우석대학교 에너지전기공학과

(1)

강의 (13)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(2)

1. 다음 주어진 수열 및 부분합의 처음 세 항을 나열하라. 1-1) 1 2𝑛 = 1 21, 1 22, 1 23 1 2, 1 4, 1 8 1-2) (−1)𝑛 (𝑛+1) = (−1)1 (1+1) , (−1)2 (1+2) , (−1)3 (1+3) − 1 2, 1 3 , − 1 4 1-3) 1 3𝑘−1 3 𝑘=1 = ₃10+ 1 31+ 1 32 1 + 1 3+ 1 9 2. 등차수열 2𝑛 − 3 에서 다음을 구하라. ℎ𝑖𝑛𝑡: 𝑎_𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑

,

𝑠_𝑛 = 𝑛 2 𝑎1 + 𝑎𝑛 2-1) 첫째 항(𝑎₁) 과 공차 (𝑑 )를 각각 구하라.  등차수열을 나열: 2𝑛 − 3 = −1, 1, 3, … 첫째 항: 𝑎₁ = −1  공차: 𝑑 = 𝑎₂ − 𝑎₁ = 1 − (−1) = 2 2-2) 주어진 수열의 11번째 항 (𝑎₁₁) 을 구하라.  주어진 등차수열의 일반항: 𝑎_𝑛 = −1 + 2(𝑛 − 1)

𝑎₁₁ = −1 + 2 11 − 1 = 19 2-3) 주어진 수열의 11번째 항 (𝑠₁₁) 까지의 합을 구하라.  주어진 등차수열의 부분합: 𝑠_𝑛 = 𝑛 2 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑠11 = 11 2 −1 + 19 = 99 (중간시험 검토)

(3)

3) 어떤 등비수열의 3째 항이 4이고, 7째 항이 16일 때, 다음을 구하라. ℎ𝑖𝑛𝑡: 𝑎_𝑛 = 𝑎𝑟(𝑛−1) 3-1) 등비수열의 공비 𝑟  일반항 𝑎_𝑛 = 𝑎𝑟(𝑛−1)

으로 부터 • 수열의 3째 항: 𝑎₃ = 𝑎𝑟(3−1) = 4 𝑎𝑟2 = 4 • 수열의 7째 항: 𝑎₇ = 𝑎𝑟(7−1) = 16 𝑎𝑟6 = 16 ∴ 𝑎𝑟6 𝑎𝑟2 = 16 4 = 4 𝑟 4 _{= 4}_{𝑟 = 2} 3-2) 11번째 항 (𝑎₁₁)  수열의 3째 항으로 부터 𝑎₃ = 𝑎 ∙ 2 3−1 = 4 𝑎 ∙ 22 = 4 ∴ 첫째 항: 𝑎 = 2  일반항: 𝑎_𝑛 = 𝑎𝑟(𝑛−1) = 2 ∙ 2 𝑛−1 𝑎₁₁ = 2 ∙ 2(11−1) ∴ 𝑎₁₁ = 2 ∙ 210 = 26 = 64

(4)

4) 다음의 극한값을 구하라. 4-1) lim 𝑥→0 2𝑥 2 _{− 𝑥 + 1 = 1}_확정형 4-2) lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥2−𝑥 = 0 0 부정형 (1)  lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥2_−𝑥 = lim_𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥(𝑥−1) = lim𝑥→1 1 𝑥 = 1 4-3) lim 𝑥→ 3 2 1+𝑥2+2 = 2 1+ 3 2+2 = 2₄ = 1₂ 확정형 4-4) lim 𝑥→∞ 𝑥2+1 2𝑥+5 = ∞ ∞ 부정형 (2)  lim 𝑥→∞ 𝑥2+1 2𝑥+5 = lim𝑥→∞ 1+_𝑥21 2 𝑥+ 5 𝑥2 = 1₀ = ∞ 𝑜𝑟 lim 𝑥→∞ 𝑥2+1 2𝑥+5 = lim𝑥→∞ 𝑥+1_𝑥 2+_𝑥5 = ∞ 2 = ∞  분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분.  무리함수: 분모분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화.  분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다.  무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다.

(5)

5) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥+1 일 때, 𝑥 = 1 에서 연속임을 보여라  𝑥 = 1 에서 함수의 값: 𝑓 1 = 1 2 정의됨  𝑥 = 1 에서 극한값: lim 𝑥→1 1 𝑥+1 = 1 2 존재함 ∴ 함수 𝑓 𝑥 = 1 𝑥+1 은 𝑥 = 1 에서 연속 6) 다음의 극한값을 구하라. ℎ𝑖𝑛𝑡: lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1 , lim_𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒 6-1) lim 𝑥→0 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 4𝑥 = 0 0  lim 𝑥→0 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 4𝑥 = lim_𝑥→0 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 = lim 𝑥→0 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = lim_𝑥→0 2 2 × 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∴ lim 𝑥→0 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 4𝑥 = lim𝑥→0 4𝑥 2∙𝑠𝑖𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 2 ∙ lim𝑥→0 4𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥 ∙ lim𝑥→0𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 2 6-2) lim 𝑥→0 1 + 𝑥 2 4 𝑥 _{= (1 + 0)}_∞_lim 𝑥→0 1 + 𝑥 2 2 𝑥×2 _{= 𝑒}₂ 함수값 = 극한값: 𝑓 1 = lim 𝑥→1 1 𝑥+1 = 1 2 𝑒

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7) 그림에서 원의 반지름이 𝑟 이고, 중심각 𝑥 가 radian 일 때, 다음을 답하라. 7-1) 삼각형 AOB, 부채꼴 AOB, 삼각형 AOT 의 면적을 각각 구하라.

 삼각형 AOB 의 면적: 1 2𝑂𝐴 · 𝐵𝐻 = 1 2𝑟 · 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1 2𝑟 2_{𝑠𝑖𝑛 𝑥}  부채꼴 AOB 의 면적: 1 2𝑟 2_𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 중식각이 𝜃 인 부채꼴의 면적 S = 1 2𝑟 2_𝜃  삼각형 AOT 의 면적: = 1 2𝑂𝐴 · 𝐴𝑇 = 1 2𝑟 · 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 1 2𝑟 2 _{𝑡𝑎𝑛 𝑥} 7-2) 위에서 구한 도형면적을 비교하여, lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1 이 됨을 증명하라. ℎ𝑖𝑛𝑡: △𝐴𝑂𝐵 < 부채꼴 𝐴𝑂𝐵 < △𝐴𝑂𝑇  1 2𝑟 2_{𝑠𝑖𝑛 𝑥 <} 1 2𝑟 2_{𝑥 <} 1 2𝑟 2 _{𝑡𝑎𝑛 𝑥}

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥 <} _{𝑥 <} _{𝑡𝑎𝑛 𝑥}

_{1 <} 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑥 는 1/4 분면의 각 이므로, 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≥ 0 부등호의 방향이 바뀌지 않음  𝑥 → 0 일 때, 위 부등식의 극한값: lim 𝑥→0 1 < 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 < lim𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < lim𝑥→0 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∴ 1 < lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 1 _𝑥→0lim 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1 𝑂 𝐵 𝐴 𝑥 𝑟 𝐻 𝑇

(7)

1-1. 평균변화율  증분  𝑥 의 증분 (𝑥 의 변화량): 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥 𝑜𝑟 𝑏 − 𝑎 = ∆𝑥  𝑦 의 증분 (𝑦 의 변화량): 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = ∆𝑦 𝑜𝑟 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = ∆𝑦  평균변화율  두변화량 (∆𝑥, ∆𝑦) 의 비 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) 𝑎+∆𝑥 −𝑎 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  평균변화율의 기하학적 의미 평균변화율은 점 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁)과 점 Q(𝑥₂, 𝑦₂)를 지나는 직선의 기울기 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 (지난 시간 강의 복습)

(8)

 𝑥 가 𝑎 에서 𝑎 + ∆𝑥 까지 변할 때 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  𝑥 = 𝑎 에서 평균변화율의 극한값 (∆𝑥 → 0 일 때)  lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 극한값이 존재하면, 𝑓(𝑥) 는 𝑥 = 𝑎 에서 미분가능  미분계수 𝑜𝑟 순간변화율  𝑥 = 𝑎 에서 평균변화율의 극한값 𝑑𝑦_𝑑𝑥 |_𝑥=𝑎 = 𝑓′ 𝑎 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = lim_𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  미분계수 𝑓′ 𝑎 의 기하학적 의미 𝑓′ _𝑎 _는_{𝑥 = 𝑎}_{에서 함수}_𝑓(𝑥)_{의 접선의 기울기.}  𝑥 = 𝑎 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)  도함수 or 미분 (derivative): 모든 𝑥 에서 평균변화율의 극한값이 존재함.  𝑓′ 𝑥 = lim 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) 미분의 정의 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎

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9 예제2) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 에 대해 다음을 구하라. (1) 구간 [1, 2] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 2 −𝑓(1) 2−1 = 22+2 − 12+1 1 = 4 (2) 두 점 (2, 𝑓(2)) 와 (1, 𝑓(1))을 통과하는 직선: 𝑦 − 𝑓 1 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 1 𝑜𝑟 𝑦 − 𝑓 2 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 2  𝑦 − 12 + 1 = 4 𝑥 − 1  𝑦 − 22 + 2 = 4 𝑥 − 2 (3) 𝑥 = 1 에서 𝑓 𝑥 의 미분계수를 정의에 의해 구하라 𝑓′ 1 = lim ∆𝑥→0 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{1 = lim} ∆𝑥→0 1+∆𝑥 2+ 1+∆𝑥 −{12+1} ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 (∆𝑥2+3∆𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ∆𝑥 + 3 = 3 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)′= _𝑑𝑥𝑑 𝑥2 + 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑓′ 1 = 2 + 1 = 3 (4) 𝑥 = 1 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1)  𝑓′ 1 = 3 & 𝑓 1 = 12 + 1 = 2 𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 1) ∴ 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 4𝑥 − 2

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2. 미분법 2-1. 대수함수의 미분법  미분의 정의로 도함수를 구하는 것은 매우 복잡함 미분의 정의: 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 예시) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 의 도함수 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2−4 −{𝑥2−4} ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 −4 − 𝑥2−4 ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥∆𝑥+∆𝑥2) ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥+∆𝑥)∆𝑥 ∆𝑥 = 2𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 − 4)′= 2𝑥  미분법 정리 (정의에 의해 구한 도합수의 결과를 유형별로 정리)  𝑓 𝑥 = 𝑐 이면, 𝑓′ 𝑥 = 0, (𝑐 는 상수)  𝑐𝑓 𝑥 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑥 , (𝑐 는 상수)  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥  𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔2_(𝑥) , (𝑔 ≠ 0)  𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 이면, 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1, (𝑛 은 정수)