우석대학교 에너지전기공학과

(1)

일반수학 (23~24)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

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6-6-2. 복소수의 n제곱근 (복습)

 이항방정식 (A 𝑛 = B ) 의 해법 정리

 복소수 A 와 B 가 다음과 같을 때: A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A ∠ φ, B = B𝑒}𝑖θ _{= B ∠ θ}

1) 좌변의 A 𝑛_{을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.}

A 𝑛 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎𝑛 _{= A}𝑛_{{cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin(𝑛𝜑)}}

2) 우변의 복소수 B 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환. B = B ∠(θ + 2𝑘𝜋) = B{cos(θ + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(θ + 2𝑘𝜋)} 3) A 𝑛 _{= B 에 의해 복소수 A 의 크기 A 와 편각 φ 를 구한다.}  크기: A𝑛 _{= B A= B}𝑛  편각: 𝑛𝜑 = θ + 2𝑘𝜋 𝜑 =θ+2𝑘𝜋_𝑛

4) 크기와 편각을 복소수 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.}

 위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각 θ 를 일반각 (즉, θ = θ + 2𝑘𝜋)으로 고치면, A 𝑘 = A ∠ 𝜑 = B𝑛 ∠θ+2𝑘𝜋_𝑛 = B𝑛 _(cosθ+2𝑘𝜋 𝑛 + 𝑖 sin θ+2𝑘𝜋 𝑛 ) , (단, 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)

(3)

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예제 1) 이항 방정식 A 3 = 1 의 세제곱근을 구하라.

1) 좌변의 A 3 을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.

A 3 _{= (A𝑒}𝑖𝜑₎3 _{= A}3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)}}

2) 이항방정식의 우변의 1 을 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환.

B = 1 = 1 ∠(0 + 2𝑘𝜋) = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)}, 단, 𝑘 = 0, 1, 2

3) A3_{{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)} = 1 ∙ {cos(2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(2𝑘𝜋)} 에 의해 복소수 A 의 크기 및 편각을 구한다.}

 크기: A3 _{= 1 A=1}

 편각: 3𝜑 = 2𝑘𝜋 𝜑 =2𝑘𝜋₃

4) 복소수의 크기와 편각을 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입한다.}

A _𝑘 = A ∠𝜑 = 1 ∠2𝑘𝜋₃ = cos2𝑘𝜋₃ + 𝑖 sin2𝑘𝜋₃ , (𝑘 = 0, 1, 2) 5) 주근 및 부근을 구하면,  주근: A ₀ = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1  부근: A 1 = cos2𝜋₃ + 𝑖 sin2𝜋₃ = − 1₂+ ₂3𝑖 A ₂ = cos4𝜋₃ + 𝑖 sin4𝜋₃ = − 1₂− ₂3𝑖 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ=120° A 0 A 2 A ₁ θ=120° θ=120°

(4)

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예제 2) A 3 = 2𝑖 인 복소수의 세제곱근을 구하라.

1) 좌변의 A 3 을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.

2) 이항방정식 우변의 2𝑖 를 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환. B = 2𝑖 = 2 ∠(𝜋 2+ 2𝑘𝜋) = 2 ∙ {cos( 𝜋 2 + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin( 𝜋 2+ 2𝑘𝜋)}

3) A3{cos 3𝜑 + 𝑖 sin(3𝜑)} = 2 ∙ {cos(𝜋₂+ 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(𝜋₂ + 2𝑘𝜋)} 에 의해 A 의 크기 및 편각을 구함.

 크기: A3 _{= 2 A= 2}3

 편각: 3𝜑 =𝜋₂ + 2𝑘𝜋 𝜑 =1₃ 𝜋₂+ 2𝑘𝜋 = 𝜋₆+2₃𝑘𝜋

4) 복소수의 크기와 편각을 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입}

A _𝑘 = A ∠𝜑 = 23 {cos(𝜋₆+2₃𝑘𝜋) + 𝑖 sin(𝜋₆+2₃𝑘𝜋)} , (𝑘 = 0, 1, 2) 5) 주근 및 부근을 구하면,  주근: A ₀ = 23 cos𝜋₆+ 𝑖 sin𝜋₆ = 23 (₂3+1₂𝑖)  부근: A ₁ = 23 (cos5𝜋₆ + 𝑖 sin5𝜋₆) = 23 (− ₂3+1₂𝑖) A 2 = 23 cos3𝜋₂ + 𝑖 sin3𝜋₂ = − 23 𝑖 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ=120° A ₀ A 2 A 1 θ=120° θ=120° θ=30°

(5)

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예제 3) A 4 = −16 인 복소수의 네제곱근을 구하라.

1) 좌변의 A 4_{을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.}

2) 이항방정식 우변의 −16을 극형식으로 변환하고, 각 θ 는 일반각 θ = θ + 2𝑘𝜋 로 변환.

B = −16 = 16 ∠(π + 2𝑘𝜋) = 16 ∙ {cos(π + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(π + 2𝑘𝜋)}

3) A4_{{cos 4𝜑 + 𝑖 sin(4𝜑)} = 16 ∙ {cos(π + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin(π + 2𝑘𝜋)} 에 의해 A 의 크기 및 편각을 구함.}

 크기: A4 _{= 16 A= 16}4 _{= 2}  편각_{: 4𝜑 = π + 2𝑘𝜋 𝜑 =}1 4 π + 2𝑘𝜋 = 𝜋 4 + 𝑘𝜋 2

4) 복소수의 크기와 편각을 A = A𝑒𝑖𝜑 _{= A(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)} 에 대입}

A _𝑘 = A ∠𝜑 = 2 {cos(𝜋₄+𝑘𝜋₂) + 𝑖 sin(𝜋₄+𝑘𝜋₂)} , (𝑘 = 0, 1, 2, 3) 5) 주근 및 부근을 구하면,  주근: A ₀ = 2 cos𝜋₄+ 𝑖 sin𝜋₄ = 2 ₂2+ ₂2𝑖 = 2(1 + 𝑖)  부근: A ₁ = 2(cos3𝜋₄ + 𝑖 sin3𝜋₄) = 2(− ₂2+ ₂2𝑖) = 2(−1 + 𝑖) A ₂ = 2 cos5𝜋₄ + 𝑖 sin5𝜋₄ = 2 − ₂2− ₂2𝑖 = 2 −1 − 𝑖 A ₃ = 2 cos7𝜋₄ + 𝑖 sin7𝜋₄ = 2 ₂2− ₂2𝑖 = 2(1 − 𝑖) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ=90° A ₀ A 2 A 1 θ=90° θ=90° θ=45°

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6 7. 방정식과 부등식 7-1. 방정식 (equation)  방정식의 정의 (definition)  방정식 (equation): 미지수를 포함하고 있는 등식  해 (solution): 방정식을 만족하는 미지수의 값  방정식 풀음 (solving): 방정식의 해를 구하는 것 ※ 이 절에서는 미지수를 한 개 만 포함하고 있는 방정식을 고려함.  방정식의 일반적인 형태  𝑓 𝑥 = 0 이고,  𝑓 𝑥 = 0의 해는 함수 𝑦 = 𝑓 𝑥 의 그래프와 𝑥축 (𝑦 = 0)이 만나는 점 (공유점)의 𝑥 좌표 임.  𝑓 𝑥 가 𝑛 차 다항식이면, 𝑓 𝑥 = 0 을 𝑛차 방정식이라 하며, 다음과 같이 표시함. 𝑎_𝑛𝑥𝑛 _{+ 𝑎} 𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0, (단, 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0은 상수)  등식의 기본성질  𝑎 = 𝑏 이고, 𝑏 = 𝑐 이면, 𝑎 = 𝑐 이다.  𝑎 = 𝑏 이면, 임의의 𝑐 에대해 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 이다.  𝑎 = 𝑏 이면, 임의의 𝑐 에대해 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 이다.

(7)

7 예제 1) 다음의 방정식을 풀어라. 1) 𝑥2_{− 2𝑥 + 3 = 0} 근의 공식: 𝑥 = −𝑏± 𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐 = 2± (−2)₂2−4×3= 2±2 −2₂ = 1 ± 2𝑖 2) 𝑥3 _{− 3𝑥}2 _{+ 5𝑥 − 3 = 0} 인수분해: 𝑥3_{− 3𝑥}2_{+ 5𝑥 − 3 = 0 = (𝑥 − 2)(𝑥}2_{− 2𝑥 + 3) = 0} 그러므로, _𝑥₁ _{= 2, 𝑥}₂ _{= 1 + 2𝑖, 𝑥}₃ _{= 1 − 2𝑖}