우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (14)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(퀴즈3 검토) 1) 다음의 극한값을 구하라. 1-1) lim 𝑥→0 1 sin 𝑥 = lim𝑥→0 1 sin 𝑥 𝑥 = 1 1-2) lim 𝑥→1 3𝑥 2(𝑥−1) = 31 2(1−1) = 31 20 = 3 1-3) lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 2𝑥 ※ note: lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑜𝑟 lim 𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒 ∴ lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 2𝑥 = lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 2 = 𝑒2 2) 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥2_𝑥−1+𝑥−2 이 𝑥 = 2 에서 연속인지 확인하라.  𝑥 = 2 에서 함수 값이 존재: 𝑓 2 = 22₂₋₁+2−2= 4  𝑥 = 2 에서 극한값이 존재: lim 𝑥→2 22+2−2 2−1 = 22+2−2 2−1 = 4  함수 값 = 극한 값 (not 좌극한 = 우극한) : 𝑓 2 = lim 𝑥→2 22+2−2 2−1 = 4 퀴즈3 검토

(지난 시간 복습) 5-1-3. 음함수의 미분법  음함수: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 의 형태로 주어졌을 때 𝑦 를 𝑥 의 음함수.  음함수의 미분: 양함수 𝑦 = 𝑓(𝑥) 형태로 변환하지 않고 합성함수의 미분으로 직접구함.  𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑 𝑑𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥  예제) 함수 𝑦2_𝑥2 _{= 1 의 미분} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 을 구하라.  𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2_{− 1 = 0} 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2 ₋ 𝑑 𝑑𝑥 1 = 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 2_𝑥2 _{= 0}  i) 곱의 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2𝑥2 = 𝑥2∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2 + 𝑦2 ∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 = 𝑥2∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2 + 𝑦2∙ 2𝑥

 ii) Chain Rule: 𝑑

𝑑𝑥 𝑦 2 ₌ 𝑑 𝑑𝑦 𝑦 2 _∙𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥  i) & ii) 로 부터: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2𝑥2 = 𝑥2∙ 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑦2∙ 2 = 0 ∴ 𝑥2∙ 2𝑦𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 𝑦2∙ 2𝑥 = 0 𝑥2 ∙ 2𝑦𝑑𝑦_𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦2 Finally, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 2𝑥𝑦2 2𝑦𝑥2 복습

5-1-4. 역함수의 미분법  역함수의 미분 또한 음함수의 미분과 같은 방법으로 미분  예제) 함수 𝑦 = 𝑥3_{+ 2𝑥 의 역함수를 미분하라.}  𝑦 = 𝑥3_{+ 2𝑥 의 역함수: 𝑥 = 𝑦}3 _{+ 2𝑦}  역함수의 미분: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑦 3 _{+ 2𝑦} 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 3 _{+ 2𝑦 1 =} 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 3_{+ 2𝑦}  Chain Rule: 𝑑 𝑑𝑥 𝑦3+ 2𝑦 = 𝑑 𝑑𝑦 𝑦3 + 2𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦2+ 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∴ 1 = 3𝑦2 _{+ 2} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 3𝑦2₊₂ 5-1-5. 매개변수함수의 미분법  매개변수 함수 미분  𝑥 와 𝑦가 각각 𝑡의 함수 일 때, 즉 𝑥 = 𝑓 𝑡 & 𝑦 = 𝑔(𝑡)  매개변수로 표현된 함수의 미분법. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 · 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝑔_𝑓′_′(𝑡)(𝑡) (단, 𝑓′ _{𝑡 ≠ 0}

₎

5-2. 초월함수의 미분 5-2-1. 삼각함수의 미분  삼각함수의 도함수  𝑦 = sin 𝑥 𝑦′ = cos 𝑥  𝑦 = cos 𝑥 𝑦′ _{= − sin 𝑥}  𝑦 = tan 𝑥 𝑦′ = sec2_𝑥  𝑦 = cot 𝑥 𝑦′ = − csc2𝑥  𝑦 = sec 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 tan 𝑥  𝑦 = csc 𝑥 𝑦′ _{= − csc 𝑥 cot 𝑥}

5-2-1. 삼각함수의 미분  𝑦 = sin 𝑥 의 도함수 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 sin(𝑥+∆𝑥)−sin 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 2 cos 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂ ∆𝑥

※ 삼각함수의 합과 차를 곱으로 변환하는 공식: sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos 𝐴+𝐵₂ sin 𝐴−𝐵₂ sin(𝑥 + ∆𝑥) − sin 𝑥 = 2 cos 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂ = 2 cos 2𝑥+∆𝑥₂ sin ∆𝑥₂

∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 2 cos 2𝑥+∆𝑥₂ sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 · 2sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 · sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = lim ∆𝑥→0cos 2𝑥+∆𝑥 2 = cos 𝑥 5. 미분법

 𝑦 = cos 𝑥 의 도함수 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 cos(𝑥+∆𝑥)−cos 𝑥 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −2 sin 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂ ∆𝑥

※ 삼각함수의 합과 차를 곱으로 변환하는 공식: cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin 𝐴+𝐵₂ sin 𝐴−𝐵₂ cos(𝑥 + ∆𝑥) − cos 𝑥 = −2 sin 𝑥+∆𝑥+𝑥₂ sin 𝑥+∆𝑥−𝑥₂

∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0 −2 sin 2𝑥+∆𝑥₂ sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 −sin 2𝑥+∆𝑥 2 · 2sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −sin 2𝑥+∆𝑥 2 · sin ∆𝑥₂ ∆𝑥 2 = lim ∆𝑥→0 − sin 2𝑥+∆𝑥 2 = −sin 𝑥 𝑜𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 cos 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 sin 𝑥 + 𝜋 2 = cos 𝑥 + 𝜋 2 = − sin 𝑥 5. 미분법