학부 2011-1학기 전자기학 중간 답안지

(1)

다음 문제에

문제에

문제에 대하여

대하여

대하여 답하시오

대하여

답하시오

_{답하시오.}

답하시오

1.다음은

다음은

다음은 Maxwell 방정식이다

방정식이다

방정식이다. 물음에

물음에

물음에 답하시오

답하시오

답하시오.(30)

①

① E, H, D, B 의

의

의 단위와

의

단위와

단위와 이들

단위와

이들

이들 사이의

이들

사이의 관계를

사이의

관계를

관계를 나타내는

나타내는

나타내는 보조식

보조식

_{보조식 3개는}

개는

_{개는 ?}

2011_1

2011_1 전기자기학

전기자기학

전기자기학 중간고사

전기자기학

중간고사

중간고사 답안지

답안지

E 전계전계전계_{전계, 전기력선}전기력선전기력선전기력선 밀도밀도밀도밀도 _V/m _N/C _Lines/m2 H 자계자계, 자기력선자계자계 자기력선자기력선자기력선 밀도밀도밀도밀도 _A/m _N/Wb _Lines/m2 D 전속밀도전속밀도전속밀도_{전속밀도, 전속선}전속선전속선전속선 밀도밀도밀도밀도 C/m2 _- _Lines/m2 B 자속밀도자속밀도자속밀도_{자속밀도, 자속선}자속선자속선자속선 밀도밀도밀도밀도 _Wb/m2 T=104 Gauss Lines/m 2

도전률

투자율

유전률

법칙

의

:

,

:

,

:

)

σ

µ

ε

σ

µ

ε

E

B

H

J

E

Ohm

D

=

,

=

,

=

(

0 ,

,

∇

⋅

=

∇

⋅

=

∂

+

=

×

∇

∂

−

=

×

∇

D

B

t

D

J

H

t

B

E

r

ρ

②

② 1번째

번째

번째 수식의

수식의

수식의 물리적

물리적

물리적 의미는

의미는? (그림을

의미는

그림을

그림을 포함해서

포함해서

포함해서 자세히

자세히

자세히 기술하시오

기술하시오

기술하시오)

일반적인 Maxwell 방정식 미분형 물리적 근거 적분형 Faraday 법칙 Ampere 법칙 Gauss 법칙 독립된 자극은 없음

t

∂

−

=

×

∇

E

B

t

∂

+

=

×

∇

H

J

D

v

ρ

=

⋅

∇ D

0 B

=

⋅

∇

∫

∂

Φ

∂

−

=

⋅

L _t d l E   _      L S d t I d

s

D

l

H

∫

⋅

=

S

D

ds

Q

∫

⋅

=

S

d

s

0 B

(2)

○ 단위면적당 전계의 회전량은 쇄교 자속의 변화에 반비례한다 . Faraday 법칙. 즉, 아래 그림과 같이 루프 도선(또는 물질)에 자속이 쇄교하고 있고 자속의 변화가 없으면 회전 전계(유기 기전력)이 발생하지 않는다. 그러나 자속이 시간에 따라 변 화(여기서는 증가)하면 변화된 자속량을 상쇄하기 위한 자속을 만들기 위해 유기 기전력이 발생한다

)

(

)

(

:

ds

t

B

t

l

d

E

V

s C emf

⋅

∂

−

=

∂

−

=

⋅

=

∫

φ

∫

기전력

유기

N S 고정

I

V

_emf

= 0

=

N S

I

V

_emf

≠ 0

≠

이동 ) (t ∆Φ ) (t ∆Φ − 유도전류 유도전류유도전류 유도전류 I N S

I

V

_emf

≠ 0

≠

) (t ∆Φ ) (t ∆Φ − 유도전류 유도전류 유도전류 유도전류 I 이동

③

③ 2번째

번째

번째 수식의

번째

수식의

수식의 물리적

수식의

물리적

물리적 의미는

의미는? (그림을

의미는

그림을

그림을 포함해서

포함해서

포함해서 자세히

포함해서

자세히

자세히 기술하시오

기술하시오

기술하시오)

기술하시오

○ Ampere 의 오른손 법칙 : 오른손 엄지 손가락 방향으로 전류가 흐르면, 주변에 나머지 손가락으로 감싸는 방향에 자계 발생

nI

l

d

H

J

H

C

=

⋅

⇒

=

×

∇

∫

직류전류 직류전류직류전류 직류전류 자계 자계 자계 자계 직선도선 직선도선직선도선 직선도선 전류가 흐르는 방향 전류가 흐르는 방향전류가 흐르는 방향 전류가 흐르는 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 형성된 자계의 방향 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 책의 안쪽에서 흘러나오는 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 형성된 자계 형성된 자계 형성된 자계 형성된 자계 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 책의 안쪽으로 흘러들어가는 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 방향의 전류 형성된 자계 형성된 자계형성된 자계 형성된 자계

(3)

○ 변위전류 Ampere (displacement current) : 자속 밀도의 시간 변화에 의해서 발 생하는 전류로써 실제 도선에 흐르는 전도 전류와 달리 가상의 전류임.

④

④ 3번째

번째

번째 수식의

번째

수식의

수식의 물리적

수식의

물리적

물리적 의미는

_{의미는? (그림을}

의미는

그림을

그림을 포함해서

포함해서

포함해서 자세히

자세히

자세히 기술하시오

자세히

기술하시오

_{기술하시오)}

기술하시오

○ 단위체적당 발산하는 전속선의 수는 단위체적당의 전하량(체적전하밀도)와 같다는 것을 의미하며, 발산정리를 이용해 적분하면 Gauss 법칙이 된다. t ∂ ∂ = D

J_d _{[변위전류밀도 (displacement current density)]}

~

+ + + + +

-~

+ + + + + -H × ∇ H × ∇

⑤

⑤ 4번째

번째

번째 수식의

번째

수식의

수식의 물리적

수식의

물리적

물리적 의미는

_{의미는? (그림을}

의미는

그림을

그림을 포함해서

포함해서

포함해서 자세히

자세히

자세히 기술하시오

자세히

기술하시오

_{기술하시오)}

기술하시오

○ 임의의 면적 S 를 통과하는 자속 : – 자속 단위 : Wb (Weber) 또는 H

A – 자속밀도 단위 : Wb/m2 ○ 임의의 폐곡면 S 를 통과하는 총 자속은 항상 0 따라서, – 자연계에 N 극 또는 S 극 하나만을 갖는 독립된 자하(magnetic charge)가 존 재하지 않음 (자속의 연속성) – 전류의 관점 : 모든 전류는 폐회로를 따라서만 흐름

∫

⋅

=

S

B

d

s

Φ

0 =

⋅

∇

=

⋅

∫

_S

B

d

s

_V

B

dv

⇒

∇

⋅

B

=

0

] [C lines Q s d D D S v ⇒ ⋅ = = = ⋅ ∇

ρ

∫∫

(4)

⑥

⑥ 발산정리를

발산정리를

발산정리를 쓰고

쓰고

쓰고, 수식이

쓰고

수식이 의미하는

수식이

의미하는

의미하는 바를

바를

바를 설명하시오

설명하시오

설명하시오.

설명하시오

○ 벡터의 발산(divergence) 표면적이 S 인 미소체적

⊗

v 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 ∆v 로 나눈 스칼라 값

○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem)

임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면 S 를 통해 빠져나가 는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐방 표면을 통해서 빠져나 가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르거나 쪼그라짐)

⑦

⑦ Stokes 정리를

정리를

정리를 쓰고

쓰고

_{쓰고, 수식이}

수식이 의미하는

수식이

의미하는

의미하는 바를

의미하는

바를

바를 설명하시오

바를

설명하시오

○ 벡터의 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 P P _P (a) 양의 발산

(b) 음의 발산

(c) 0의 발산 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P v s d A A S v ∆ ⋅ = ⋅ ∇

∫

→ ∆ r r r

lim

0 정의 수학적 ] [

dv

A

s

d

A

V S

r

∫

⋅

=

∇

⋅

∆S L 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(Stokes theorem) : 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선적분은 면적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분

⑧

⑧ 2개의

개의

개의 항등식을

항등식을

항등식을 쓰고

쓰고

_{쓰고, 수식이}

수식이 의미하는

수식이

의미하는

의미하는 바를

바를

바를 설명하시오

바를

설명하시오

_{설명하시오.}

: 스칼라계의 기울기의 회전은 0이다. : 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다. P 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 회전 벡터의 방향 P 0 ) (∇ ≡ × ∇ V 0 ) (∇× ≡ ⋅ ∇ A A × ∇ 면 면면 면S s d l d L 폐곡선 폐곡선 폐곡선 폐곡선 미소면적 미소면적 미소면적 미소면적 미소길이 미소길이미소길이 미소길이

+

=

n s l d A Lim A L s 0 ˆ        ∆ ⋅ = × ∇

∫

→ ∆ r v r

∫

∇

×

⋅

=

⋅

L S

A

d

s

A

d

l

r

)

(

(5)

⑨

⑨ 매질

매질

매질 상수에

상수에

상수에 대해

대해

대해 설명하시오

대해

설명하시오

설명하시오.

○ ○ ○ ○ 유전율(permittivity):

ε

물질 내에서 발생하는 전기적 분극(polarization)의 정도를 나타내는 물질 상수로써 엡실론(epsilon)이라고 읽음. 아무런 매질도 없는 자유공간에서의 유전율은 특별히 구분하여 표시함 ○ 투자율(permeability) :

µ

물질 내에서 발생하는 자기적 분극(polarization)의 정도를 나타내는 물질 상수로써 뮤(mu)라고 읽음. 아무런 매질도 없는 자유공간에서의 투자율은 특별히 구분하여 표시함 m F .854 10 / 8 10 36 1 9 12 0 − − × = × =

π

ε

인가 전계 인가 전계인가 전계 인가 전계 유전체 유전체 유전체 유전체 유전체 분극에 의해 유전체 분극에 의해유전체 분극에 의해 유전체 분극에 의해 발생한 전계 발생한 전계 발생한 전계 발생한 전계 (전기적 극성 발생) (전기적 극성 발생)(전기적 극성 발생) (전기적 극성 발생) 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 유전체 내부의 총전계 = 인가 전계 - 분극에 의해 발생한 전계 E D=

ε

m H / 10 4 × −7 =

π

µ

SSSS 표시함 ○ 도전율(conductivity): σ 물질 내에서 전류가 흐르기 쉬운 정도를 나타내는 물질 상수로써, 시그마(sigma)라 고 읽음. 도체 내에 있는 자유전자는 전계에 비례하여 이동속도 증가. - 도전율이 높 으면 전기가 잘 통하는 매질임. 매질이 없는 경우, 즉 진공에서는 당연히 도전율이 0임. 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 직류 전류 밀도 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 일정 속도로 이동중인 자유전자 자유전자자유전자 자유전자 외부 인가 전계 외부 인가 전계외부 인가 전계 외부 인가 전계E J 도선 도선도선 도선 σ E J =

σ

m H / 10 4 7 0 − × =

π

µ

자기 쌍극자 자기 쌍극자 자기 쌍극자 자기 쌍극자 자성체 자성체 자성체 자성체 외부 인가 자계 외부 인가 자계 외부 인가 자계 외부 인가 자계 자성체 자성체 자성체 자성체 SSSS 외부외부외부외부 NNNN 외부외부외부외부 (a) 외부자계가 없는 경우 (b) 외부자계가 있는 경우 H B=

µ

(6)

2. 다음

다음 물음에

물음에

물음에 답하시오

물음에

답하시오

답하시오.(20)

답하시오

①

① A·B = -8 + 0 - 3 = -11

②

② A×

×

× B =

×

③

④

④ 벡터를

벡터를

벡터를 사용해

사용해

사용해 삼각형의

사용해

삼각형의

삼각형의 코싸인

코싸인 법칙

코싸인

법칙

_법칙(

법칙

_)을

을

을 증명

증명

하시오

하시오.

여기서, θ_AB는 벡터 A와 B가 이루는 각 중에 작은 각으로, 이것은 (180o_{-α)와 같} 으므로

따라서,

3. 다음의

다음의

다음의 일반식을

일반식을

일반식을 쓰고

일반식을

쓰고, 의미하는

쓰고

의미하는

의미하는 바를

의미하는

바를

바를 설명하시오

설명하시오

설명하시오(15)

설명하시오

)

3

4

2

2 (

A

=

A

=

−

a

_x

−

a

_y

+

a

_z

B

=

B

=

a

_x

−

a

_z

r

z y x z y x z y x a a a a a a a a a 8 2 6 )) 8 ( 0 ( ) 4 6 ( ) 0 6 ( 3 0 4 1 2 2 = − − − + − − = − + − − − α cos 2 2 2 AB B A C= + − AB

AB

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

C

θ

cos

2

2 )

(

)

(

2 2 2

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

=

⋅

=

r

α

θ

cos(

180 )

cos

=

o

−

=

−

AB

α

cos

2

2 2 2

AB

B

A

C

=

+

−

o AB AB AB rad AB 137 15 11 cos 11 cos ) 3 ( 4 1 ) 2 ( ) 2 ( cos = − 2+ − 2+ 2 2+ − 2 =− ∴ =− = = ⋅B θ θ θ A

3. 다음의

다음의

다음의 일반식을

일반식을

일반식을 쓰고

일반식을

쓰고, 의미하는

쓰고

의미하는

의미하는 바를

의미하는

바를

바를 설명하시오

설명하시오

설명하시오(15)

설명하시오

3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1

3

2

1 ˆ

ˆ

1 :

.

3 )]

(

3 )

(

2 )

(

1 [

1 :

.

2

3 ˆ

2 ˆ

1 ˆ

:

.

1

u u u u u u u u u u u u

A

h

A

h

A

h

u

a

h

A

h

u

A

h

u

A

h

u

h

A

u

h

V

a

u

h

V

a

u

h

V

a

V

∂

=

×

∇

∂

+

∂

+

∂

≡

⋅

∇

∂

+

∂

+

∂

≡

∇

r

curl

divergence

gradient

한 점에 있어서 스칼라계의 최대 기울기 단위체적당 발산하는 선속수 단위면적당 회전량

(7)

4. 기본적인

기본적인

기본적인 3개의

개의

개의 직교

직교

직교 좌표계에서

직교

좌표계에서 다음

좌표계에서

다음 물음에

물음에

물음에 답하시오

답하시오

답하시오. (20)

①

① 각

각

각 좌표계에

좌표계에

좌표계에 대한

대한

대한 기저벡터

기저벡터

기저벡터, 미터식

기저벡터

미터식 계수

미터식

계수

계수, 미소

계수

미소

미소 체적을

체적을

체적을 쓰시오

쓰시오

쓰시오.

②

② 공간

공간

공간 변수

공간

변수

변수(x, y, z), (r, φ

변수

φ

φ, z) (R, θ

φ

θ

θ, φ

φ)들의

φ

들의

들의 관계를

관계를

관계를 그림으로

그림으로

그림으로 나타내시오

나타내시오

나타내시오.

직교좌표계 직교좌표계 직교좌표계

직교좌표계(Orthogonal Coordinate System)

(u1, u2, u3)

직각좌표계 직각좌표계직각좌표계 직각좌표계 Cartesian (x, y, z) 원통좌표계 원통좌표계 원통좌표계 원통좌표계 Cylindrical (r, φφφφ,z) 구좌표계 구좌표계구좌표계 구좌표계 Spherical (R, θθθθ, φφφ)φ Base Vector â_u1 â_u2 â_u3 â_x â_y â_z â_r â_φ_φ_φ_φ â_z â_R â_θ_θ_θ_θ â_φ_φ_φ_φ 미터식 미터식 미터식 미터식 계수 계수 계수 계수 h₁ h₂ h₃ 1 1 1 1 r 1 1 R R sin θθθθ 미소체적 미소체적 미소체적 미소체적 _dv _{dx dy dz} _{r dr d}

_φφ

_φ

_dz _R2_sin

_θ

_θθ

_{dR d}

_θ

_θθ

_θ

_d

_φφ

_φ

θ

sin R r= z

③

③ 원통

원통

원통 좌표계를

좌표계를

좌표계를 직각

좌표계를

직각

직각 좌표계로

직각

좌표계로 변환하는

좌표계로

변환하는

변환하는 식을

식을

식을 유도하시오

식을

유도하시오

_{유도하시오.}

○ ○ ○ ○ 원통좌표계에 있어서 벡터 A의 표현 : 직각좌표계에 있어서 벡터 A의 표현 : 따라서,

φ

θ

φ sin r y=

θ

sin R r= r φ cos r x= R z=Rcosθ x y z z r rA a A a A a A= ˆ + ˆ + ˆ = _φ _φ r A z z y y x xA a A a A a A= ˆ + ˆ + ˆ = r A

φ

π

φ

φ φ φ φ φ φ sin cos ) 2 cos( cos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a a A a a A a a A a a A a a A a A A r r x x r r x z z x x r r x x − = + + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = r

(8)

마찬가지로 그러므로

④

④ 직각

직각

직각 및

직각

및

및 구좌표에서

및

구좌표에서

구좌표에서 임의의

구좌표에서

임의의

임의의 점까지의

점까지의 위치벡터에

점까지의

위치벡터에

위치벡터에 대한

대한

대한 발산을

발산을

발산을 구하시오

구하시오

구하시오.

(반드시

반드시

반드시 유도

유도

유도 과정을

과정을

과정을 기술하시오

기술하시오

_{기술하시오)}

a) 직각좌표에서 임의의 한 점(x, y, z)의 위치벡터에 대한 수식은 φ φ φ φ π φ φ φ φ φ φ sin sin cos ) 2 cos( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a a A a a A a a A a a A a a A a A A r r y y r r y z z y y r r y y + = + − = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = r                     − =           z r z y x A A A A A A φ

φ

1 0 0 0 cos sin 0 sin cos φ r φ x a y a r a φ a y x

0

3 =

∂

+

∂

+

∂

=

⋅

∇

⇒

+

=

z

y

x

A

z

y

x

A

r

z y x

a

A

b) 구좌표에서 임의의 한 점(R, 0, 0)의 위치벡터에 대한 수식은

(

)

(

)

( )

3

1 sin

sin

1

3 2 2 2

=

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

⋅

∇

⇒

=

R

A

R

A

R

A

R

A

R

A

R R

φ

θ

φ θ

r

R R

a

A

(9)

5. 다음과

다음과

다음과 같이

다음과

같이

_{같이 V가}

같이

가

가 주어질

가

주어질 때

주어질

때

_때,

때

를

를 구하시오

를

구하시오

_{구하시오. (10)}

구하시오

① ① ① ① ② ②② ②

③

) ( V E= −∇ r

4 sin

2 e

2

y

V

=

− x

π

φ

cos

4r

V

=

x y x x x y x x z y x e y e y e y y y e z y x V E 2 2 2 2 4 cos 2 4 sin 4 2 4 cos 4 4 sin ) 2 ( 4 sin 2 ] [ − − − − − =       + − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −∇ = =

π

a a a a a a a E r

θ

sin

4 R

2

V

=

(

θ

)

θ

φ

θ

θ θ φ θ sin 4 cos 8 sin 4 cos 8 cos 4 ] sin [ 2 R R R R R R R R V E R R R a a a a a a a E + − = − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −∇ = = r

(

φ

)

φ

φ φ φ sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 cos 3 ] [ a a a a a a a E + − = − − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −∇ = = r r z r r z r r V E r