우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

6-1-2. 복소수의 표시 (복습)

 실수는 기하학적으로 일직선상의 한 점으로 표시되나, 복소수는 두 개의 실수로 구성되므로 일직 선상에 표시할 수 없음.

 복소평면(complex plan) or 가우스평면(Gauss plan)

 복소수는 실수를 가로축(𝑥축)으로 하는 실축과 허수를 세로축(𝑦축)으로 하는 허축의 직교좌표의 한 점으로 표시됨.  직교좌표에서 한 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 의 한 점으로 대응 됨. 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏

6-3. 복소수의 극형식 (복습) 6-3-1. 극형식 (polar form)  아래 복소평면에서 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 를 나타내는 점을 𝑃(𝑎, 𝑏)라 하고, A 의 절대값을 𝑟, A의 할 때 편각을 θ 라 할 때, cos θ = 𝑎_𝑟 𝑎 = 𝑟 cos θ sin θ = 𝑏_𝑟 𝑏 = 𝑟 sin θ 그러므로 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 𝑃(𝑟 cos θ , 𝑟 sin θ)가 되며, 복소수 A 는

_{A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos θ + 𝑖𝑟 sin θ = 𝑟(cos θ + 𝑖sin θ)}

 여기서 𝑟, θ 는 각각 복소수의 절대값(크기)과 편각이므로, 𝑟 = A = 𝑎2_{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 θ

6-4. 복소수의 표현방식  직교좌표형식: A = 𝑎 + 𝑏𝑖  삼각함수형식(극형식): A = A cos θ + 𝑖sin θ  극좌표형식: A = A θ  지수함수형식: A = A𝑒𝑖θ 6-4-1. 극좌표형식  복소수의 크기(길이) 𝑟 및 편각 θ 로 표현되는 형식: P(𝑟, θ)  편각 θ :  양의 각: 원점을 중심으로 반 시계 방향으로 회전하는 각  음의 각: 원점을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 각  복소평면 상에서 복소수 A 는 크기와 편각으로 표시됨. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A θ  극좌표형식의 공액복소수 A = A −θ 0 𝑃(𝑟,θ) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = A (크기) θ (편각) 𝑟 = A = 𝑎2 _{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎)

6-4-2. 지수함수 형식

 오일러공식(Euler formula)

 오일러공식의 정의: 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ}

 𝑒±𝑖θ _{의 크기: 𝑒}±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = cos}2_{θ ± sin}2_{θ = 1}

 오일러공식을 극좌표 형식으로 표시하면, 𝑒±𝑖θ _{= cos θ ± 𝑖 sin θ = 1 ± θ}  크기가 A 이고, 편각이 θ 인 복소수 A 의 지수함수형식은, A = A𝑒±𝑖θ 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1 θ} sinθ θ

예제 4-1) 허수단위 𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1 𝜋 2  삼각함수형식: 𝑖 = cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒𝑖𝜋2 = (cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2) 예제 4-2) 허수단위 −𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1 −𝜋₂  삼각함수형식: 𝑖 = cos(−𝜋₂) + 𝑖 sin(−𝜋₂)  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒−𝑖𝜋2 = cos(−𝜋 2) + 𝑖 sin(− 𝜋 2) 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1 θ} sinθ θ

예제 4-3) 다음 직각좌표 형식의 복소수를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라. 1) _{A = 1 − 𝑖 3} 크기: A = 12_{+ (− 3)}2_{= 2} θ = arg A = tan−1₍− 3 1 ) = − 𝜋 3  극좌표형식: A = 2 −𝜋₃

 삼각함수형식: A = A(cosθ + 𝑖 sin θ) = 2(cos(−𝜋₃) + 𝑖 sin(−𝜋₃))  지수함수 형식: A = A𝑒𝑖θ _{= 2𝑒}−𝜋₃𝑖 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1 θ} sinθ θ

6-4. 복소수의 표현방식 (복습)  직교좌표형식: A = 𝑎 + 𝑏𝑖

 삼각함수형식(극형식): A = A cos θ + 𝑖sin θ  극좌표형식: A = A θ

 지수함수형식: A = A𝑒𝑖θ _{= A(cos θ ± 𝑖 sin θ)}

복소평면 상에서 복소수 A 는 크기와 편각으로 표시됨. A : 0 𝑃(𝑟,θ) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = A (크기) θ (편각) 𝑟 = A = 𝑎2 _{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎)

예제 4-4) 다음복소수를 직각좌표 형식으로 표현하라. 1) A = 10 − 30° 10 − 30° = 10{cos −30° + 𝑖 sin(−30°)} = 10(₂3−1₂𝑖) = 5 3 − 5𝑖 2) A = 4𝑒𝜋3𝑖 = 4{cos 𝜋 3 + 𝑖 sin( 𝜋 3)} = 4( 1 2+ 3 2 𝑖) = 2 + 2 3𝑖

6-5. 복소수의 기하학적 연산 6-5-1. 복소수의 합과 차  복소수의 대수적인 합과 차  A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  기하학적인 복소수의 합과 차: 2차원 평면에서의 벡터의 합과 차를 적용함.  복소수의 합: 평행사변형 또는 삼각형법 A + B = C  복소수의 차 A − B = C A B C 𝑂 A B C 𝑂 −B

6-5-2. 복소수의 곱셈과 나눗셈  복소수의 대수적 곱셈

 A ∙ B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}

이를 삼각함수형식으로 나타내면,

 A ∙ B = A cos θ1+ 𝑖 sin θ1 ∙ B cos θ2 + 𝑖 sin θ2

= AB{cos θ1cos θ2 + sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2 𝑖 + sin θ1sin θ2 𝑖2}

= AB{ cos θ₁cos θ₂− sin θ₁sin θ₂ + sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ 𝑖}  복소수의 기하학적 곱셈

 삼각함수 덧셈정리를 활용

_{cos θ1cos θ2 − sin θ1sin θ2 = cos(θ1+θ2)} sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ = sin(θ₁+θ₂)  A ∙ B = AB{cos( 𝜃₁ + θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)} 𝑦 (허축) 𝜃1+ θ2 A ∙ B A B

 복소수의 대수적 나눗셈  A B

=

𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖

=

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

=

𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2_{−(𝑑𝑖)}2

=

(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2_+𝑑2 이를 삼각함수형식으로 나타내면,



A B

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ B cos θ₂+𝑖 sin θ₂

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B cos θ₂+𝑖 sin θ₂ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂)

=

A cos θ1+𝑖 sin θ1 (cos θ2−𝑖 sin θ2)

B (cos θ₂)2_{−(𝑖 sin θ2)}2

=

A cos θ₁+𝑖 sin θ₁ (cos θ₂−𝑖 sin θ₂) B

= A

B{cos θ1cos θ2+ sin θ1cos θ2− cos θ1sin θ2 𝑖 − sin θ1sin θ2 𝑖 2_}

 복소수의 기하학적 나눗셈

A _B

=

A_B

{(cos θ

₁

cos θ

₂

+ sin θ

₁

sin θ

₂

) + sin θ

₁

cos θ

₂

− cos θ

₁

sin θ

₂

𝑖}

 삼각함수 덧셈정리를 활용

cos θ₁cos θ₂ + sin θ₁sin θ₂ = cos(θ₁−θ₂) sin θ₁cos θ₂− cos θ₁sin θ₂ = sin(θ₁−θ₂)



A _B

=

A_B

{cos( 𝜃

₁

− θ

₂

) + 𝑖 sin(𝜃

₁

−θ

₂

)}

= AB (𝜃₁− θ₂) = AB𝑒𝑖(𝜃1−θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 𝜃1− θ2 A B A B

예제 5-1) 두 복소수 A = 20 60° , B = 5 + 5𝑖 의 합, 차, 곱셈과 나눗셈을 구하라. A = 20 60° = 20 cos 60° + 𝑖 sin 60° = 10 + 5 3𝑖 B = 5 + 5𝑖 = 5 2 45° 1) 복소수의 합과 차  A + B = 10 + 5 3𝑖 + 5 + 5𝑖 = 15 + 5 3 + 5 𝑖  A + B = 10 + 5 3𝑖 − 5 + 5𝑖 = 5 + 5 3 − 5 𝑖 2) 복소수의 곱  A ∙ B = 20 60° ∙ 5 2 45° = 100 2 60° + 45° = 100 2 105° = 100 2(cos 105° + 𝑖 sin 105°) 3) 복소수의 나눗셈



A B

=

20 60° 5 2 45°

=

20 5 2

60° − 45° =

4 2

15°

= 4₂(cos 15° + 𝑖 sin 15°)