생명과학을 위한 수학 2 기말고사 (2018년 12월 8일 오후 1:00–3:00) 학번 : 이름 : 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [20점] A, B 가 정사각행렬일 때, 다음 문장이 맞으면 T를, 틀리면 F를 표시하시오. (풀이과정 필요 없음, 각 2점) (a) AB = O 이면 BA = O 이다. (b) AB = I 이면 BA = I 이다. (c) At =−A이면 A 는 가역이다. (d) A2= A이면 det(A) =±1이다. (e) A−1= A이면 A− I 또는 A + I 은 가역이 아니다.
(f) det(A + B) = det(A) + det(B) 이다. (g) 0을 특성치로 갖는 행렬은 가역이 아니다. (h) 특성 함수가 같으면 닮은 행렬이다. (i) A∼ B 이면 At∼ Bt이다. (j) A 와 At의 특성함수는 같다. 문제 2 [10점] n× n 행렬 A 가 가역이고 v1, . . . , vk ∈ Rn이 일차 독립일 때, Av1, . . . , Avk도 일차독립임을 보이시오. 문제 3 [15점] 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 가우스 소거법을 이용하여 다음 선형계를 푸시오. x + 2y + z− w = 2 x + 2y + 3z− w = 0 2x + y + 5z + 2w = 4 −3x + 6y − 15z − 13w = −6 (b) (5점) 열벡터 1 1 2 −3 , 2 2 1 6 , 1 3 5 −15 , −1 −1 2 −13 들이 일차종 속인지 일차독립인지 판단하고 근거를 제시하시오. 문제 4 [20점] 행렬 A = ab 12 de c 3 f 와 행렬 B = a1 b1 1c d e f 의 행렬식이 det A = 1 이고 det B = 20 일 때, 다음 행렬의 행렬식을 구하시오. (a) (10점) ad + 1− 2 b − 4 c − 6e + 2 f + 3 1 2 3 (b) (10점) a6 b7 8c d e f 문제 5 [10점] v 와 w 은Rn의 0 이 아닌 벡터일 때, ∥v − kw∥ 가 최소가 되는 k 를 구하시오. 문제 6 [10점] A = (1, 2, 0), B = (0, 2, 3), C = (2, 0, 4) 를 꼭짓점 으로 하는 삼각형 ABC 에 관하여 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 삼각형 ABC 의 넓이를 구하시오. (b) (5점) 삼각형 ABC 를 포함하는 평면이 직선 x = y = z + 1 과 이루는 각도를 θ 라 할 때, cos θ 를 구하시오. ⟨ 연습용 여백 ⟩ 1
생명과학을 위한 수학 2 기말고사 학번 : 이름 : 문제 7 [15점] θ = 2π 2018일때, 행렬 A = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) 에 대하 여 다음을 계산하시오. (힌트 : An = ( cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ ) ) f (A) = 2017∑ n=0 (−1)n+1An= A2017− A2016+· · · + A − I 문제 8 [20점] 3단계 나이구조를 갖는 어떤 포유류는 1단계에서는 평균 1마리, 2, 3단계에서는 20마리를 낳는다. 생존 확률은 1단계는 0.5, 2단계는 0.8이고, 모든 단계는 1달 단위로 이루어진다. 3단계의 포유류는 1달 후에는 모두 죽는다고 할 때 아래 물음에 답하시오. (a) (10점) 시간이 충분히 흘렀을 때 각 단계의 포유류 개체 수는 어떻게 변하는지 설명하시오. (b) (10점) 시간이 충분히 흘렀을 때 각 단계의 포유류 개체 수의 구성비율을 구하시오. 문제 9 [25점] 사자 S는 매일 영역 1, 영역 2, 영역 3의 인접한 3개의 영역 중 한 곳에 있고, 이동 패턴은 다음과 같다고 하자. 한 영역에 있던 사자 S가 다음날에 이동하지 않고 같은 영역에 있을 확률은 각각 50%, 20%, 0% 이고, 영역 3에서 영역 1로 이동할 확률은 60%, 영역 1에서 영역 2로 이동할 확률은 20% 이고 영역 2에서 다른 두 영역으로 이동할 확률은 서로 같다. Xn을 n 일 후 사자의 위치라 하면 Xn은 마르코프 연쇄가 된다. (a) (5점) 추이행렬을 구하시오. (b) (5점) 추이행렬이 정칙임을 보이시오. (c) (5점) 영역 2에 있는 사자 S가 2일 후 영역 3에 있을 확률을 구하시오. (d) (10점) 영역 2에 있는 사자 S가 시간이 충분히 흐른 뒤 영역 1, 영역 2 및 영역 3에 있을 확률을 극한안정분포를 이용하여 근사적으로 각각 구하시오. 문제 10 [10점] 4× 4 행렬 A 가 서로 다른 특성치 −2, −1, 1, 2 를 가질 때 A 의 역행렬을 A 를 이용하여 나타내시오. 문제 11 [25 점] 행렬 A = −2 1 04 0 1 −2 0 1 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (15점) P−1AP = D가 되는 가역 행렬 P , 대각 행렬 D 및 P 의 역행렬 P−1를 구하시오. (b) (5점) x0= 21 −1 , xn= xynn zn 일 때, 점화계 xn+1= Axn 의 일반해를 구하시오. (c) (5점) x(t) = x(t)y(t) z(t) 일 때 미분방정식계 x′ = Ax, x(0) = 21 −1 를 푸시오. 문제 12 [20점] 집합
S ={ACT, AT C, AT G, CAT, CT G, GAT, T CA, T GA}
를 3-스펙트럼으로 갖는 서열 중에서 길이가 최소인 서열을 오일러 경로를 이용하여 구하시오.
⟨ 연습용 여백 ⟩
