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[공업수학1]06 복소수 [호환 모드]

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Academic year: 2021

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(1)

복소수

목포해양대학교 곽재민

(2)

개요

|

복소수의 기본 응용

복소수의 기본 응용 교류해석

: 교류해석, (통신)신호처리, 필터설계, 등등

, (통신)신호처리, 필터설계, 등등

|

2차 방정식 근의 공식

|

2차 방정식 근의 공식

ac b b c bx ax 4 0 2 2 − ± − = + + y 일 경우? a ac b b x 2 4 − ± − = 0 4 2 − ac< b 일 경우? 제곱을 시켜서 -36이되는 실수는 없다! 36 2 0 5 2 2 2 ± = + + x x 음수의 제곱근을 구하는 방법 복소수의 도입 4 36 2± − − = x −36 = ? 2 ** 음수의 제곱근을 구하는 방법? --Æ 복소수의 도입 2

(3)

복소수

복소수 정의

|

복소수 정의

y 음의 제곱근을 다루기 위해 정의 실수에서는 제곱하여 음의 값을 얻을 수 없음

1

2

=

j

y 실수에서는 제곱하여 음의 값을 얻을 수 없음 y 위에서 정의된 j를 “허수”로 정의 2 j j 6 36 36 2 = × = − 0 5 2 2 2 2 3 1 4 6 2 4 36 2 0 5 2 2 2 j j x x x ± − = ± − = − ± − = = + + y 위와 같은 수를 “복소수 (complex number)”로 정의 y “실수부 (real part)”와 “허수부 (imaginary part)”

2 4

4

(4)

복소수

실수 집합

|

실수 집합

R

|

복소수 집합

C

C

z

R

b

R

a

bj

a

z

+

=

,

,

( )

z

=

a

,

Im

( )

z

=

b

Re

|

2 3

=

×

=

j

j

j

j

( ) ( )

1

1

1

2 2 4

=

×

=

×

=

j

j

j

j

j

j

j

44

(5)

켤레 복소수

켤레 복소수

의 정의 공액복소수

|

켤레 복소수

(complex conjugate)의 정의(공액복소수)

y

z

=

a

+

bj

의 켤레 복소수는 * |

다항 방정식

P(x)=0의 모든 계수가 실수이면 방정식의 해들 중

*

z

=

z

= −

a bj

|

다항 방정식

P(x)=0의 모든 계수가 실수이면, 방정식의 해들 중

복소수 해는 항상 켤레 복소수 쌍

(complex conjugate

pair)으로 나온다

pair)으로 나온다

3 1 6 2 36 2 0 5 2 2 2 j j x x ± ± ± = + + 2 3 1 4 6 2 4 36 2 j j x = − ± − = − ± = − ± 55

(6)

켤레 복소수

|

9.4)

y , 에서 하나의 근을 가짐 다른 근은?

0

13

19

7

2 3

+

=

x

x

x

x

=

1

y 다른 근은?

x

x

x

3

7

2

+

19

13

(

x

)

(

x

x

)

x

x

x

x

x

13

19

6

1

13

19

6

2 2 2 2 3

+

=

+

=

(

)

(

) (

)(

)

(

x

)

(

x

x

)

x

x

x

x

0

13

6

1

13

6

1

1

2 2

=

+

=

=

(

)

(

)

j

j

x

x

x

x

x

2

3

2

4

6

2

52

36

6

,

1

0

13

6

1

±

=

±

=

±

=

=

+

6 |

연습문제

9.2) 1h, 2, 6, 7b, 7e, 7f

2

2

6

(7)

복소수 연산

두 개의 복소수가 같을 필요충분조건

|

두 개의 복소수가 같을 필요충분조건

y 실수부가 서로 같고, 허수부가 서로 같아야 함

3

x

|

덧셈과 뺄셈

yj

j

x

+

6

=

3

6

3

=

=

y

x

|

덧셈과 뺄셈

y 두 복소수의 덧셈은 실수부끼리 더하고 허수부끼리 더함 y 두 복소수의 뺄셈은 실수부끼리 빼고 허수부끼리 뺌두 복소수의 뺄셈은 실수부끼리 빼고 허수부끼리 뺌

(

j

) (

j

)

z

z

j

z

j

z

2

4

4

3

2

4

,

4

3

2 1 2 1

+

+

=

+

+

=

=

(

) (

)

(

) (

)

(

j

) (

j

)

z

z

j

j

j

j

z

z

2

4

4

3

2

7

2

4

4

3

2

4

4

3

2 1 2 1

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

7

(

) (

)

(

) (

)

j

j

j

j

z

z

6

1

2

4

4

3

2

4

4

3

2 1

=

+

=

+

7

(8)

복소수 연산

곱셈

|

곱셈

y 복소수에 실수를 곱하는 경우

(

4 6 j

)

12 18 j 3 y 복소수끼리 곱하는 경우

(

4 6 j

)

12 18 j 3 − = − y 복소수끼리 곱하는 경우

(

j

)(

j

)

j

z

j

z

4

3

2

2

4

3

,

2

2

2 1

=

=

+

(

)(

)

( )

j

j

j

j

j

z

z

8

8

6

6

4

3

2

2

2 2 1

+

=

+

=

( )

j

j

j

j

j

2

14

8

8

6

6

1

8

8

6

6

+

=

+

+

=

+

=

8 y 예제9.8) z=3-2j일때, 을 구하시오. 8 *

z z

(9)

복소수 연산

켤레 복소수의 곱

|

켤레 복소수의 곱

2

3

=

j

z

(

)(

)

4

6

6

9

2

3

2

3

2

+

=

+

=

j

j

j

j

j

z

z

|

공식

13

4

6

6

9

+

+

=

=

j

j

(

)(

)

*

z

a bj

zz

zz

a bj

a bj

= +

=

=

(

+

)(

)

2 2 2

zz

zz

a bj

a bj

a

baj

abj b j

+

=

+

9 2 2 2

a

b

z

=

+

=

9

(10)

복소수 연산

|

나눗셈

분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱함

(

)(

)

(

5 2

)(

5 2

)

2 5 9 2 2 5 9 2 2 5 , 9 2 1 2 1 j j j j j j z j z j z + + + = + = − = + =

(

)(

)

2 5 18 4 45 10 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 j j j j j j z + + + + = + − − 29 49 8 2 5 j + − = +

(

)(

)

1 1 1, 2 2 2 z = +x jy z = x + jy

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x jy x jy z x jy z x jy x jy x jy + − + = = + + −

(

1 2 1 2

) (

2 1 1 2

)

2 2 2 2 x x y y j x y x y x y + + − = + 10 10 |

연습문제

9.3) 2b, 2c, 4, 6d

(11)

복소수의 그래프 표현

복소평면

|

복소평면

(complex plane)

y 복소수 가 주어졌을 때, 실수부를 수평축으로 허수부를 수직축으로 좌표를 정함 bj a z = + y 실수부를 수평축으로, 허수부를 수직축으로 좌표를 정함

y x축을 실수축 (real axis), y축을 허수축 (imaginary axis)

y 그림 9 1 그림 9 2 z1 = 7+2j, z2 = −3+5j, y 그림 9.1, 그림 9.2 아르강 도표 (Argand diagram) z j z j j z j z 4 , 2 1 , 5 3 , 2 7 4 3 2 1 − = − − = + + 11 11

(12)

복소수의 극 형식

직각좌표

과 극좌표

|

직각좌표

(Cartesian coordinate)과 극좌표 (Polar

coordinate)

그림 9 3 y 그림 9.3 θ θ θ θ sin cos sin , cos r b r a r b r a = = = = θ θ θ tan sin , cos a b r b r a =

(

θ θ

)

θ θ i i 2 2 j j b a r = + y r : 복소수 z의 절대값 (modulus), |z|

θ

복소수 의 편각 ( t) ( )

(

θ θ

)

θ

θ sin cos sin

cos jr r j

r

z = + = +

12

(13)

복소수의 극 형식

정리

|

정리

y 직각좌표 형식 극좌표 형식 bj a z = +

(

θ + j θ

)

r∠θ r z cos sin y 극좌표 형식 z = r

(

cosθ + jsinθ

)

= r∠θ b a r z = = 2 + 2 y 켤레 복소수 a b r b r

a = cosθ, = sinθ, tanθ = 켤레 복소수

( )

(

( )

( )

)

(

θ θ

)

θ θ θ − = − + − = − ∠ j r j r r sin cos sin cos

( )

θ θ = − = ∠ − ∠ = + = = r bj a z r bj a z z , 13 13

(14)

복소수의 극 형식

주어진 복소수 를 복소평면에 그리고 극형식으로 표현하시오

|

9.11) 주어진 복소수z를 복소평면에 그리고, 극형식으로 표현하시오

( )

− = 2 1 1 1 2 2 j z

( ) ( )

− − = 1 2 2 j z

( )

− − = = − + = 4 45 2 1 12 2 π θ or r D

( ) ( )

− = = − + − = 4 3 4 5 2 1 1 2 2 π π θ or r 그림 그림 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∠ = 4 2 π z ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∠ = 4 3 2 π z 그림 9.4 그림 9.5 14 14

(15)

복소수의 극 형식

복소수의 극 형식

|

극 형식에서의 곱셈

(

cosθ + sinθ

)

=

(

cosθ + sinθ

)

= r j z r j z

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

{

1 2 1 2 1 2 1 2

}

2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos , sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + − = + + = + = + = j r r j r j r z z j r z j r z 곱셈은 두 복소수의 절대값은 곱하고 편각은 더함

(

) (

)

{

}

(

)

(

)

{

}

(

1 2

)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos θ θ θ θ θ θ + ∠ = + + + = r r j r r j y 곱셈은 두 복소수의 절대값은 곱하고, 편각은 더함 |

극 형식에서의 나눗셈

(

1 1

)

2 2

(

2 2

)

1

1 = r cosθ + jsinθ , z = r cosθ + jsinθ

z 나눗셈은 두 복소수의 절대값은 나누고 편각은 뺌

(

)

(

)

(

1 2

)

2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1

1 cos sin , cos sin

θ θ θ θ θ θ − ∠ = + + r r z z j r z j r z y 나눗셈은 두 복소수의 절대값은 나누고, 편각은 뺌

예제

9 13 9 14

15 |

예제

9.13, 9.14

15

(16)

벡터와 복소수

|

x y 평면에서의 복소수와 벡터

|

x-y 평면에서의 복소수와 벡터

y 그림 9.6 | y 그림 9.7, 그림 9.8 j z j z1 = 2+ , 2 =1+3 두 복소수의 합과 차는 평행사변형의 16 평행사변형의 두 대각선으로 표시 16

(17)

복소수의 지수형

멱급수 전개

|

멱급수 전개

1 3 2 = + + + + = x x x

x e n x ... sin ! ... ! 3 ! 2 1 5 3 0 − + − = = + + + + =

= x x x x n x e n ... ! 4 ! 2 1 cos ! 5 ! 3 4 2 − + − = x x x y 실수 x 대신 복소수 z를 적용 ! 4 ! 2 ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + + = z z z ez 17 17

(18)

복소수의 지수형

복소수 극 형식의 변형

|

복소수 극 형식의 변형

(

cos sin

)

z = r

(

θ

+ j

θ

)

= ∠r

θ

2 4 3 5 1 ... ... 2! 4! 3! 5! j r ⎧⎪⎛

θ

θ

j

θ

θ

θ

⎞⎫⎪ = − + − + − + − ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ 2 3 4 5 2! 4! 3! 5! 1 ... 2! 3! 4! 5! r j

θ

θ

j

θ

θ

j

θ

⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ⎞ = + − − + + − ⎝ ⎠

z

=

r

(

cos

θ

+

j

sin

θ

)

2 2 3 3 2! 3! 4! 5! 1 ... 2! 3! j j j e θ j

θ

θ

θ

⎝ ⎠ = + + + +

(

)

θ

θ

θ

j

re

j

r

z

=

+

=

cos

sin

2 3 2! 3! 1 ... 2! 3! j

θ

θ

j

θ

= + − − + 18 18

(19)

복소수의 지수형

지수형

|

지수형

(exponential form)

(

)

θ

θ

θ

j j r z = cos + sin θ j re =

(

)

θ θ

θ

θ

j

θ

θ

j j e j

e = cos + sin , − = cos − sin

(

θ

θ

)

jθ re j r z = cos − sin = − e e e ej j j j sin cos θ θ θ θ

θ

θ

= + − = − − |

j 2 sin , 2 cos

θ

=

θ

=

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

φ ω

ω

φ

ω

φ

φ

ω

+ = + + + + = t j t j t e t A t f sin cos cos 19

( )

=

(

jt+φ)

)

e A t f Re 19

(20)

드무아브르 정리

드무아부르 정리

|

드무아부르 정리

(De Moivre’s Theorem)

(

cosθ + jsinθ

)

n = cosnθ + jsin nθ, nN

(

)

(

)

(

θ θ

) (

θ θ

)(

θ θ

)

θ θ θ θ i i i 1 sin 1 cos sin cos 2 1 = + + j j

(

) (

)(

)

(

θ θ

)

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i 2 i sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 + + + = + + = + j j j j j j j

(

)

θ θ θ θ θ θ 2 sin 2 cos cos sin 2 sin cos2 2 + = + − = j j θ θ θ θ θ

θ sin cos2 , 2sin cos sin2

cos2 − 2 = =

20 20

(21)

드무아브르 정리

드무아부르 정리

|

드무아부르 정리

(De Moivre’s Theorem)

(

cosθ + jsinθ

)

p/q = cos pθ + jsin pθ

(

θ θ

)

θ θ

q j

q

jsin cos sin

cos + = +

(

i

)

i 1/3 3 θ j θ

(

θ j θ

)

3 sin 3 cos sin cos sin cos 1/3 3 θ θ θ θ θ θ j j j + = + = + 3 3 21 21

(22)

드무아브르 정리

예제

|

예제

의 세제곱근을 찾는 것 1 3 = z y 1의 세제곱근을 찾는 것

(

cosθ jsinθ

)

r z = + y 1의 극 형식 | 그림그림 9.16 | 절대값은 1, 편각은 0, ±2π, ±4π, … 22

(

cos2nπ jsin 2nπ

)

1 1= + 22

(23)

드무아브르 정리

(

θ j θ

)

nπ j nπ

r

z3 = 3 cos3 + sin3 = cos2 + sin 2

(

cos2nπ jsin 2nπ

)

1

1= +

(

θ j θ

)

nπ j nπ

r

z = cos3 + sin3 = cos2 + sin 2 1 , 1 3 = ∈ → = r R r r n 2 π Z n n n → = ∈ = , 3 2 2 3θ π θ π 3 2 sin 3 2 cos nπ j nπ z = + 그림 9.17 y n=0일 때 3 3 1 0 sin 0 cos + = = j z y n=1일 때 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos j j z = π + π = − + y n=2일 때 2 3 2 1 3 4 sin 3 4 cos j j z = π + π = − − 23 y n>2일 때는 위의 해가 반복됨 23

(24)

드무아브르 정리

예제

|

예제

j z2 = 4

(

)

(

θ θ

)

θ θ sin cos sin cos 2 2 2 j r z j r z + = + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = π nπ j π nπ j 2 2 sin 2 2 cos 4 4

(

cos2θ sin 2θ

)

2 j r + =

(

θ j θ

)

π nπ j π nπ r ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + 2 2 sin 2 2 cos 4 2 sin 2 cos 2 π π θ π π θ n n r r + = → + = = → = 4 2 2 2 2 4 2 24 4 2 24

(25)

드무아브르 정리

일 때 그림 y n=0일 때 그림 9.18 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 4 sin 4 cos 2 π j π z y n=1일 때 ⎠ ⎝ 4 4 ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 5 i 5 2 π j π ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 4 sin 4 cos 2 j z 2 2

(

)

(

)

j j z = + = + 2 2 1 2 2 2 2 2 1

(

j

)

j z = − − = − 2 1+ 2 2 2 2 2 25 25

(26)

드무아브르 정리

극 형식에 의한 풀이

|

극 형식에 의한 풀이

j z2 = 4 θ θ → 2 = 2∠2 ∠ = r z r z 4 j = 4∠

(

π 2+2nπ

)

(

)

π π θ π π θ n r n r 2 2 / 2 , 4 2 2 / 4 2 2 2 + = = + ∠ = ∠ 26 26

(27)

드무아브르 정리

예제

|

예제

θ

θ

θ

θ

θ

θ

3 3 sin 4 sin 3 3 sin , cos 3 cos 4 3 cos = − = −

(

)

(

θ

)

θ

(

θ

) (

θ

)

θ

θ

θ

θ

θ

θ

3 2 2 3 3 sin sin cos 3 sin cos 3 cos 3 sin 3 cos sin cos + + + = + = + j j j j j

(

)

(

) (

)

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

2 3 3 2 2 3 sin cos 3 cos 3 cos sin sin cos 3 sin cos 3 cos − = − + − = j j j j j

(

)

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

3 3 3 2 3 cos 3 cos 4 cos 3 cos 3 cos cos 1 cos 3 cos sin cos 3 cos 3 cos − = + − = − − =

(

θ

)

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

3 2 3 2 sin sin sin 1 3 sin sin cos 3 3 sin cos 3 cos 4 cos 3 cos 3 cos = − = = + = 27

(

)

θ

θ

θ

θ

θ

3 sin 4 sin 3 sin sin sin 1 3 − = − − = 27

(28)

드무아브르 정리

예제

|

예제

θ θ 1 1 sin cos j z = + θ θ, 1 2 sin cos 2 1 j z z z z + = − = 1

(

)

( )

( )

θ θ θ θ θ θ sin cos sin cos sin cos 1 1 1 j j j z z − = − + − = + = = − −

(

θ θ

) (

θ θ

)

θ 1 cos 2 sin cos sin cos 1 j j z z + = + + − =

(

cosθ sinθ

) (

cosθ sinθ

)

2 sinθ 1 j j j z z − = + − − = 28 28

(29)

드무아브르 정리

θ θ j n n zn 1 sin cos + = θ θ θ θ n j z n z n j n z z n n n n sin 2 1 , cos 2 1 sin cos 1 = − = + − = = − θ θ j n z z n z z + n 2cos , n 2 sin 29 29

(30)

드무아브르 정리

예제

|

예제

(

cos2 1

)

2 1 cos2

θ

=

θ

+ 2 1 cos 2

θ

= + z z 2cos2 2 12 z z + =

θ

(

)

1 2 1 cos 2 2 2 2 2 = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

θ

z z z z

(

)

(

2 1

)

2 2 cos 2 1 2 2 2 2 + = −

θ

θ

z z

(

2cos 1

)

2cos2 2 2

θ

=

θ

(

2cos 1

)

2 2 − =

θ

(

)

1 2 cos 2 cos 1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 2 + = − = −

θ

θ

θ

θ

θ

30 2 1 2 cos cos2

θ

=

θ

+ 30

(31)

복소평면의 궤적과 영역

원점을 중심으로 반경이 인 원주 상의 점들

|

원점을 중심으로 반경이

2인 원주 상의 점들

그림 9.19 절대값이 2이고 편각이 <θ≤ 인 복소수 y 절대값이 2이고 편각이 -π<θ≤π인 복소수 y 원의 내부는 원의 외부는 2 = z 2 < z z > 2 y 원의 내부는 , 원의 외부는 |

1 사분면 안의 점들

|

1 사분면 안의 점들

그림 9.20 y 0 < argg

( )

( )

z <π 2 31 31

(32)

복소평면의 궤적과 영역

예제

|

예제

y 인 점의 궤적 그림 9 21

( )

4 arg z =π y 그림 9.21 32 32

(33)

복소평면의 궤적과 영역

예제

|

예제

y 인 점의 궤적 그림 9 22 3 2 = − z y 그림 9.22 = + → → → → → → OP AP OA 2 − = − = → → → z OA OP AP y 점 P가 점 A로부터의 거리가 3인 점들의 궤적 점 A를 중심으로 반지름이 3인 원주상들의 점 33 y 점 A를 중심으로 반지름이 3인 원주상들의 점 33

(34)

복소평면의 궤적과 영역

점 A를 원점으로 반지름이 인 원주 상의 점들 y 점 A를 원점으로 반지름이 3인 원주 상의 점들 그림 9.23 y 원의 내부 z −2 < 3 y 원의 내부 y 원의 외부 3 2 < z 3 2 > − z 3 2 3 2 , = + − = − + = jy x z jy x z

(

)

(

)

3 2 3 2 2 2 2 2 + = − = + − y x jy x

(

x −2

)

2 + y2 = 9 34 34

(35)

복소평면의 궤적과 영역

예제

|

예제

y z − = zj 인 점들의 궤적 2 1 1

(

−1

)

+ = 1 +

(

−1

)

(

−1

)

2 + 2 = 1

(

2 +

(

−1

)

2

)

+ = y x y x y j x jy x jy x z

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

1

)

4

(

1

)

4 1 4 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 + = + − + = + → + = + y x y x y x y x y j x jy x 3 8 3 1 3 3 4 3 0 3 2 3 8 3 2 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + + − y x y y x x 9 8 3 1 3 4 3 3 3 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ y x y 35 9 3 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 35

참조

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