[수치해석및실습]01 테일러 다항식, 테일러 급수와 맥라우린 급수

(1)

테일러 다항식, 테일러 급수와 맥라우린 급수

1

개요

비선형 함수의 선형화

비선형 함수보다 선형 함수의 분석이 훨씬 용이함

테일러 다항식

테일러 급수와 맥라우린 급수

2

(2)

1계 테일러 다항식을 이용한 선형화

비선형 함수의 선형화

y가 x의 함수이고, x=a일 때 y와 y’을 알 수 있다고 가정

y(a)와 y’(a)를 사용하여 y(x)에 근사하는 선형 다항식 유도

p1(x): x=a에서 y(x)에 의해 발생된

1계 테일러 다항식 (first-order Taylor polynomial)

y(x): 생성함수 (generating function)

( )

1 0 1 ' 1 , 1 ' p x c c x p a y a p a y a = + = =

( )

0 ' , 1 ' c =y a −ay a c =y a

( )

( )(

)

1 ' p x =y a +y a x a− 3

1계 테일러 다항식을 이용한 선형화

점 Q에서의 1계 테일러 다항식 점 Q에서의 접선 방정식

그림 18-1 x=a에 근접하는 x값에 대해 y(x)와 p1(x)는 유사함 비선형 함수인 y(x)보다 선형 함수인 p1(x)를 다루기 쉽다 4

(3)

선형화

미분/적분의 선형성

두 함수 합의 미분/적분은 각 함수 미분/적분의 합

선형모델 vs. 비선형모델

(

)

x g x f g f dx d δ δ δ δ ₊ = +

_∫

f+gdx=

_∫

fdx+

_∫

gdx y=ax 1 1 2 2 y ax y ax = = a x

(

1+x2

)

= y1+y2 2 y=ax 2 1 1 2 2 2 y ax y ax = =

(

)

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 a x x ax ax ax x y y + = + + ≠ + 5

2계 테일러 다항식

2계 테일러 다항식의 유도

y(a), y’(a) 와 y’’(a)를 알고 있다면

p2(x): x=a 근처에서 y에 의해 발생된

2계 테일러 다항식 (second-order Taylor polynomial)

( )

2 2 0 1 2 ' '' 2 , 2 ' , 2 '' p x c c x c x p a y a p a y a p a y a = + + = = =

( )

2

( )

0 1 2 '' ' '' , ' '' , 2 2 y a a c =y a −ay a + y a c =y a −ay a c =

( )

( )(

)

( ) (

)

2 2 ' '' 2 x a p x =y a +y a x a− +y a − 6

(4)

N

계 테일러 다항식

함수 y와 x=a에서 계산되는 처음 n개의 도함수들

n계 테일러 다항식 (n-th order Taylor polynomial)

( )

_, _'

( )

_, _''

( )

_,..., ( )n

_{( )}

y a y a y a y a

( )

( )(

)

( ) (

)

( )

_{( ) (}

)

( )

_{( ) (}

)

2 3 3 ' '' 2 3! ... ! n n n x a x a p x y a y a x a y a y a x a y a n − − = + − + + − + +

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

' 3 3 '' , ' '' , ... n n n n n n n p a y a p a y a p a y a p a y a p a y a = = = = = 7

N

계 테일러 다항식

예제 18.10

y=ex 와 테일러 다항식의 그래프 8

(5)

테일러 공식과 나머지 항

테일러 다항식에 대한 질문

x=a에서 y(x)에 의해 발생된 테일러 다항식은 x=a가 아닌 다른 점들에서 y(x)에 얼마나 근접할 것인가

테일러 다항식에 보다 많은 항들을 사용한다면 (n계 테일러 다항식에서 n을

크게 한다면), y(x)에 더욱 근접할 수 있을 것인가

테일러 공식

: n계 나머지 (remainder of order n) 또는 오차항 (error term)

c: a와 x의 사이에 있는 임의의 수

( )

n

( )

n

( )

y x =p x +R x

( )

n R x

( )

( )(

₍

₎

)

1 1 1 ! n n n y c x a R x n + + ₋ = + 9

테일러와 맥라우린 급수

테일러 급수 (Taylor series)

테일러 다항식에 포함된 항이 많아질 수록 얻게 되는 무한 급수

테일러 급수와 생성 함수

x의 모든 값에 대해 n∞에 따라 Rn(x)0이 되면 테일러 급수 p(x)와 생성함수 y(x)는 모든 x에 대해 동일하다 구간 (α, β)의 x 값들에 대해 n∞에 따라 Rn(x)0이 되면 테일러 급수 p(x)와 생성함수 y(x)는 구간 (α, β) 상의 x에 대해 동일하다. 구 간 (α, β) 이외의 x에 대해서 p(x)와 y(x)의 값들은 다르다. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )_{( ) (} ) ( )_{( ) (} ) 2 3 3 ' '' 2 3! ... ... ! n n x a x a p x y a y a x a y a y a x a y a n − − = + − + + − + + + 10

(6)

테일러와 맥라우린 급수

맥라우린 급수 (Maclaurin series)

테일러 급수의 특별한 경우 (a=0인 경우) 중요한 맥라우린 급수 모든 x에 대해

( )

2 ( )3

_{( )}

3 ( )

_{( )}

0 ' 0 '' 0 0 ... 0 ... 2 3! ! n n x x x p x y y x y y y n = + + + + + + 2 3 4 3 5 7 2 4 6 1 ... 2 3! 4! sin ... 3! 5! 7! cos 1 ... 2! 4! 6! x x x x e x x x x x x x x x x = + + + + + = − + − + = − + − + 11

HW

연습문제: 18.2.4, 18.3.3, 18.4.5, 18.5.5, 18.6.5

Due: 2012.09.17 (월)

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