9. 상대성 이론

9.1 갈릴레이의 상대성 원리

9.2 마이컬슨-몰리의 실험

9.3 아인슈타인의 상대성 원리

9.4 특수 상대성 이론의 결과

9.5 로렌츠 변환식

9.6 상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태

9.7 상대론적 에너지

9.8 질량과 에너지

9장. 상대성 이론

숭실대학교 일반물리 강의자료

• 뉴턴 역학은 빛의 속력에 가깝게 운동하는 물체

의 운동을 기술하는 데 부적절하다

• 제한된 이론으로서 뉴턴 역학

– 빛의 속도에 상한(upper limit) 값이 없다.

– 현대 물리학의 이론적 예측 및 실험 결과들과 모순

– 아인슈타인의 상대성 이론의 특수한 경우

• 빛의 속력보다 훨씬 느린 속력으로 움직이는 물체에

대해서만 적용된다.

뉴턴 역학의 한계

서로에 대해 등속도로 움직이는 모든

관측자에 대해

성립하는 물리법칙(F = ma)은 같다.

모든 관성 기준틀에서 역학의 법칙은 동일해야 한다.

지면에 대해 등속도로 달리는 트럭 위의 관측 자는 위로 던진 공이 연직선 상에서 움직이 는 것으로 관측한다. 지면의 관측자가 던져 진 공의 경로를 포물 선으로 관측한다. 두 관측자가 보든 공의 궤적은 다르지만, 공에 대해 뉴턴의 운동법칙(F = ma)과 역학적 에너지 보존 법칙은 두 관찰자에게 모두 성립한다.

9.1 갈릴레이의 상대성 원리

갈릴레이 좌표 변환(Galilean transformation of coordinates)

A B

z′

z

S

S

′

,

,

x

x

vt

y

y z

z t

t

′ = −



 ′

=

′

=

′

=



• 시간은 두 관성계에서 동일하다.

• 고전역학의 틀에서 모든 시계는 같은 비율로 작동한다.

• 사건이 일어난 시간은 S에 있는 관측자와 S’에 있는 관측자에 대해 동일하다.

dx

′ =

dx

−

vdt

관성틀 에 있는 관측자가 측정할 때, 입자가 시간 간격 동안 변위 만 큼 움직인다고 하자. 에 있는 관측자가 이에 대해 측정한 변위 은

S

S′

_dx′

dt

dx

dx

dx

v

dt

dt

′

=

−

′

갈릴레이 속도 변환(Galilean velocity transformation)

u

′ = −

u

v

,

dx

dx

u

u

dt

dt

′

′ =

=

′

3장의 상대속도를 고려하면 당연한 식

• 뉴턴역학의 갈릴레이 상대성은 전자기학이나 광학에 적용 되지 않는다.

• 전자기파의 속도 (빛의 속도)

:

•

c는 누구에 대한 속도인가?

( c 는 어떤 좌표계에 대한 속도인가?)

• 수면파나 음파와 같은 역학적인 파동은 전달되기 위해 모두 매질을

필요로 한다

• 19세기 후반 물리학자들은

빛이 진행하는 매질로서

발광성

에테르

(luminiferous ether)를 생각했다.

• 에테르는 절대 기준틀(absolute frame of reference)을 정의한다.

• 빛의 속력은 이 기준틀에서 c

이다.

• 에테르의 존재를 보이기 위한

마이컬슨-몰리의 실험

• 마이컬슨-몰리간섭계

• 에테르에 대한 지구의 상대 속도를 측정하기 위한 장치

0 0 8 1

/

2.99792 10 m/s. c = ε µ = ×

9.2 마이켈슨-몰리의 실험

빔 분할기

• 팔 2는 지구의 운동과 같은 방향

• 지구의 운동과 반대방향으로 에테르의 바람이

분다.

• 빛이 M

₂

에 접근할 때 지구에 대한 빛의 속도:

c

-v

• 반사 후 지구에 대한 빛의 속도: c

+v

• 팔 1은 에테르 바람에 대해 수직

• 에테르 바람에 수직인 방향의 빛의 속력

:

• 빛은 서로 다른 속력으로 수직인 방향을 진행하

므로, 빔 분할기를 동시에 떠나는 빛은 다른 시

간에 되돌아온다.

• 간섭계는 이 시간 차이를 검출할 수 있게 고안됨

• 시간차 ⇒ 경로차 ⇒ 위상차 ⇒ 간섭무늬

2 2

c

−

v

검출기 마이켈슨-몰리 실험장치 마이켈슨-몰리 간섭계 

에테르가 존재한다면

간섭계를 회전 시킬 때

검출기로 들어오는 두 빛

사이에 경로차가 변할 것이다.

간섭무늬도 변할 것이다.



간섭무늬 변화 검출 못함



⇒ 빛의 속도 변화 검출 못함

 에테르 가정과 모순  에테르 기준틀에 대한 지구의 절대 속도를 측정하는 것 불가능

특수 상대성 이론의 두 가설

1.

상대성 원리

: 모든 물리 법칙은 모든 관성 기준 틀에서 동일하다.

2.

광속도 불변의 원리

: 진공 중의 빛의 속력은 모든 관성 기준 틀에

서 관측자나 광원의 속도에 관계없이 일정한 값을 갖는다.

• 특별한 관성 기준 틀은 존재하지 않는다. (에테르는 없음. 실험결과) • 절대 운동을 측정하는 것은 불가능하다. • 빛의 속력이 모든 관성 기준 틀에서 같다. 그렇지 않다면, 관성 기준틀들과 빛의 속력이 c 인 절대기준 틀을 실험적으로 구별할 수 있게 된다.

9.3 아인슈타인의 상대성 원리

• 시간은 시간을 재는 기준틀에 의존한다

•

절대 시간은 존재하지 않는다.

• 한 기준틀에서 볼 때 여러 지점에서 사건들이 동시에 일어난다면,

이 기준틀에 대해 움직이는 다른 기준틀에서는 동시성이 관측되지 않

는다.

• 동시성은 절대적인 개념이 아니다.

•

동시성은 관측자의 운동상태에 의존한다.

동시성과 시간의 상대성

Simultaneity and the Relativity of Time

• 사고 실험

•

점광원에서 나오는 빛을 서로 다른 관성계의 관측자들이 볼 때

빛의 파면은 관측자와 무관하게 동심원을 그리며 퍼져나간다.

•

다음 페이지 사고실험

9.4 특수 상대성 이론의 결과

전등과 함께 움직이는 관측자 A 가 볼 때 빛은 선실 양끝에 동시 에 도달한다. (동시성 사건 to A) 정지한 관측자 B가 볼 때 빛은 선 실 왼쪽 끝에 먼저 도달한 다음 오 른 쪽 끝에 도달한다. (다른 시간의 사건 to B)

•

점광원에서 나오는 빛을 서로 다른 관성계의 관측자들이 볼 때

빛의 파면은 관측자와 무관하게 동심원을 그리며 퍼져나간다.

B A 사고 실험

시간 팽창 Time Dilation

2

p

d

t

∆

차 안에 정지해 있는 관측자가 보는 사건 지면에 에 정지해 있는 관측자가 보는 사건 2

1 ( / )

p

t

t

v c

∆

∴ ∆ =

−

2 2

2

d

(

v t

/ 2)

t

+ ∆

∆

p t ∆ t ∆

c

=

c

=

p

t

t

∆ < ∆

움직이는 관찰자의 시계가 천천히 간다.

달리는 차 안에 거울이 고정되어있고 차 안에 정지해 있는 관측자가 거울로 빛을 보낸다. 지면에 서 있는 관측자는 차안의 관측자보다 더 긴 빛의 경로를 본다.

2

1 ( / )

p p

t

t

t

v c

γ

∆

∆ =

= ∆

−

2

1

1

1 ( / )

v c

γ

≡

≥

−

고유 시간 간격(proper time interval) :공간상의 같은 위치에서 일어나 는 두 사건을 본 관측자가 측정한 두 사건 사이의 시간 간격 p

t

∆

p

t

t

∆ < ∆

뮤온의 붕괴

뮤온의 수명:

∆ =

t

_p

2.2

μs

비상대론 적 계산 8 6 (3.0 10 m/s)(2.2 10 s)=660 m p l c t − ≈ ∆ = × × 상대론 적 계산 8 6 0.99 , 7.1,μs 16 (3.0 10 m/s)(16 10 s)=4.8 km p v c t t l c t

γ

γ

− = ≈ ∆ = ∆ ≈ ≈ ∆ = × × 실제로 지면 근처에서 뮤온이 관찰됨.

길이 수축 Length Contraction

고유 길이(proper length): 물체에 대해 정지해 있는 사람이 측정한 길이 지구에서 출발하여 어느 별로 속력 v로 움직이는 우주선을 고려하자. p

L

∆

_t

/

p

v

=

L

∆

t

L

∆

t

_p 지구의 관측자 지구-별 거리 우주선 안의 관측자 별 도착 시간

/

_p

v

=

L

∆

t

v

v

_v

p

L

_L

t

∆

p

t

∆

p p

L

L

t

=

t

∆

∆

p p

t

L

L

t

∆

=

∆

1

1

γ

= ≤

p

t

γ

t

∆ = ∆

1

p

L

L

γ

∴ =

막대와 함께 움직이는 기준틀의 관측 자가 재는 길이는 고유 길이 L_p 이다. 관측자가 있는 기준틀에 대해 상대적 으로 움직이는 막대의 길이를 측정한 값은 고유 길이보다 짧다. 2

1

1 ( / )

p p

L

L

v c L

γ

=

=

−

길이 수축은 운동 방향을 따라서만 일어난다

쌍둥이 역설 The Twin Paradox

속수 지수 쌍둥이 현재 나이 20세 0.95 v = c t ∆

L

p t ∆ v v 2 2

0.95 ,

1

/

0.31

v

c

v

c

=

−

=

속수 행성 X에 도착 후 집 생각이 나서 같은 속력으로 지구 귀환 지수가 보는 속수의 여행시간: 2 20 (ly) / 0.95× c = 42.10년 지수가 상대론적으로 계산하는 속수 여행의 고유시간 : 2 2 1−v / c ×42.10년년=13.5 속수 지수 운항 중 속수가 보는 지구 행성간 거리: 2 2 1 / 6.24 (ly) p L = L −v c = 2 6.24 (ly) / 0.95× c =13.15년 속수가 보는 자신의 여행시간 자신의 기준틀에서 보면 상대방이 움직이므로 상대방이 덜 늙었다고 주장할 것 이다. 이 상황은 쌍둥이 각자의 관점에서 보면 대칭적으로 나타나는 것이다. 지수에 대해 등속도로 움직이고 있는 제3의 관측자가 있다고 하자. 관측자에 대해 지수는 관성틀을 바꾸지 않지만, 속수는 가속도 운동을 한다. 그 과정에서 관성틀이 바뀐다. 따라서 역설이란 없는 것이고, 단지 항상 동일한 관성틀에 있는 지수만이 특수상대론에 근거한 올바른 예측을 할 수 있다.

진자의 주기는 얼마인가? 예제 9.1 시리우스 별로의 여행 예제 9.2 진자의 기준틀에서 측정한 진자의 주기가 3.00 s이다. 진자에 대해 0.960c로 움직이는 관측자가 측정한 진자의 주기는 얼마인가? 2 1 1 1 0.9216 1 (0.960 / )c c γ = = − − 3.57(3.00s) 10.7s p t

γ

t ∆ = ∆ = = 3.57 = 한 우주인이 지구로부터 8 ly 떨어진 시리우스 별로 우주 여행을 떠났다. 우주 인은 가는 데 6년이 걸릴 것으로 측정했다. 우주선이 0.8c 의 일정한 속력으로 간다면, 어떻게 8 ly의 거리가 우주인이 측정한 6년으로 맞춰질 수 있는가? 지구의 관측자가 봤을 때 빛이 지구에서 시리우스 별까지 가는 데 걸리는 시간은 8년 이다. 우주인 입장에서 우주인은 자신에 대해 0.8c 의 속력으로 움직이고 있는 지구 와 별 사이의 공간 거리를 측정한다. 이 거리는 길이의 수축 때문에 8 ly 보다 짧다. 우주인이 측정한 길이 1 2 1 (0.80 / )c c 0.6 . γ − _{= − =} 8 ly (8 ly)(0.6) 4.8 ly L γ = = = 우주인의 시계로 여행 시간을 구하면 4.8 ly 6 yr 0.8 t c ∆ = = 우주인이 여행 하는 데 걸리는 시간은 8년보다 짧은데, 그 이유는 지구와 시리우스 별 사이의 거리가 수축 되기 때문이다

• 로렌츠 변환(Lorentz Transformation)

• 1900, 로렌츠 (H. A. Lorentz 1853~1928 네덜란드) : 마이컬슨-몰리 실험의 결과를 설명하기 위해

운동하는 방향의 길이의 수축 가설

과

에테르의

존재

를 가정하고 로렌츠 변환 식 유도함 . • 아인슈타인에 의해 재해석 됨. • 특수상대론의 두 개의 가설로부터 유도할 수 있음. (에테르의 존재 필요 없음)

–

갈릴레이 변환은 로렌츠 변환의 특수한 경우이다.

2

(

),

,

,

vx

x

x vt

y

y z

z t

t

c

γ

γ





′

=

−

′

=

′

=

′

=

_

−

_





/

1

1,

,

(

)

v c

<<

⇒ =

γ

x

′

= −

x vt t

′

= 갈릴레이변환

t

로렌츠 속도 변환 Lorentz Velocity Transformation

2

(

),

vx

x

x vt

t

t

c

γ

γ





′

=

−

′

=

_

−

_





2

/

dx

dx

vdt

dt

dt

vdx c

′

−

=

′

−

2

1

/

u

v

u

vu

c

−

′ =

−

2

1

/

u

v

u

vu

c

′ +

=

′

+

dx

u

dt

dx

u

dt

′

′ =

′

=

: B가 보는 발사체의 속도 : A가 보는 발사체의 속도

(

)

dx

′ =

γ

dx

−

vdt

dt

′ =

γ

(

dt

−

vdx c

/

2

)

2

/

1

/

dx dt

v

v dx c dt

−

=

−

2

1

/

u

v

v u c

−

=

−

로렌츠 변환 와 를 구하면

dx

′

dt

′

/

1,

/

1

v c

<<

u c

<<

2

/

0,

vu c

u

′

u v

⇒

≈

≈ −

갈릴레이 속도 변환

,

u

′

→

u u

→

u

′

v

→ −

v

정지한 관찰자 움직이는 관찰자 B가 발사한 물체

2

1

/

u

v

u

vu

c

−

′ =

−

2

1

/

1

/

c

v

c

v

u

vc

c

v

c

−

−

′ =

=

−

−

c

v

c

v

c

−

=

−

=

c

이 결과는 광속도 불변의 원리와 일치한다.

u

=

c

인 경우

두 우주선의 상대 속도 예제 9.4 두 우주선 A와 B가 그림 처럼 서로 마주보고 움직인다. 지상에 있는 관측자가 측정한 우주 선 A의 속력은 0.750c, B의 속력은 0.850c이다. 우주선 A에 있는 우주인이 측정한 우주선 B의 속도를 구하라. 2

1

/

BE EA BA BE EA

v

v

v

v v

c

+

=

+

0.750 ,

0.850

AE BE

v

=

c v

= −

c

정지한 관찰자 움직이는 관찰자 B가 발사한 물체

u

u

′

: B가 보는 발사체의 속도 : A가 보는 발사체의 속도

1

/

2

u

v

u

vu

c

′ +

=

′

+

2

1

/

PB BA PA PB BA

v

v

v

v

v

c

+

=

+

PA

v

=

u

PB

v

=

u′

BA

v

=

v

: B가 보는 P의 속도 : A가 보는 P의 속도 : A가 보는 B의 속도 속도 변환에 대한 표현을 편하게 바꾸자 2

0.850

0.750

1 ( 0.850 )( 0.750 ) /

c

c

c

c

c

−

−

=

+ −

−

= −

0.977c

• 특수 상대론의 틀안에서 갈릴레이 변환이 로렌츠 변환으로 대체 된다.

• 로렌츠 변환에 대해 물리 법칙은 불변이므로, 로렌츠 변환과 상대성 원

리가 적용될 수 있게, 뉴턴의 법칙, 운동량 및 에너지에 대한 정의를 일

반화하여야 한다.

• 모든 관성틀에서 운동량 보존을 다루기 위해서는, 수정될 운동량의 정

의가 만족해야 할 조건

• 모든 충돌에서 고립된 입자의 운동량은 보존 된다. • 일반화된 상대론적 운동량의 정의 식은 입자의 속도가 광속도에 비해 매우 작은 경우 비상대론적인 고전적 식이 된다.

• 상대론적인 운동량의 정의

2 2

1

/

m

m

u

c

γ

≡

=

−

u

p

u

9.6 상대론적 운동량과 뉴턴 법칙의 상대론적 형태

• 상대론적인 힘

_d

dt

Σ ≡

F

p

전자의 선운동량 예제 9.6 질량이 9.11ⅹ10-31 kg인 전자가 속력 0.750c로 움직이고 있다. 상대론적 운동량의 크기를 구하고 고전적인 식으로 계산한 값과 비교해 보라.

.

m

m

γ

=

→ =

p

u

p

u

/

1,

1

u c

<<

γ

≈

.

d

d

m

dt

dt

Σ =

F

p

→ Σ =

F

u

• 비상대론적 영역에서 31 9.11 10 kg, 0.750 e m = × − u = c 31 8 2 2 2 (9.11 10 kg)(0.750 )(3.00 10 m/s) 1 / 1 (0.750) e rel m u p u c − × × = = − − 22 3.10 10− kg m/s = × ⋅ 상대론적인 운동량 31 8 (9.11 10 kg)(0.750 )(3.00 10 m/s) cl e p = m u = × − × =2.05 10× −22kg m/s⋅ 비상대론적인 운동량 / 1.51 rel cl p p =

처음에 정지해있던 입자에 일-운동 에너지 정리를 이용하여 상대론적인 운동 에너지를 유도하자.

W

= ∆

K

일-운동 에너지 정리

0

K

K

∆ =

−

f f i i x x x x

dp

W

Fdx

dx

dt

=

∫

Σ

=

∫

알짜힘이 x축 방향으로만 작용하는 경우를 고려하자.

Σ = Σ

_F

_F

ˆ

_i

( ) d u d du u dt dt dt γ _{= γ γ+} 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2 2 1 ( 2 ) (1 / ) (1 / ) 2 d d u du u c u c dt dt c dt γ _{= −} − _{= − −} − − 2 3 2 2 2 1 u du du du u u c dt dt dt c γ γ γ  γ    = _{ }+ = _ + _   _{ } 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 / du u du dt c u c dt c u γ   γ = _ + =_ − −   3 du dt γ = 3 2 u du c dt γ = f i x x

dp

K

dx

dt

=

∫

f

(

)

f

(

)

i i x x x x

d

mu

d

u

dx

m

dx

dt

dt

γ

γ

=

∫

=

∫

2 3 c dγ γ= udu d(γu) =γ3du

9.7 상대론적 에너지

Relativistic Energy

(

)

f f i i x x x x

dp

d

u

K

dx

m

dx

dt

dt

γ

=

∫

=

∫

2 3 c dγ γ= udu d(γu) =γ 3du 3 f i x x

du

K

m

dx

dt

γ

=

∫

3 0 u

m

γ

udu

=

∫

2 1

mc

γ

d

γ

=

∫

:

: 0

:1

i f

x x

x

u

u

γ

γ

→

→

→

2

(

1)

K

=

mc

γ

−

상대론적인 운동에너지 1/ 2 _{1 3} 2 ₅ 3 2 8 16

(1

−

x

)

−

= +

1

x

+

x

+

x

− ⋅⋅⋅

( )

( )

( )

2 2 ₃ 4 ₅ 6 1 2 8 16 1 1 1 ( / ) u u u c c c u c γ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ − = =

( )

( )

( )

(

2 4 6

)

2 _{1 3 5} 2 2 8 16 1 u_c u_c u_c

K

=

mc

+ + + + ⋅ ⋅ ⋅

−

mc

급수전개

/

1

u c

<<

비상대론적 영역에서

( )

( )

(

2 4

)

2 _{3 5} 2 1 1 2 1 4 uc 8 uc 2

K

=

mu

+ + + ⋅ ⋅ ⋅

≈

mu

2 1 2

mu

2 ( 1) mc γ −

2 2

K

=

γ

mc

−

mc

운동 에너지 정지 에너지 정지 에너지(rest energy) 2 R

E

=

mc

전체 에너지(total energy) 2 R

E

=

γ

mc

=

K

+

E

( )

2 2

1

mc

E

u

c

−

=

⇒ 질량은 에너지의 한 형태다. 상대론적인 입자의 에너지-운동량 관계

( )

2 2

1

1

u c

E

mc

p

mu

γ

_γ

γ

=

=

=

₋

( )

2 2

1

1

u

_c

γ

−

=

₂

c

2 ₂

c

−

u

=

2 2 2 2 2

c

u

c

γ

−

γ

=

2 2 2 2 2

c

u

c

γ

=

γ

+

2 2

m c

⊗

2 2 4 2 2 2 2 2 4

m c

m u c

m c

γ

=

γ

+

2 2 2 2 4

E

=

p c

+

m c

2 2 2 2 4

E

=

p c

+

m c

입자가 정지한 경우

(

p

=

0)

2 R

E

=

E

=

mc

광자와 같이 질량이 영인 입자의 경우는

(

m

=

0)

E

=

pc

전자볼트(eV) 19 19

1eV

=

(1.602 10

×

−

C)(1V)

=

1.602 10

×

−

J

2 31 8 2 14

(9.11 10

kg)(3.00 10 m/s)

8.20 10

J

R e

E

=

m c

=

×

−

×

=

×

− 19 14 1eV 1.602 10 J

(8.20 10

J)

0.511MeV

R

E

− ₋ ×





=

×

_

_

=





전자 의 정지에너지 31 (m_e =9.11 10× − kg)

매우 빠른 양성자의 에너지 예제 9.6 31 2

9.11 10

kg,

0.511MeV

e e

m

=

×

−

m c

=

27 (m_p =1.67 10× − kg) (A) 양성자의 정지 에너지를 전자볼트 단위로 구하라 27 2 2 31 1.673 10 (0.511MeV) 938MeV 9.11 10 p p e e m m c m c m − −  ×  = = _{ } = ×   (B) 양성자의 전체 에너지가 정지 에너지의 세 배일 때, 양성자의 속력 을 광속의 단위로 구하라 . 2 2 3 p p m c m c

γ

= 2 9 =

γ

( )

2 1 1− u_c =

( )

2 1 1 u c γ = − 2 2 2 c c −u = 2 8 2 9 u = c 8 3 0.943 u = c = c (C) 양성자의 운동 에너지를 전자볼트 단위로 구하라. 2 2 2 3 2 (2)(938MeV) 1.88 10 MeV p p p K =

γ

m c −m c = m c = = × (D)양성자의 운동량은 얼마인가? MeV/c 단위로 구하라. 2 2 2 ( ) ( _p ) E = pc + m c (3m c_p 2 2) = (pc)2 +(m c_p )2 (pc)2 = 8(m c_p 2 2) 2 3 8 ( _p ) / (2.83)(938MeV) / 2.65 10 MeV/ pc = m c c = c = × c

• 입자는 정지해 있더라도 질량 때문에 엄청난 에너지를 가

지고 있다.

• 질량과 에너지의 등가성을 증명할 가장 명확한 실험

• 질량이 운동 에너지로 변환되는 현상이 일어나는 핵물리학

과 소립자 물리학에서의 실험

• 에너지 보존의 원리가 성립하기 위해서는 에너지 저장

의 다른 형태로서 정지 에너지가 포함되어야 야 한다.

•

이런 개념은 특히 원자 및 핵반응에서 매우 중요하다.

• 헬륨이 생성된 핵융합 반응( )

• 헬륨 원자 한 개가 만들어 질 때

• 질량감소

• 방출되는 에너지

2 4

2 H

→

He