎12 𝑎₂₂ 𝑎21 𝑎 예시) 3×2 행렬

𝑎

₁₁

행 열 <원소의 numbering>

𝑎

₁₁

= 2, 𝑎

₁₂

= 3

𝑎

₂₁

= 4, 𝑎

₂₂

= 5

𝑎

₃₁

= 6, 𝑎

₃₂

= 7

 행렬의 일반적인 표기 ※ note: 원소의 번호를 알면, 그 원소의 위치를 알 수 있다.  한 행으로 구성된 행렬: 행 행렬 또는 행 벡터  한 열로 구성된 행렬: 열 행렬 또는 열 벡터

𝑩 =

𝑏

₁₁

𝑏

₂₁

𝑏

₃₁

𝑨 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

… 𝑎

_1𝑛

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

… 𝑎

_2𝑛

.

.

.

𝑎

_𝑚1

.

.

.

𝑎

_𝑚2

…

.

.

.

𝑎

𝑚𝑛 제1행 제2행 제m행 제1열 제2열 (𝑚 × 𝑛 행렬) 제n열

𝑎

_𝑚𝑛

행 열 <원소의 numbering>

𝑨 = 𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₁₃

𝑨 = 1 3 4

𝑩 =

2

5

10

예제1) 행렬 에서 다음을 각각 구하라. (1-1) (1-2) (1-3) 예제2) 아래 행렬의 꼴을 각각 표시하라 (2-1) (2-2) (2-3) (2-4)

𝑨 =

2 3

4 5

6 7

𝑩 = 2 4 6

3 5 7

𝑪 =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

𝑫 =

𝑑

₁₁

𝑑

₂₁

𝑑

₃₁

𝑬 = 𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₁₃ 행: 2 & 열: 3

𝑩

_2×3 행: 3 & 열: 3

𝑪

_3×3 행: 3 & 열: 1

𝑫

_3×1 행: 1 & 열: 3

𝑬

_1×3

𝑎

₁₂

=

3

𝑎

₂₂

=

₅

𝑎

₃₁

=

6

1-2. 행렬의 상등  두 행렬 A, B 가 상등을 만족하는 조건 (1) 두 행렬이 같은 꼴 (즉, 두 행렬의 행과 열의 수가 각각 같아야 함) 

𝑨 = 𝑎

_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛}

& 𝑩 = 𝑏

_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} (2) 두 행렬의 대응원소가 일치 

𝑎

_𝑖𝑗

= 𝑏

_𝑖𝑗 예시) 다음의 각 행렬이 상등이 되도록

𝑥

와

𝑦

의 값을 구하라

𝐴 =

_{𝑦 − 3 , B =}

1 𝑥

1 𝑦 − 2

3𝑥 − 2 − 3



𝐴 = 𝐵

1 𝑥

𝑦 − 3 =

_{3𝑥 − 2 − 3}

1 𝑦 − 2



𝑥 = 𝑦 − 2



𝑦 = 3𝑥 − 2

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑥 = 2 & 𝑦 = 4

1-3. 특수행렬

(1) 정방행렬 (square matrix): 행렬의 행과 열의 수가 같은 행렬 ( 𝑚차 정방행렬: 𝑚 × 𝑚 )  주 대각선(점선): 정방행렬의 첫 원소부터 마지막 원소를 대각선으로 연결한 선.

 주 대각 원소(principal diagonal element): 주 대각선상에 위치한 원소.

(2) 대칭행렬 (symmetric matrix): 주 대각선을 중심으로 대칭인 정방행렬.

 대각행렬 (diagonal matrix): 주대각 원소를 제외한 모든 원소가 0인 정방행렬.

 단위행렬 (identity or unit matrix): 대각행렬에서 주대각 원소가 1인 정방행렬, I 로 표기 함. <4차 대칭행렬> <3차 대각행렬> <3차 단위행렬> (3) 삼각행렬 (triangular matrix); 주대각 원소의 위 또는 아래의 모든 원소가 0인 정방행렬. <3차 삼각행렬> <행렬

𝑩

는 삼각행렬인가 ?> (4) 영행렬 (null matrix): 행렬의 모든 원소가 0인 행렬.

𝑨 =

1 4 5 0

4 2 6 0

5 6 3 3

0 0 3 7

𝑨 =

2 0 0

0 1 0

0 0 1

𝑰 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

𝑨 =

𝑎

₁₁

0

0

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

0

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

𝑎

₃₃

𝑩 = 1 3

0 2

2차 삼각행렬

1-4. 전치행렬 (transpose matrix) (1) 행렬

𝑨

에서 행과 열을 바꾼 행렬:

𝑎

_𝑖𝑗

𝑎

_𝑗𝑖 (2) 행렬

𝑨

의 전치행렬의 표시:

𝑨

𝑻 (3) 행렬

𝑨

의 전치행렬 구하는 방법  행렬

𝑨

의 첫째 열(행)을 기준 열(행)로 하여 첫째 행(열)에 위치시킴.  둘째 열(행)을 같은 방법으로 둘째 행(열)에 위치.  나머지 모든 열(행)도 같은 방법으로 순차적으로 행(열)으로 위치시킴



𝑨

와

𝑨

𝑻 가 같은 행렬 ※

𝑨

와

𝑨

𝑻 가 같은 행렬: 대칭행렬 (즉,

𝑎

_𝑖𝑗

= 𝑎

_𝑗𝑖 )

𝑨 =

_𝑎

𝑎

11

𝑎

12

𝑎

13 21

𝑎

22

𝑎

23

𝑨

𝑻

₌

𝑎

₁₁

𝑎

₂₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃ 제1행 제2행 제3행 제1열 제2열

𝑨

_2×3

𝑨

𝑻 3×2

𝑨 =

2 1 0

0 2 −1

−1 0 1

𝑨

𝑻

₌

0 2 −1

_{2 1 0}

−1 0 1

𝑎

𝑖𝑗

= 𝑎

𝑗𝑖

1-5. 행렬의 연산 1-5-1. 행렬의 합과 차 (1) 두 행렬

𝑨, 𝑩

가 같은 꼴일 때 (즉, 두 행렬의 행과 열이 같을 때), (2) 두 행렬의 대응원소를 더하거나 뺄 수 있으며, A ± B 로 표시함. 예제) 다음 행렬 중 행렬의 합과 차가 가능한 조합은? 

𝑩 = 1 3

2 0

,

𝑨 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

,

𝑫 =

_𝑑

𝑑

11

𝑑

12

𝑑

13 21

𝑑

22

𝑑

23

𝑪 =

2 1

3 5

4 7

,

𝑨

_3×2

𝑩

_2×2

𝑪

_3×2

𝑫

_2×3

𝑨 ± 𝑪 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

𝑎

₃₁

𝑎

₃₂

±

2 1

3 5

4 7

=

𝑎

₁₁

± 2 𝑎

₁₂

± 1

𝑎

₂₁

± 3 𝑎

₂₂

± 5

𝑎

₃₁

± 4 𝑎

₃₂

± 7

행렬

𝑨

와

𝑪

가 같은 꼴이므로, 합과 차가 가능한 조합

1-5-2. 행렬의 곱 (1) 두 행렬

𝑨

와

𝑩

의 곱

𝑨𝑩

는

𝑨

의 열과

𝑩

의 행의 수가 같은 경우에 만 정의 됨. (2) 즉, 행렬

𝑨(𝑚 × 𝑛)

와

𝑩(𝑛 × 𝑝)

의 곱은

𝑨𝑩(𝑚 × 𝑝)

행렬이 된다. 

𝑨

의 열 =

𝑩

의 행 =

𝑛

(3) 행렬 곱의 순서가 바뀌면 일반적으로 바뀐 행렬의 곱은 정의되지 않음. 

𝑩

의 열

≠

𝑨

의 행:

𝑝 ≠ 𝑚

 예외 행렬의 곱에서 바뀐 행렬의 곱이 정의되는 경우: 곱의 결과는 같지않음 (즉,

𝑨𝑩 ≠ 𝑩𝑨

) 1) 행렬

𝑨

의 행과

𝑩

의 열이 같음과 동시에

𝑨

의 열과

𝑩

의 행이 같은 경우. 2) 행렬

𝑪

와

𝑫

가 같은 차수의 정방행렬: 이 경우도 곱의 결과는 같지않음 (즉,

𝑪𝑫 ≠ 𝑫𝑪

)

𝑨

_𝑚×𝑛

𝑩

_𝑛×𝑝 행 열 행 열

= 𝑨𝑩

_𝑚×𝑝

𝑩

_𝑛×𝑝

𝑨

_𝑚×𝑛 행 열 행 열

=

행 열

𝑪

_5×5

𝑫

_5×5 행 열 행 열

= 𝑪𝑫

_5×5 행 열

𝑫

_5×5

𝑪

_5×5 행 열 행 열

= 𝑫𝑪

_5×5 행 열

?

𝑨

_4×2

𝑩

_2×4 행 열 행 열

= 𝑨𝑩

_4×4 행 열

𝑩

행 2×4열

𝑨

4×2행 열

= 𝑩𝑨

행 열 2×2

 두 행렬

𝑨

와

𝑩

의 곱

𝑨𝑩

를 구하는 방법. (step 1) 두 행렬의 곱

𝑨𝑩

가 정의 되는 지 Check!! (step 2) 행렬

𝑨

와

𝑩

를 곱한다:

𝑨𝑩 = 𝑪

1) 행렬

𝑨

에서 첫째 행의 각 원소와 행렬

𝑩

의 각 열에 위치한 원소들을 각각 곱한다. 2) 위에서 구한 원소들이 행렬

𝑪

의 첫째 행에 위치하는 원소가 된다. (step 3) 행렬

𝑨

의 둘째 행의 원소로 (Step 2)의 과정을 반복해서 행렬

𝑪

의 둘째 행의 모든 원소를 구함.

𝑨𝑩 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₃₃

=

𝑐

₁₁

𝑐

₁₂

𝑐

₁₃

= 𝑪

𝑎

₁₁

𝑏

₁₁

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₂₁

𝑎

₁₁

𝑏

₁₂

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₂₂

𝑎

₁₁

𝑏

₁₃

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₃₃

𝐶

₁₁

𝐶

₁₂

𝐶

13

𝑨𝑩 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

𝑏

₁₁

𝑏

₁₂

𝑏

₁₃

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₂₃

=

𝑐

₁₁

𝑐

₁₂

𝑐

₁₃

𝑐

₂₁

𝑐

₂₂

𝑐

₂₃

= 𝑪

𝑎

₂₁

𝑏

₁₁

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₂₁

𝑎

₂₁

𝑏

₁₂

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₂₂

𝑎

₂₁

𝑏

₁₃

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₂₃

𝐶

₂₁

𝐶

23

𝐶

₂₂

예제1) 다음행렬의 곱

𝑨𝑩

와

𝑩𝑨

를 구하라.  행렬

𝑨

와

𝑩

의 꼴을 검토  행렬

𝑨𝑩

와

𝑩𝑨

가 존재하는지 검토  행렬

𝑩𝑨

𝑨 = 1 2 − 1

0 1 2

𝑩 = 0 2

_{−1 1}

𝑨 = 1 2 − 1

0 1 2

= 𝑨

2×3

&

𝑩 = 0 2

−1 1

= 𝑩

2×2

𝑨𝑩 = 𝑨

_2×3

𝑩

_2×2

=

𝑩𝑨 = 0 2

−1 1

1 2 − 1

0 1 2

= 0 × 1 + 2 × 0 0 × 2 + 2 × 1 0 × −1 + 2 × 2

−1 × 1 + 1 × 0 −1 × 2 + 1 × 1 −1 × −1 + 1 × 2

= 0 2 4

−1 − 1 3

2×3

&

𝑩𝑨 = 𝑩

_2×2

𝑨

_2×3

=

정의되지 않음

𝑩𝑨

_2×3

2. 행렬식 (determinant) 2-1. 행렬식의 정의  행렬식은 반드시 행과 열의 수가 같은 정방행렬에서 만 정의됨. 

𝑛 × 𝑛

인 정방행렬에 대한 행렬식을

𝑛

차 행렬식이라 함.  행렬식과 행렬을 구분하기 위하여 원소집합의 양쪽에 두 개의 수직선“ ”의 기호로 표시.  행렬 A의 행렬식은

𝒅𝒆𝒕 𝑨

또는

𝑨

로 표시함.  행렬식

𝒅𝒆𝒕 𝑨

은 행렬 A의 함수  함수의 개념 (

𝑦

는

𝑥

의 함수 ) (정방행렬에 대한 행렬식은 반드시 하나 존재함) 

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

_𝑎

𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22 2차 행렬식 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂ 정방행렬 행렬식 𝑥0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂

2-2. 행렬식의 전개  행렬식의 전개방법  사러스 (Sarrus) 방법: 2, 3차 행렬식에 적용 가능 (4차 이상은 적용 불가능)  라플라스 전개법 (Laplace method) : 3차 이상 고차 행렬식  기본 행연산: 행렬식의 특성을 활용하여 주어진 행렬식을 단순화 또는 축소시킴. 2-2-1. 사러스(Sarrus) 방법  시계 방향의 곱에는 (+), 반 시계 방향의 곱에는 (-)를 붙여 계산 함. (1) 사러스 방법에 의한 2차 행렬식 전개 (2) 사러스에 의한 3차 행렬식의 전개

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

_𝑎

𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑎

21 (+) (-)

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

22₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

= 𝑎

11

𝑎

22

𝑎

33

+ 𝑎

12

𝑎

23

𝑎

31

+ 𝑎

13

𝑎

32

𝑎

21

−𝑎

₁₃

𝑎

₂₂

𝑎

₃₁

− 𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₃

− 𝑎

₁₁

𝑎

₃₂

𝑎

₂₃ (+) (+) (-) (-)

예제) 다음 행렬

𝑨

와

𝑩

의 행렬식을 사러스 방법으로 각각 구하라. (1) 행렬

𝑨

의 행렬식 (2) 행렬

𝑩

의 행렬식 

𝑨 = 1 −1

3 2

& 𝑩 =

1

0 −3

2 3 4

−1 5 −2



𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 1 −1

3 2

= 1 × 2) − (−1 × 3 = 2 + 3 = 5



𝒅𝒆𝒕 𝑩 =

1

0 −3

2 3 4

−1 5 −2

= 1 × 3 × −2 + 0 × 4 × −1 + (−3) × 2 × 5

− −3 × 3 × −1 + 0 × 2 × −2 + 1 × 5 × 4

= −6 + 0 − 30 − 9 + 0 + 20 = −36 − 29 = −65

2-2-4. 라플라스 전개법  소 행렬식 (minor determinant)  행렬식에서

𝑎

_𝑖𝑗 가 속하는 행과 열을 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식.  이를 소 행렬식이라 하고

𝑀

_𝑖𝑗 로 표기함. 예시) 소 행렬식

𝑀

₁₂

:

행렬식에서

𝑎

₁₂ 가 속한 행과 열을 제외한 나머지 원소로 구성된 행렬식  𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₃₁ 𝑎𝑎22₃₂ 𝑎₁₃ 𝑎23 𝑎₃₃ 𝑀12 = 𝑎₂₁ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₃ = (𝑎21𝑎33− 𝑎23𝑎31)  여인수

𝐴

_𝑖𝑗

 소 행렬식

𝑀

_𝑖𝑗 에 부호

(−1)

𝑖+𝑗 를 곱한 것.

𝐴

_𝑖𝑗

= (−1)

𝑖+𝑗

_{∙ 𝑀}

𝑖𝑗

∴

원소의 행 번호와 열 번호의 합인 (𝑖 + 𝑗)가 짝수이면 (+), 홀수이면 (-) 가 된다. 예시) 여인수

𝐴

₁₂ 

𝐴

₁₂

= (−1)

1+2

∙ 𝑀

₁₂

= −

𝑎

_𝑎

21

𝑎

23 31

𝑎

33

𝐴

12

= −(𝑎

21

𝑎

33

− 𝑎

23

𝑎

31

)

(+) (-)

예제) 다음 행렬식에서 각각의 여인수

(𝐴

_𝑖𝑗

= −1

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗

)

를 구하라. (1) 여인수

𝐴

₁₁

= (−1)

1+1

∙ 𝑀

₁₁

= + 𝑀

₁₁ (2) 여인수

𝐴

₂₃

= (−1)

2+3

∙ 𝑀

₂₃

= − 𝑀

₂₃

 𝐴

₁₁

= + 𝑀

₁₁

= + 0 2

4 −1

= 0 × −1 − 2 × 4 = −8



소행렬식

𝑀

₁₁:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

1 −2 1

−1 0 2

3 4 −1

𝑀

₁₁

= 0 2

4 −1



𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

1 −2 1

−1 0 2

3 4 −1

 𝐴

₂₃

= − 𝑀

₂₃

= − 1 −2

3 4

= −(1 × 4 − −2 × 3) = −10



소행렬식

𝑀

₂₃:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

1 −2 1

−1 0 2

3 4 −1

𝑀

₂₃

= 1 −2

3 4

 라플라스 전개  행렬식은 임의의 한 행 (또는 열)에 속한 각 원소

𝑎

_𝑖𝑗 와 그 여인수

𝐴

_𝑖𝑗 의 곱으로 나타낼 수 있음.  제 1행에 관한 전개:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎

₁₁

𝐴

₁₁

+ 𝑎

₁₂

𝐴

₁₂

+ 𝑎

₁₃

𝐴

₁₃

+ … + 𝑎

_1𝑛

𝐴

_1𝑛 •

𝐴

_𝑖𝑗

=(−1)

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗

𝐴

₁₁

= & 𝐴

₁₂

=

∴ 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎

₁₁

𝑀

₁₁

− 𝑎

₁₂

𝑀

₁₂

+ 𝑎

₁₃

𝑀

₁₃

+ … + 𝑎

_1𝑛

𝑀

_1𝑛  제 𝑖 행에 관한 전개:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎

_𝑖1

𝐴

_𝑖1

+ 𝑎

_𝑖2

𝐴

_𝑖2

+ 𝑎

_𝑖3

𝐴

_𝑖3

+ … + 𝑎

_𝑖𝑛

𝐴

_𝑖𝑛  제 1열에 관한 전개:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎

₁₁

𝐴

₁₁

+ 𝑎

₂₁

𝐴

₂₁

+ 𝑎

₃₁

𝐴

₃₁

+ … + 𝑎

_𝑚1

𝐴

_𝑚1  제 𝑖 열에 관한 전개:

𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝑎

_1𝑖

𝐴

_1𝑖

+ 𝑎

_2𝑖

𝐴

_2𝑖

+ 𝑎

_3𝑖

𝐴

_3𝑖

+ … + 𝑎

_𝑚𝑖

𝐴

_𝑚𝑖

𝒅𝒆𝒕(𝑨) =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

… 𝑎

_1𝑛

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

… 𝑎

_2𝑛

.

𝑎

_𝑖1

.

𝑎

_𝑚1

.

𝑎

_𝑖2

…

.

𝑎

_𝑚2

…

.

𝑎

_𝑖𝑛

.

𝑎

_𝑚𝑛

(−1)

1+1

∙ 𝑀

₁₁

= +𝑀

₁₁ 제

1

행 제

𝑖

행

(−1)

1+2

∙ 𝑀

₁₂

= −𝑀

₁₂

예제) 행렬

𝑨

의 행렬식의 값을 제1행과 제2열에 관한 라플라스 전개로 구하라. (1) 제 1행에 관한 전개 (2) 제 2열에 관한 전개 ※ 라플라스 전개에서 0의 원소를 많이 포함한 행 또는 열을 선택하면 계산시간 단축 !!. 

𝑨 =

2 −2 1

1 0

2

2 0 −1

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

2 −2 1

1 0

2

2 0 −1



𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

2 −2 1

1 0

2

2 0 −1

= 𝑎

₁₁

𝐴

₁₁

+ 𝑎

₁₂

𝐴

₁₂

+ 𝑎

₁₃

𝐴

₁₃

= 𝑎

₁₁

𝑀

₁₁

− 𝑎

₁₂

𝑀

₁₂

+ 𝑎

₁₃

𝑀

₁₃

= 2 0 2

0 −1

− −2 1 2

2 −1

+ 1 1 0

2 0

= 2 × 0 + 2 × −1 − 4 + 1 × 0 = −10



𝐴

_𝑖𝑗

= (−1)

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗 

𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

2 −2 1

1 0

2

2 0 −1

= 𝑎

₁₂

𝐴

₁₂

+ 𝑎

₂₂

𝐴

₂₂

+ 𝑎

₃₂

𝐴

₃₂

= − 𝑎

₁₂

𝑀

₁₂

+ 𝑎

₂₂

𝑀

₂₂

− 𝑎

₃₂

𝑀

₃₂

=−(−2) 1 2

2 −1

+ 0 × 2 1

2 −1

+ 0 × 2 1

1 2

=2× −1 − 4 = −10

0

0

2-2-5. 기본 행 연산  행렬식의 성질을 이용하여 주어진 행렬식을 단순화 또는 축소시키는 방법.  행렬식의 성질 (1) 행렬

𝑨

와 전치행렬

𝑨

𝑻의 행렬식은 같다. (2) 행렬식 A 의 두 행(또는 열)이 일치하거나 비례하면, 그 행렬식의 값은

0

. (3) 행렬식 A 의 한 행(또는 열)의 모든 원소가

0

이면, 행렬식의 값은

0

. 

𝑑𝑒𝑡 𝐴 =

1 1

2

3

2

3

3

0

1

= 0

𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑡 𝐵 =

1 2

2

3

4

0

3

6

1

= 0



𝑨 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

𝑑𝑒𝑡(𝐴) =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑎

21 

𝑨

𝑻

=

𝑎

_𝑎

11

𝑎

21 12

𝑎

22

𝑑𝑒𝑡 𝐴

𝑇

₌

𝑎

11

𝑎

21

𝑎

₁₂

𝑎

₂₂

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

21

𝑎

12 

𝑑𝑒𝑡 𝐴 =

𝑎

₁₁

0

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

0

₀

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

= 0

(4) 대각행렬 및 삼각행렬의 행렬식의 값은 주대각 원소의 곱과 같다. (5) 행렬식의 한 행(또는 열)에

𝑘

배 한 것은 행렬식의 값에

𝑘

배 한 것과 같다. (6) 행렬식의 두 행(또는 열)을 서로 바꾸면, 바꾼 행렬식의 값은 -1을 곱한 것과 같다. (7) 행렬식의 한 행(또는 열)에

𝑘

배 한 것을 다른 행에 더해도 행렬식의 값은 변치 않는다. 

𝑑𝑒𝑡 𝐴 =

𝑎

₁₁

0

0

0

𝑎

₂₂

0

0

0

𝑎

₃₃

= 𝑎

11

𝑎

22

𝑎

33

𝑜𝑟

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

0

0

𝑎

₂₂

0

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

= 𝑎

11

𝑎

22

𝑎

33 

𝑎

₁₁

𝑘

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑘

_𝑘

𝑎

_𝑎

22₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

=

𝑘

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

22₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

𝑘

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

=

𝑘

_𝑘

_𝑎

𝑎

11₂₁

_𝑘

𝑘

_𝑎

𝑎

12₂₂ 

4

2

3

5

1

0

0

1

1

= −

2

1

4

0

3

5

0

1

1



𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

22₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

=

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

+ 𝑘𝑎

₁₁

𝑎

₃₁

𝑎

₂₂

+𝑘𝑎

₁₂

𝑎

₃₂

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

+ 𝑘𝑎

₁₃

𝑎

₃₃

예시) 행렬식

𝑨

를 사러스, 라플라스 및 기본행연산을 사용하여 각각 구하고, 이들을 비교하라.  사러스 전개  위의 행렬식

𝑨

를 제2행에 대해 라플라스 전개

(𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝐴

_𝑖𝑗

= −1

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗

)

 기본행 연산: 행렬식

𝑨

의 제1열을 제3열에 더한 행렬식  위의 행렬식

𝑩

를 제2행에 대해 라플라스 전개

(𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝐴

_𝑖𝑗

= −1

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗

)



𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

2 1 2

1 0 −1

2 −4 3

= 0 − 2 − 8 − 0 + 3 + 8 = −21



𝒅𝒆𝒕 𝑩 =

2 1

2

+ 2

1 0 −1

+ 1

2 −4 3

+ 2

=

2 1

1 0

4

0

2 −4

5

= 0 + 0 − 16 − 0 + 5 + 0 = −21

𝒅𝒆𝒕 𝑩 =

2 1

1 0

4

0

2 −4

5

= 𝑎

₂₁

𝐴

₂₁

+ 𝑎

₂₂

𝐴

₂₂

+ 𝑎

₂₃

𝐴

₂₃

= −𝑎

₂₁

𝑀

₂₁

+ 𝑎

₂₂

𝑀

₂₂

− 𝑎

₂₃

𝑀

₂₃

= −𝑀

₂₁

= − 1 4

−4 5

= −(5 − −16) = −21



𝒅𝒆𝒕 𝑨 =

2 1 2

1 0 −1

2 −4 3

= 𝑎

₂₁

𝐴

₂₁

+ 𝑎

₂₂

𝐴

₂₂

+ 𝑎

₂₃

𝐴

₂₃

= −𝑎

₂₁

𝑀

₂₁

+ 𝑎

₂₂

𝑀

₂₂

− 𝑎

₂₃

𝑀

₂₃

= −𝑀

₂₁

− −1 × 𝑀

₂₃

= − 1 2

−4 3

+ 2 1

2 −4

= −11 − 10 = −21

0 0 0

3-2. 행렬과 행렬식으로의 변환  2원1차 연립방정식을 행렬로 변환

𝑎

₁₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₁₂

𝑥

₂

= 𝑏

₁

𝑎

₂₁

𝑥

₂

+ 𝑎

₂₂

𝑥

₂

= 𝑏

₂ 3-3. 크라머의 공식 (Cramers rule)  위의 식에서 계수 행렬

𝑨

의 행렬식을 구하고, 이를

𝐷

라 하면  계수행렬 A 의 제1열을 열 행렬 B 로 대치한 행렬의 행렬식을

𝐷

₁ 이라 하면,  계수행렬 A 의 제2열을 열 행렬 B 로 대치한 행렬의 행렬식을

𝐷

₂ 라 하면,  연립방정식의 해:

𝑥

₁

=

𝐷1 𝐷

& 𝑥

2

=

𝐷₂ 𝐷

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

_{22 2×2}

𝑥

𝑥

1_{2 2×1}

=

_𝑏

𝑏

1_{2 2×1} 

𝐷

₁

=

𝑏

1

𝑎

12

𝑏

₂

𝑎

₂₂

= 𝑏

1

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑏

2 

𝐷

₂

=

𝑎

11

𝑏

1

𝑎

₂₁

𝑏

₂

= 𝑎

11

𝑏

2

− 𝑎

21

𝑏

1 

𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝐷 =

𝑎

_𝑎

11

𝑎

12 21

𝑎

22

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑎

21

𝑎

₁₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₁₂

𝑥

₂

𝑎

₂₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₂₂

𝑥

_{2 2×1}

=

𝑏

𝑏

1_{2 2×1}

3-4-1. 역행렬의 정의  정방행렬

𝐴

에 대해

𝐴𝑋 = 𝐼

를 만족시키는 행렬

𝑋

를 역행렬 이라 함  정방행렬

𝐴

의 역행렬:

𝐴

−1 로 표기 

𝐼

는 단위행렬: 주대각원소가 1 이고, 나머지 원소는 0 인 행렬.  역행렬:

𝐴

−1

=

1 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)

∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

3-4-2. 행렬

𝐴

의 역행렬

𝐴

−1 구하는 방법 (step 1) 행렬

𝐴

의 수반행렬

𝑎𝑑𝑗(𝐴)

을 구한다.  수반행렬: 행렬

𝐴

의 여인수

𝐴

_𝑖𝑗 집합의 행렬을 전치행렬로 바꾼것  여인수: 𝐴_𝑖𝑗

= (−1)

𝑖+𝑗

∙ 𝑀

_𝑖𝑗 

𝑎𝑑𝑗 𝐴 =

𝐴

₁₁

𝐴

₁₂

𝐴

₁₃

𝐴

₂₁

𝐴

₂₂

𝐴

₂₃

𝐴

₃₁

𝐴

₃₂

𝐴

₃₃ 𝑇

=

𝐴

₁₁

𝐴

₂₁

𝐴

₃₁

𝐴

₁₂

𝐴

₂₂

𝐴

₃₂

𝐴

₁₃

𝐴

₂₃

𝐴

₃₃ (step 2) 행렬

𝐴

의 행렬식을 구한다. (step 3)

𝐹𝑟𝑜𝑚

(1)

&

(2),

𝐴

−1

=

1 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)

∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

4-1. 벡터의 개념 4-1-2. 단위벡터와 기본벡터  단위벡터 (unit vector)  벡터

𝐴

와 방향이 같고 크기가 1인 벡터를

𝑎

라 하면,

𝐴 = 𝐴𝑎



𝑎

를 벡터

𝐴

의 단위벡터라 한다.  기본벡터 (fundamental vector)  특히 좌표 계에서

𝑥, 𝑦, 𝑧

각 축의 양의 방향으로 크기가 1인 단위벡터:

𝑖 , 𝑗 , 𝑘

로 표시.  서로의 각도가

90

𝑜 의 관계를 이루고 있음. 𝑖 𝑗 𝑦 𝑥

𝐴 𝐴

_𝑥

, 𝐴

_𝑦

, 𝐴

_𝑧

𝒂

0 𝑘 𝐴_𝑥 𝐴𝑦 𝐴_𝑧 𝑎_𝑥 𝑎_𝑧 𝑎𝑦 𝑧 단위벡터 𝑖 , 𝑗 , 𝑘

4-2. 벡터의 합과 차  공간좌표의 두 점

𝐴(𝐴

_𝑥

, 𝐴

_𝑦

, 𝐴

_𝑧

)

와

𝐵 𝐵

_𝑥

, 𝐵

_𝑦

, 𝐵

_𝑧 에 대한 각각의 위치벡터를 구하면,

𝐴 = 𝐴

_𝑥

𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝑗 + 𝐴

_𝑧

𝑘 & 𝐵 = 𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘

 두 벡터

𝐴

와

𝐵

의 합과 차를 구하면,

𝐴 ± 𝐵 = (𝐴

_𝑥

𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝑗 + 𝐴

_𝑧

𝑘 ) ± (𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘 )

= (𝐴

_𝑥

± 𝐵

_𝑥

)𝑖 + (𝐴

_𝑦

±𝐵

_𝑦

)𝑗 + (𝐴

_𝑧

± 𝐵

_𝑧

)𝑘

4-3. 변위벡터  위치벡터: 좌표계에서 시점을 원점으로 취하는 벡터  변위벡터: 종점의 위치벡터에서 시점의 위치벡터를 뺀 차

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

좌표상에서 변위벡터는 시점을 원점으로 취하지 않으나, 변위벡터의 위치벡터는 원점을 시점으로 하는 벡터로 나타남. (즉, 좌표상에서 변위벡터를 원점으로 평행이동) 4 3 𝑦 𝑥 𝐵 0 𝐴 -2 3 -𝐴 𝐶 𝐶 𝑎

예제) 좌표 상의 한 점

𝐴(3, −2)

에서 점

𝐵(4, 3)

까지 직선으로 이동하였다. 이때 변위벡터

𝐶

와

𝐶

의 단위벡터를 구하라

.

 점

𝐴(3, −2)

와

𝐵(4, 3)

의 위치벡터를 구하면, 

𝐴 = 3𝑖 − 2𝑗



𝐵 = 4𝑖 + 3𝑗

 변위벡터

𝐶

는 종점의 위치벡터에서 시작점의 위치벡터를 뺀 차. 

𝐶 = 𝐵 − 𝐴 = 4𝑖 + 3𝑗 − 3𝑖 − 2𝑗 = 4 − 3 𝑖 + 3 + 2 𝑗 = 𝑖 + 5𝑗

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

좌표상에서 변위벡터는 시점을 원점으로 취하지 않으나, 변위벡터의 위치벡터는 원점을 시점으로 하는 벡터로 나타남.  벡터

𝐶

의 단위벡터

𝑎



𝐶 = 𝐶 ∙ 𝑎



𝐶 = 1

2

+ 5

2

= 26

∴

𝑎 =

𝐶 𝐶

=

𝑖 +5𝑗 26

=

𝑖 26

+

5𝑗 26 4 3 𝑦 𝑥 𝐵 0 𝐴 -2 3 -𝐴 𝐶 𝐶 𝑎 변위 (벡터량)