우석대학교 에너지전기공학과

(1)

공업수학 II

강의 (4)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(2)

3. 복소수의 표현방식  직교좌표 형식:

A = 𝑎 + 𝑏𝑖

 극좌표 형식:

A = A∠𝜃

 삼각함수 형식(극형식):

A = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃

 지수함수 형식:

A = A𝑒

𝑖𝜃  복소수

A

의 크기 r (절대값)과

A

의 편각

𝜃

(argument) 로 표시. 

A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A∠𝜃

 편각

𝜃

 양의 각: 원점을 중심으로 반 시계 방향으로 회전하는 각  음의 각: 원점을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 각  극좌표형식의 공액복소수:

A

= A∠ − 𝜃

𝑟 = A = 𝑎

2

_{+ 𝑏}

2

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛

−1 𝑏 𝑎 0 𝑟 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 𝜃 𝑎 𝑏 −𝑏 −𝜃 A = 𝑎 − 𝑏𝑖 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑃(𝑎, 𝑏) 지난 시간 강의 복습 (지난 시간 강의 복습)

(3)

 지수함수형식에서 극형식으로의 변환  지수함수형식:

A = A𝑒

𝑖𝜃

= 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒

𝑖𝜃

= 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃

(오일러공식) 크기:

A =

𝑐𝑜𝑠 𝜃

2

+ 𝑠𝑖𝑛 𝜃

2

= 1 &

편각:

𝜃

 지수함수형식에서 극좌표 형식으로의 변환

A = A∠𝜃 = 1∠𝜃

예시) 복소수

A = 2𝑒

− 𝜋4𝑖 를 극좌표형식과 극형식으로 변환하고 이를 복소평면에 표시하라.  크기:

𝐴 = 2 &

편각:

𝜃 = −

𝜋 4

A = A∠ − 𝜃 = 2∠ −

𝜋 4 

A = 2𝑒

− 𝜋4𝑖 _{의 오일러 공식}

A = 2𝑒

− 𝜋 4𝑖

= 2 𝑐𝑜𝑠 −

𝜋 4

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 −

𝜋 4

= 2 𝑐𝑜𝑠

𝜋₄

− 𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝜋₄

= 2

1₂

−

1₂

𝑖 = 1 − 𝑖

3. 복소수의 표현방식 0 2 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 1 −1 −45° A = 1 − 𝑖 <복소평면>

(4)

4. 복소수의 상호변환  복소평면에서 복소수

A = 𝑎 + 𝑏𝑖

를 나타내는 점을

𝑃(𝑎, 𝑏)

라 하고,

A

의 절대값을

𝑟, A

의 편각을

𝜃

라 할 때,  복소수

A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = A𝑒

𝑖𝜃

= A∠𝜃

복소수의 크기:

A = 𝑎

2

_{+ 𝑏}

2 복소수의 편각:

𝜃 = arg A = 𝑡𝑎𝑛

−1 𝑏 𝑎  복소평면 4. 복소수의 상호변환 지수함수형식 극형식 극좌표형식 0 _{𝑎 = A ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃} 𝑦 (허축) 𝑥, (실축) 𝑏 = A ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 θ A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = A𝑒𝑖𝜃 = A∠𝜃

(5)

예시1) 직각좌표 형식의 복소수

A = 1 − 3𝑖

를 극좌표형식, 극형식 및 지수함수 형식으로 표시하라.  복소수의 크기:

A = 1

2

+ − 3

2

= 2

 복소수의 편각:

𝜃 = arg A = 𝑡𝑎𝑛

−1 − 3 1

= −

𝜋 3

 극좌표형식:

A = 2∠ −

𝜋 3  극형식(삼각함수)형식:

A = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠 −

𝜋 3

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 −

𝜋 3

= 1 − 3𝑖

 지수함수 형식:

A = A𝑒

𝑖𝜃

= 2𝑒

−𝜋3𝑖

 복소평면 1 2 − ₂3 4. 복소수의 상호변환 0 2 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) − 3 1 −60° A = 1 − 3𝑖

(6)

예시2) 다음 복소수를 직각좌표 형식으로 표현하고 복소평면에 표시하라. 1)

A = 10∠ − 30°



10∠ − 30° = 10 𝑐𝑜𝑠 −30° + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(−30°)

= 10

₂3

−

1₂

𝑖 = 5 3 − 5𝑖

2)

A = 4𝑒

𝜋3𝑖

 오일러공식:

A = A𝑒

±𝑖𝜃

= A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃

4𝑒

𝜋3𝑖

= 4 𝑐𝑜𝑠

𝜋 3

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝜋 3

= 4

1 2

+

3 2

𝑖 = 2 + 2 3𝑖

4. 복소수의 상호변환 극좌표형식 지수함수형식 (오일러공식 사용) 0 10 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 5 3 −5 −30° A = 5 3 − 5𝑖 (복소평면) 0 2 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 2 3 60° (복소평면) 4

(7)

예시3) 허수단위

𝑖

(즉,

A = 𝑖

) 를 극좌표, 극형식(삼각함수) 및 지수함수 형식으로 표시하라.  복소수의 크기:

A = 0

2

+ 1

2

= 1

 복소수의 편각:

𝜃 = arg A = 𝑡𝑎𝑛

−1 𝑏 𝑎

= 𝑡𝑎𝑛

−1 1 0

=?

 복소수

𝑖

의 복소평면 (우측그림 참조) 크기:

1 &

편각:

90°

 극좌표형식:

𝑖 = A∠𝜃 = 1∠

𝜋 2  극형식(삼각함수):

𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋 2

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝜋 2  지수함수 형식:

𝑖 = A𝑒

𝑖𝜃

= 𝑒

𝜋2𝑖 (숙제1) 허수단위

−𝑖 를

극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  제출 일시: 다음시간 (9월17일, 화 1교시) 시작 전 – 시간엄수!!! 4. 복소수의 상호변환 0 1 𝑦, (허축) 𝑥, (실축) 𝜃 = 90° (

𝑖

의 복소평면)

(8)

예시4) 실수

−1

을 극좌표, 극형식(삼각함수) 및 지수함수 형식으로 표시하라.  실수

−1

의 크기:

A = (−1)

2

+0

2

= 1

 실수

−1

의 편각:

𝜃 = arg A = 𝑡𝑎𝑛

−1 𝑏 𝑎

= 𝑡𝑎𝑛

−1

_{0 =?}

 실수

−1

의 복소평면 (우측그림 참조) 크기:

1 &

편각:

180°

 극좌표형식:

𝑖 = A∠𝜃 = 1∠𝜋

 극형식(삼각함수):

𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜋

 지수함수 형식:

𝑖 = A𝑒

𝑖𝜃

= 𝑒

𝜋𝑖 4. 복소수의 상호변환 0 −1 𝑦, (허축) 𝑥, (실축) 𝜃 = 180° (

−1

의 복소평면)

(9)

5. 복소수의 기하학적 연산 5-1. 복소수의 합과 차  복소수의 대수적인 합과 차 

A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖



A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖

 기하학적인 복소수의 합과 차  2차원 평면에서의 벡터의 합과 차를 적용함.  복소수의 합: 평행사변형법 •

A + B = C

 복소수의 차 •

A − B = C

5. 복소수의 기하학적 연산 A B C 𝑂 A B 𝑂 −B

(10)

예시) 복소수

A = 2 𝑐𝑜𝑠

2𝜋 3

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

2𝜋 3

& B = −1 − 3 3𝑖

의 합을 구하고, 이를 극형식으로 표시. (1)

A

를 직각좌표형식으로 변환 

A = 2 𝑐𝑜𝑠

2𝜋 3

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

2𝜋 3

= 2 −

1 2

+

3 2

𝑖 = −1 + 3𝑖

(2) 복소수의 합을

C

라 하면, 

C = A + B = −1 + 3𝑖 + −1 − 3 3𝑖 = −2 − 2 3𝑖

(3)

A + B = −2 − 2 3𝑖

의 크기 및 편각을 구함.  크기:

C = (−2)

2

+(−2 3)

2

= 4

 편각:

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛

−1 −2 3 −2

= 𝑡𝑎𝑛

−1

₃

_{3/4 분면의 각:}

_{𝜃 =}

𝜋 3

+ 𝜋 =

4𝜋 3  극형식:

C = C 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 4 𝑐𝑜𝑠

4𝜋 3

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

4𝜋 3  검토:

C = 4 𝑐𝑜𝑠

4𝜋 3

+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

4𝜋 3

= 4 −

1 2

−

3 2

𝑖 = −2 − 2 3𝑖

5. 복소수의 기하학적 연산 −2 3 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) (−2 − 2 3𝑖 의 복소평면) −2 𝜃 0