복소수
목포해양대학교 곽재민
개요
|복소수의 기본 응용
복소수의 기본 응용 교류해석
: 교류해석, (통신)신호처리, 필터설계, 등등
, (통신)신호처리, 필터설계, 등등
|2차 방정식 근의 공식
|2차 방정식 근의 공식
ac b b c bx ax 4 0 2 2 − ± − = + + y 일 경우? a ac b b x 2 4 − ± − = 0 4 2 − ac< b 일 경우? 제곱을 시켜서 -36이되는 실수는 없다! 36 2 0 5 2 2 2 ± = + + x x 음수의 제곱근을 구하는 방법 복소수의 도입 4 36 2± − − = x −36 = ? 2 ** 음수의 제곱근을 구하는 방법? --Æ 복소수의 도입 2복소수
복소수 정의
|복소수 정의
y 음의 제곱근을 다루기 위해 정의 실수에서는 제곱하여 음의 값을 얻을 수 없음1
2=
−
j
y 실수에서는 제곱하여 음의 값을 얻을 수 없음 y 위에서 정의된 j를 “허수”로 정의 2 j j 6 36 36 2 = × = − 0 5 2 2 2 2 3 1 4 6 2 4 36 2 0 5 2 2 2 j j x x x ± − = ± − = − ± − = = + + y 위와 같은 수를 “복소수 (complex number)”로 정의 y “실수부 (real part)”와 “허수부 (imaginary part)”2 4
4
복소수
실수 집합
|실수 집합
R
|복소수 집합
C
C
z
R
b
R
a
bj
a
z
∈
∈
∈
+
=
,
,
( )
z
=
a
,
Im
( )
z
=
b
Re
|예
2 3=
×
=
−
j
j
j
j
( ) ( )
1
1
1
2 2 4=
×
=
−
×
−
=
j
j
j
j
j
j
j
44켤레 복소수
켤레 복소수
의 정의 공액복소수
|켤레 복소수
(complex conjugate)의 정의(공액복소수)
yz
=
a
+
bj
의 켤레 복소수는 * |다항 방정식
P(x)=0의 모든 계수가 실수이면 방정식의 해들 중
*z
=
z
= −
a bj
|다항 방정식
P(x)=0의 모든 계수가 실수이면, 방정식의 해들 중
복소수 해는 항상 켤레 복소수 쌍
(complex conjugate
pair)으로 나온다
pair)으로 나온다
3 1 6 2 36 2 0 5 2 2 2 j j x x ± ± ± = + + 2 3 1 4 6 2 4 36 2 j j x = − ± − = − ± = − ± 55켤레 복소수
예
|예
9.4)
y , 에서 하나의 근을 가짐 다른 근은?0
13
19
7
2 3−
+
−
=
x
x
x
x
=
1
y 다른 근은?x
x
x
3−
7
2+
19
−
13
(
x
)
(
x
x
)
x
x
x
x
x
13
19
6
1
13
19
6
2 2 2 2 3+
−
−
−
=
−
+
−
−
=
(
)
(
) (
)(
)
(
x
)
(
x
x
)
x
x
x
x
0
13
6
1
13
6
1
1
2 2=
+
−
−
=
−
−
−
−
=
(
)
(
)
j
j
x
x
x
x
x
2
3
2
4
6
2
52
36
6
,
1
0
13
6
1
±
=
±
=
−
±
=
=
+
6 |연습문제
9.2) 1h, 2, 6, 7b, 7e, 7f
2
2
6복소수 연산
두 개의 복소수가 같을 필요충분조건
|두 개의 복소수가 같을 필요충분조건
y 실수부가 서로 같고, 허수부가 서로 같아야 함3
x
|덧셈과 뺄셈
yj
j
x
+
6
=
3
−
6
3
−
=
=
y
x
|덧셈과 뺄셈
y 두 복소수의 덧셈은 실수부끼리 더하고 허수부끼리 더함 y 두 복소수의 뺄셈은 실수부끼리 빼고 허수부끼리 뺌두 복소수의 뺄셈은 실수부끼리 빼고 허수부끼리 뺌(
j
) (
j
)
z
z
j
z
j
z
2
4
4
3
2
4
,
4
3
2 1 2 1+
+
−
=
+
+
=
−
=
(
) (
)
(
) (
)
(
j
) (
j
)
z
z
j
j
j
j
z
z
2
4
4
3
2
7
2
4
4
3
2
4
4
3
2 1 2 1+
−
−
=
−
−
=
+
−
+
+
=
+
+
+
7(
) (
)
(
) (
)
j
j
j
j
z
z
6
1
2
4
4
3
2
4
4
3
2 1−
−
=
−
−
+
−
=
+
7복소수 연산
곱셈
|곱셈
y 복소수에 실수를 곱하는 경우(
4 6 j)
12 18 j 3 y 복소수끼리 곱하는 경우(
4 6 j)
12 18 j 3 − = − y 복소수끼리 곱하는 경우(
j
)(
j
)
j
z
j
z
4
3
2
2
4
3
,
2
2
2 1=
−
=
+
(
)(
)
( )
j
j
j
j
j
z
z
8
8
6
6
4
3
2
2
2 2 1−
+
−
=
+
−
=
( )
j
j
j
j
j
2
14
8
8
6
6
1
8
8
6
6
+
=
+
+
−
=
−
−
+
−
=
8 y 예제9.8) z=3-2j일때, 을 구하시오. 8 *z z
복소수 연산
켤레 복소수의 곱
|켤레 복소수의 곱
2
3
−
=
j
z
(
)(
)
4
6
6
9
2
3
2
3
2−
−
+
=
+
−
=
j
j
j
j
j
z
z
|공식
13
4
6
6
9
+
−
+
=
=
j
j
(
)(
)
*z
a bj
zz
zz
a bj
a bj
= +
=
=
(
+
)(
−
)
2 2 2zz
zz
a bj
a bj
a
baj
abj b j
+
=
+
−
−
9 2 2 2a
b
z
=
+
=
9복소수 연산
|나눗셈
분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱함(
)(
)
(
5 2)(
5 2)
2 5 9 2 2 5 9 2 2 5 , 9 2 1 2 1 j j j j j j z j z j z + + + = + = − = + =(
)(
)
2 5 18 4 45 10 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 j j j j j j z + + + + = + − − 29 49 8 2 5 j + − = +(
)(
)
1 1 1, 2 2 2 z = +x jy z = x + jy(
)(
)
(
)(
)
(
) (
)
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x jy x jy z x jy z x jy x jy x jy + − + = = + + −(
1 2 1 2) (
2 1 1 2)
2 2 2 2 x x y y j x y x y x y + + − = + 10 10 |연습문제
9.3) 2b, 2c, 4, 6d
복소수의 그래프 표현
복소평면
|복소평면
(complex plane)
y 복소수 가 주어졌을 때, 실수부를 수평축으로 허수부를 수직축으로 좌표를 정함 bj a z = + y 실수부를 수평축으로, 허수부를 수직축으로 좌표를 정함y x축을 실수축 (real axis), y축을 허수축 (imaginary axis)
y 그림 9 1 그림 9 2 z1 = 7+2j, z2 = −3+5j, y 그림 9.1, 그림 9.2 아르강 도표 (Argand diagram) z j z j j z j z 4 , 2 1 , 5 3 , 2 7 4 3 2 1 − = − − = + + 11 11
복소수의 극 형식
직각좌표
과 극좌표
|
직각좌표
(Cartesian coordinate)과 극좌표 (Polar
coordinate)
그림 9 3 y 그림 9.3 θ θ θ θ sin cos sin , cos r b r a r b r a = = = = θ θ θ tan sin , cos a b r b r a =(
θ θ)
θ θ i i 2 2 j j b a r = + y r : 복소수 z의 절대값 (modulus), |z|θ
복소수 의 편각 ( t) ( )(
θ θ)
θθ sin cos sin
cos jr r j
r
z = + = +
12
복소수의 극 형식
정리
|정리
y 직각좌표 형식 극좌표 형식 bj a z = +(
θ + j θ)
r∠θ r z cos sin y 극좌표 형식 z = r(
cosθ + jsinθ)
= r∠θ b a r z = = 2 + 2 y 켤레 복소수 a b r b ra = cosθ, = sinθ, tanθ = 켤레 복소수
( )
(
( )
( )
)
(
θ θ)
θ θ θ − = − + − = − ∠ j r j r r sin cos sin cos( )
θ θ = − = ∠ − ∠ = + = = r bj a z r bj a z z , 13 13복소수의 극 형식
예
주어진 복소수 를 복소평면에 그리고 극형식으로 표현하시오
|예
9.11) 주어진 복소수z를 복소평면에 그리고, 극형식으로 표현하시오
( )
− = 2 1 1 1 2 2 j z( ) ( )
− − = 1 2 2 j z( )
− − = = − + = 4 45 2 1 12 2 π θ or r D( ) ( )
− = = − + − = 4 3 4 5 2 1 1 2 2 π π θ or r 그림 그림 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∠ = 4 2 π z ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∠ = 4 3 2 π z 그림 9.4 그림 9.5 14 14복소수의 극 형식
복소수의 극 형식
|
극 형식에서의 곱셈
(
cosθ + sinθ)
=(
cosθ + sinθ)
= r j z r j z
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
{
1 2 1 2 1 2 1 2}
2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos , sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + + − = + + = + = + = j r r j r j r z z j r z j r z 곱셈은 두 복소수의 절대값은 곱하고 편각은 더함(
) (
)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
1 2)
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos θ θ θ θ θ θ + ∠ = + + + = r r j r r j y 곱셈은 두 복소수의 절대값은 곱하고, 편각은 더함 |극 형식에서의 나눗셈
(
1 1)
2 2(
2 2)
11 = r cosθ + jsinθ , z = r cosθ + jsinθ
z 나눗셈은 두 복소수의 절대값은 나누고 편각은 뺌
(
)
(
)
(
1 2)
2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 11 cos sin , cos sin
θ θ θ θ θ θ − ∠ = + + r r z z j r z j r z y 나눗셈은 두 복소수의 절대값은 나누고, 편각은 뺌
예제
9 13 9 14
15 |예제
9.13, 9.14
15벡터와 복소수
|x y 평면에서의 복소수와 벡터
|x-y 평면에서의 복소수와 벡터
y 그림 9.6 | y 그림 9.7, 그림 9.8 j z j z1 = 2+ , 2 =1+3 두 복소수의 합과 차는 평행사변형의 16 평행사변형의 두 대각선으로 표시 16복소수의 지수형
멱급수 전개
|멱급수 전개
1 3 2 = + + + + = x x x∑
∞ x e n x ... sin ! ... ! 3 ! 2 1 5 3 0 − + − = = + + + + =∑
= x x x x n x e n ... ! 4 ! 2 1 cos ! 5 ! 3 4 2 − + − = x x x y 실수 x 대신 복소수 z를 적용 ! 4 ! 2 ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + + = z z z ez 17 17복소수의 지수형
복소수 극 형식의 변형
|복소수 극 형식의 변형
(
cos sin)
z = r(
θ
+ jθ
)
= ∠rθ
2 4 3 5 1 ... ... 2! 4! 3! 5! j r ⎧⎪⎛θ
θ
⎞ j⎛θ
θ
θ
⎞⎫⎪ = ⎨⎜ − + − ⎟+ ⎜ − + − ⎟⎬ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ 2 3 4 5 2! 4! 3! 5! 1 ... 2! 3! 4! 5! r jθ
θ
jθ
θ
jθ
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ⎞ = ⎜ + − − + + − ⎟ ⎝ ⎠z
=
r
(
cos
θ
+
j
sin
θ
)
2 2 3 3 2! 3! 4! 5! 1 ... 2! 3! j j j e θ jθ
θ
θ
⎝ ⎠ = + + + +(
)
θθ
θ
jre
j
r
z
=
+
=
cos
sin
2 3 2! 3! 1 ... 2! 3! jθ
θ
jθ
= + − − + 18 18복소수의 지수형
지수형
|지수형
(exponential form)
(
)
θθ
θ
j j r z = cos + sin θ j re =(
)
θ θθ
θ
jθ
θ
j j e je = cos + sin , − = cos − sin
(
θ
θ
)
jθ re j r z = cos − sin = − e e e ej j j j sin cos θ θ θ θθ
θ
= + − = − − |예
j 2 sin , 2 cosθ
=θ
=( )
(
)
( )(
)
(
)
(
)
φ ωω
φ
ω
φ
φ
ω
+ = + + + + = t j t j t e t A t f sin cos cos 19( )
=(
j(ωt+φ))
e A t f Re 19드무아브르 정리
드무아부르 정리
|
드무아부르 정리
(De Moivre’s Theorem)
(
cosθ + jsinθ)
n = cosnθ + jsin nθ, n∈N(
)
(
)
(
θ θ) (
θ θ)(
θ θ)
θ θ θ θ i i i 1 sin 1 cos sin cos 2 1 = + + j j(
) (
)(
)
(
θ θ)
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ i 2 i sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 + + + = + + = + j j j j j j j(
)
θ θ θ θ θ θ 2 sin 2 cos cos sin 2 sin cos2 2 + = + − = j j θ θ θ θ θθ sin cos2 , 2sin cos sin2
cos2 − 2 = =
20 20
드무아브르 정리
드무아부르 정리
|
드무아부르 정리
(De Moivre’s Theorem)
(
cosθ + jsinθ)
p/q = cos pθ + jsin pθ(
θ θ)
θ θq j
q
jsin cos sin
cos + = +
(
i)
i 1/3 3 θ j θ(
θ j θ)
3 sin 3 cos sin cos sin cos 1/3 3 θ θ θ θ θ θ j j j + = + = + 3 3 21 21드무아브르 정리
예제
|예제
의 세제곱근을 찾는 것 1 3 = z y 1의 세제곱근을 찾는 것(
cosθ jsinθ)
r z = + y 1의 극 형식 | 그림그림 9.16 | 절대값은 1, 편각은 0, ±2π, ±4π, … 22(
cos2nπ jsin 2nπ)
1 1= + 22드무아브르 정리
(
θ j θ)
nπ j nπr
z3 = 3 cos3 + sin3 = cos2 + sin 2
(
cos2nπ jsin 2nπ)
1
1= +
(
θ j θ)
nπ j nπr
z = cos3 + sin3 = cos2 + sin 2 1 , 1 3 = ∈ → = r R r r n 2 π Z n n n → = ∈ = , 3 2 2 3θ π θ π 3 2 sin 3 2 cos nπ j nπ z = + 그림 9.17 y n=0일 때 3 3 1 0 sin 0 cos + = = j z y n=1일 때 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos j j z = π + π = − + y n=2일 때 2 3 2 1 3 4 sin 3 4 cos j j z = π + π = − − 23 y n>2일 때는 위의 해가 반복됨 23