우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (7)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난주 강의 복습) 3-6. 극한값의 계산  극한값 계산의 기본형  확정형: 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수 일 때 (𝑔(𝑥) ≠ 0), 𝑥 의 정해진 값을 대입  불능형: 𝐶 0 형  부정형 (1) 0 0 형 - 분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 - 무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. (2) ∞ ∞ 형 - 분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. - 무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. (3) ∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞ 형 - 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산.

3. 함수의 극한과 연속 3-7. 함수의 연속  함수 𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−12−1 는 𝑥 → 1 일 때, 극한은 존재하지만, 𝑥 = 1 에서 𝑓(1) 은 정의되지 않음. ∴ 𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−12−1: lim 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓(1) ≠ 2 𝑥 = 1 에서 불연속 (discontinuous)  함수 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 은 𝑥 → 1 일 때, 극한이 존재하면서, 𝑥 = 1 을 포함한 모든 점에서 정의됨. ∴ _{𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1: lim} 𝑥→1𝑓(𝑥) = 2, 𝑓 1 = 2 𝑥 = 1 에서 연속 (continuous)  연속함수의 조건  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함.  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함.  𝑥 = 𝑎 에서의 극한값과 𝑓(𝑎) 가 같아야 함. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)  연속함수 (continuous function)  함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 가 연속함수의 조건을 만족하면, 𝑥 = 𝑎 에서 연속이라 하고,  모든 점 𝑥 에서 연속이면, 이 함수는 연속함수 라고 한다.

예제) 다음 함수의 주어진 값에서 연속성을 확인하라. 1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2_{, (𝑥 = 2)} 연속함수의 조건  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되어야 함: 𝑓 2 = 2(2)2_{= 8}  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)가 존재하여야 함: lim𝑥→2𝑓(𝑥) = lim𝑥→22𝑥 2 _{= 8}  극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) 와 𝑓(𝑎) 가 같아야 함: lim𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝑓 2 = 8 ※ 연속함수의 조건을 모두 만족하므로 𝑓 𝑥 는 𝑥 = 2 에서 연속. 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−22−4, (𝑥 = 2)  𝑥 = 𝑎 에서 극한값 lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) 는 존재함: lim𝑥→2𝑓(𝑥) = lim𝑥→2 𝑥2−4 𝑥−2 = lim𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2) 𝑥−2 = 4  𝑥 = 𝑎 에서 함수의 값 𝑓 𝑎 가 정의 되지 않음: 𝑓 2 = 0₀ ∴ 𝑓 𝑥 는 𝑥 = 2 에서 불연속.

3. 함수의 극한과 연속  연속함수의 기본성질 및 정리 요약 (1) 두 함수 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥)가 𝑥 = 𝑎 에서 연속이면, 다음의 각 함수도 𝑥 = 𝑎 에서 연속이다  𝑘𝑓 𝑥 (단, 𝑘 는 상수)  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)  𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)  𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) (단, 𝑔 𝑥 ≠ 0) 2) 최대값·최소값의 정리  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏] 에서 연속이면 𝑓 𝑥 는 그 구간에서 반드시 최소값과 최대값을 갖는다. 3) 중간값 정리  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏] 에서 연속이고 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏) 일 때, 𝑓 𝑎 와 𝑓 𝑏 사이의 임의의 값을 𝑘 라 하면, 𝑓 𝑥 = 𝑘 인 𝑐 가 개 구간 𝑎, 𝑏 안에 적어도 하나 존재한다.

3-8. 초월함수의 극한 3-8-1. 삼각함수의 극한  호도법 (Radian)  반지름 r인 원(그림 3-8.1) 에서 반지름과 같은 길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠𝐴𝑂𝐵 = 1 [𝑟𝑎𝑑] 1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°_{: 1 [𝑟𝑎𝑑]} ∴ 360° = 2π [𝑟𝑎𝑑] 부채꼴에서 호의 길이와 면적  중심각 𝜃 에서 호의 길이 [𝑙] 1 𝑟𝑎𝑑 일 때, 호의길이는 𝑟 이므로, 1: 𝑟 = θ: 𝑙

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

𝑂 𝐵 𝐴

𝑟

𝑟

60분법 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° 360° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 π 3π 2 2π (그림 3-8.1)

3. 함수의 극한과 연속  함수

𝑓 𝑥 =

sin 𝑥 𝑥 에서, 𝑥 → 0 일 때 sin 𝑥 𝑥 의 극한값은? (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 0 0 부정형 1

 lim

𝑥→0 sin 𝑥 𝑥

= 1

(단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) 의 증명  그림 (3-8.2) 에서 △𝑂𝐴𝐵 의 중심각 𝑥 는 0 < 𝑥 <𝜋₂ 이고,  𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟, 이 때 각 도형의 면적관계는  △𝑂𝐴𝐵 < 부채꼴 𝑂𝐴𝐵 < △𝑂𝐴𝑇 △𝑂𝐴𝐵 = 1₂𝑂𝐴 · 𝐵𝐻 =1₂𝑟 · 𝑟 sin 𝑥 = 1₂𝑟2_{sin 𝑥} 부채꼴 𝑂𝐴𝐵 =1₂𝑟2 𝑥 △𝑂𝐴𝑇 = 1₂𝑂𝐴 · 𝐴𝑇 = 1₂𝑟 · 𝑟 tan 𝑥 = 1₂𝑟2_{tan 𝑥} ∴ 1 2𝑟2sin 𝑥 < 1 2𝑟2 𝑥 < 1

2𝑟2tan 𝑥 sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥

 위 식을 sin 𝑥 로 나누고, 이 결과를 역수로 취하면, 1 > sin 𝑥_𝑥 > cos 𝑥

𝑂 𝐵 𝐴 (그림 3-8.2) 𝑥 𝑟 𝐻 𝑇 lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 (단, 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)

예제 1) 다음의 극한값을 구하라. 1) lim 𝑥→0 sin 2𝑥 2cos 𝑥 = sin 0 2 cos 0 = 0 2= 0 2) lim 𝑥→𝜋 cos 𝑥 cos 2𝑥 = cos 𝜋 cos 2𝜋 = −1 1 = −1 3) lim 𝑥→𝜋₂ 𝑥 2 sin 𝑥 = 𝜋 2 2 sin𝜋₂ = 𝜋 2 2 = 𝜋 4 4) lim 𝑥→0 3 sin 𝑥 = 3 sin 0 = 3 0 = ∞ 5) lim 𝑥→2𝜋 2 sin𝑥₄ sin 𝑥 = 2 sin𝜋₂ sin 2𝜋 = 2 0 = ∞ 6) lim 𝑥→𝜋₂ 5sin 𝑥 cos 𝑥 = 5 sin𝜋₂ cos𝜋₂ = 5 0 = ∞ 확정형 확정형 확정형 불능형 불능형 불능형

3. 함수의 극한과 연속 예제 2) 다음의 극한값을 구하라. 1) lim 𝑥→0 𝑥 sin 𝑥= 0 0 lim 𝑥→0 𝑥 sin 𝑥 = 2) lim 𝑥→0 sin 2𝑥 sin 𝑥 = 0 0 ∴ lim 𝑥→0 sin 2𝑥 sin 𝑥 = 3) lim 𝑥→0 tan 𝑥 𝑥 = 0 0

lim 𝑥→0 tan 𝑥 𝑥 = ※ Remember!! 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 cos 𝑥 = lim_𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 ·_𝑥→0lim 1 cos 𝑥 = 1

부정형 (1) ※ note: sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥

부정형 (1) 부정형 (1) ※ note: lim 𝑥→0 1 sin 𝑥 𝑥 =1 1= 1 lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑥 = 1 lim 𝑥→0 2sin 𝑥 · cos 𝑥