제3장 효용이론
박 성 훈
park@chosun.ac.kr
목차
3.1 효용과 효용함수 3.2 한계효용이론
3.3. 무차별곡선이론
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3.1 효용과 효용함수
▣ 효용함수의 의미
▪ 네 가지 공리가 충족되면 우리는 선호체계를 효용함수 로 표현할 수 있다.
▪ 선호체계는 추상적인 반면, 효용함수는 각 상품묶음이 주는 효용의 수준을 구체적인 숫자로 나타내 준다.
(선호체계만을 분석하는 것보다 편리한 분석수단)
▣ 효용함수:
U
=u
(x
, y)▪ 소비자가 얻는 효용의 크기를 소비하는 각 상품묶음의 관계로 표시한 함수
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▣ 기수적 효용과 서수적 효용
▪ 서수(ordinal number)
첫째, 둘째, 셋째 등과 같이 순서만을 재는 수
▪ 기수(cardinal number)
1, 2, 3 등과 같이 순서와 크기를 재는 수
□ 서수적 효용(ordinal utility)
▪ 효용함수가 선호관계를 대표한다는 정의를 살펴보면, U(A)와 U(B)사이의 서수적 성질만을 사용하고 있음.
▪ 순서를 나타내는 숫자의 성질만 갖고 있는 효용
□ 기수적 효용(cardinal utility)
▪ 기수적 성질을 갖고 있는 효용
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▪ 한계효용학파의 창시자로 일컬어지는
제본스, 멩거, 왈라스 등은 기수적 의미에서의 효용이 경제이론의 중요부분을 통합하는데 결정적으로 기여
▪ 그러나 사람들의 주관적인 만족감을 구체적인 단위로 측정하는 것이 가능하지도 않을 뿐 아니라
이론적 작업을 위해 반드시 필요하지 않다는 지적이 나옴.
▪ 파레토는 기수적 효용을 전제하지 않더라도
무차별곡선이라는 분석도구를 사용하면 소비자이론의 모든 결과를 아무 지장 없이 도출할 수 있음을 시사.
(슬러츠키와 힉스 등에 의해 발전)
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□ 효용의 개념(서수적 효용)
두 개의 상품(쌀, 옷)이 있고
상품묶음 A는 쌀 5단위와 옷 2단위
상품묶음 B는 쌀 3단위와 옷 7단위로 구성된다고 가정하자.
▪ 만약 B를 A보다 더 선호한다면,
효용함수는 B의 효용을 나타내는 숫자가 A의 효용보다 더 크다는 것을 의미한다.
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▪ eg. 1
한 효용함수(U 1 )이 있을 때,
상품묶음 A에는 5의 함수 값을 부여하고
상품묶음 B에는 15의 함수 값을 부여한다면, 즉 U 1 (A) = 5, U 1 (B) = 15
이라면
이 효용함수는 B의 효용이 A의 효용보다 더 크 다 고 판정하고 있으므로 소비자의 선호관계를 올바르게 대표하고 있는 셈이다.
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▪ eg. 2
다른 하나의 효용함수(U 2 )이 있을 때,
상품묶음 A에는 72의 함수 값을 부여하고
상품묶음B에는 73의 함수 값을 부여한다면, 즉 U 2 (A) = 72, U 2 (B) = 73
이라면
이 효용함수 또한 B의 효용이 A의 효용보다 더 크다고 판정되기 때문에 소비자의 선호관계를 올바르게 대표하고 있는 셈이다.
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▪ eg. 2와 같은 경우
경제분석의 관점에서 보면
“효용함수(U 1 ) 와 효용함수(U 2 ) 사이에는 아 무런 실질적인 차이가 없다”
라고 말할 수 있다.
물론 이 두 효용함수가 모든 측면에서 똑같다 는 것이 아니라 우리가 중요하게 생각하는 것 은 두 효용함수 모두 A보다 B가 더 높은 효용 수준을 부여하고 있다는 사실이다.
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B A ⇔ U 1 (B) > U 1 (A) B A ⇔ U 2 (B) > U 2 (A)
☞ 우리는
각 상품묶음의 선호순서에만 관심을 가질 뿐 효용의 절대적 수준이나 상품묶음 사이의 효용 차이에 대해 전혀 관심을 갖지 않는다.
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쌀과 옷의 양이
각각 x, y로 주어졌을 때 효용수준을
그 둘의 곱으로 나타내는 다음과 같은
서수적 효용함수가 있다 고 가정하자.
옷
0
쌀B(3,7)
A(5,2)
∙
∙
y x
U ˆ
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A점이 의미하는 상품의 묶음은 10단위의 효용,
B는 21단위의 효용을 준다.
이처럼 효용함수를 통해 제 1 상한에 나타나 있는 모든 점들에 대해 그것이 대표하는 상품묶음의 효용 수준을 알아낼 수 있다.
(옷)
(쌀)
0
7
∙
U(x,y)
3
∙
∙ ∙
a 2
b
10 21
B
A 5
y x y
x U
U ˆ ( , )
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나아가 수평면 상의 모든 상품 묶음에 대해 같은 절차를 취하 면, 효용수준을 나타내는 막대 들이 빽빽이 들어찬 모양이 위 에서 보면 텐트의 옆 부분 같이 되는데 이 곡면을 효용곡면이 라 한다.
☞ 이 3차원의 효용곡면을 2차 원의 그림으로 옮겨 놓은 것이 무차별곡선이다.
무차별지도:
무차별곡선은 소비자에게 똑같 은 효용의 크기를 주는 상품묶 음들의 집합
y x y
x U
U ˆ ( , )
(옷)
(쌀)
0
7
∙
U(x,y)
3
∙
∙ ∙
a 2
b
10 21
B
A 5
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▣ 효용과 한계효용
선호체계의 공리 중에서 강단조성을 한계효용의 개념 을 이용해서 표시하면 편리하다.
▪ U(x, y)와 같이 두 개 이상의 변수가 있는 경우, ‘한계’는 다른 변수들을 고정시켜 놓고
(세테리스-파리부스의 가정을 기억하라!)
특정 변수에 대해서 편미분을 함으로써 얻어진다.
X 재화의 한계효용: , Y 재화의 한계효용: ,
3.2 한계효용 이론
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□ 강단조성
, ,
□ 한계효용체감의 법칙
, , ,
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▣
무차별곡선(선호체계의 기본공리와 밀접한 관련)
3.3 무차별곡선 이론
(2,3) (2,2) (4,1)
x y
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U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
x y
Utility
효용함수와 무차별곡선
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효용함수와 무차별곡선
Higher indifference curves contain
more preferred bundles.
Utility
y
x
U(2,3) = 6
U(2,2) = 4 U(4,1) = 4
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효용함수와 무차별곡선
U 6 U 4 U 2
x y
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효용함수와 무차별곡선
U = 6 U = 5 U = 4 U = 3 U = 2 U = 1 x
y Utility
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x y
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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효용함수와 무차별곡선
x
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▣ 무차별곡선의 성질
(1) 특정 상품묶음을 지나는 무차별곡선은 항상 존재 하며 유일하다
(2) 무차별곡선은 우하향하는 기울기를 갖는다.
(3) 원점에서 떨어진 무차별곡선일 수록 더 높은 효용수준을 대표한다.
(4) 서로 다른 무차별곡선은 서로 교차하지 않는다.
(5) 원점에 대하여 볼록하다.
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(1) 특정 상품묶음을 지나는 무차별곡선은 항상 존재하며 유일하다.
▪ 이 성격은 선호체계의
완비성 공리로부터 나온 것▪ 완비성 공리는 어떤 두 상품묶음의 짝에 대해서도 선호관계의 설정이 가능해야 함을 요구한다.
☞ 모든 점에 대해 이것을 지나는 무차별곡선이 하 나씩 있다는 것은 그와 같은 요구가 충족될 수 있 음을 뜻한다.
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2) 무차별곡선은 우하향하는 기울기를 갖는다 3) 원점에서 떨어진 무차별곡선일 수록 더 높은
효용수준을 대표한다
▪ 상품을 더 많이 소비할수록 더 좋다는 강단조성 공리와 밀접관 관련이 있다.
▪ 이 공리가 만족되지 못하는 경우에 무차별곡선은 두 번째와 세 번째의 성격을 갖지 못할 수 있다.
▪ 또한, 두 번째 성질은
소비자가 한 상품의 소비를 증가시키면서 동일한 효용 을 유지시키려면
다른 상품의 소비는 감소시켜야 한다는 것을 의미한다.
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(4)두 무차별 곡선을 서로 교차할 수 없다
▪ 선호체계의
이행성 공리와 밀접한 관계를 갖는다.C
B
X(쌀) Y(옷)
0
A
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(5) 원점에 대하여 볼록하다
▪ 이 성격은 선호체계의 네 가지 공리와 직접적인 관련이 없고 볼록성이라는 선호체계에 관한
또 하나의 기본 가정을 추가함으로써 생겨난다.
▪ 소비자가 극단적인 상품의 조합보다는 고루 섞여있는 상품묶음을 더 선호한다.
(어떤 교과서는 이 볼록성을 선호체계의 기본공리 에 추가시키는 경우도 있다.)
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볼록성
8
2
2 8
G(2,8)
F(8,2)
X(쌀) Y(옷)
0
H(5,5)
F는 쌀 8단위와 옷 2단위
로 구성된 상품묶음,
G는 쌀 2단위와 옷 8단위
로 구성된 상품묶음.
소비자가 이 두 상품묶음 에 똑 같은 크기의 효용 을 얻는다고 하자.
그리고
쌀과 옷이 각각 5단위씩 포함된 제3의 상품묶음 H
가 있다고 하자.
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볼록성
8
2
2 8
G(2,8)
F(8,2)
X(쌀) Y(옷)
0
H(5,5)
1 0
, ) 1
(
kF k G k H
H는 F와 G를 평균해 만 든 상품묶음이라고 할 수 있는데,
볼록성은 소비자가
F나 G보다 H를 더 선호하 는 것을 뜻한다.
그림을 보면 H는 F와 G 를 지나는 무차별곡선의 바깥쪽에 있어 이들보다 더욱 높은 효용을 주는 것 으로 나타나 있다.
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비볼록성
상품묶음 Z는 G보다 덜 선호되고, F보다 덜 선호된다.
2
2
z 8
8 G
F
z
8 2
2
8 G
F
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볼록성
8
2
2 8
G(2,8)
F(8,2)
X(쌀) Y(옷)
0
H(5,5)
1 0
, ) 1
(
kF k G k H
무차별곡선이 원점에
대해서 볼록하다는 것은 오른쪽으로 가면서
그 것의 기울기가
점차 완만해짐을 의미.
무차별곡선은 우하향하는 모양을 갖고 있어
기울기가 음(-)의 값을 갖 는데,
오른쪽으로 가면서
그 절대값이 점차 작아짐.
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▣ 소비의 대체
▪ 이 사실이 어떤 의미를 갖는지 알기 위해서는 무차별곡선의 기울기가 갖는 경제학적 의미를 알아야 한다.
☞ 무차별곡선의 기울기는 두 상품 사이의
‘주관적’ 교환비율이란 의미를 갖는다.
☞…
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무차별곡선의 한 점 C로 표현된 상품묶음에서
∆
y만큼의 옷을 덜어내고 그 대신 ∆x만큼의 쌀을 더 넣어 C’이라는 상품묶음을 만든다면,소비자는 C에서 얻던 것과 똑같은 효용을 얻을 수 있다.
☞ 소비자가 느끼기에 ∆y 만큼의 옷과 ∆x만큼의 쌀이 맞바꾸어져도 무방 하다는 것을 뜻한다.
Y(옷)
0
한계대체율
i
∆y
∆x C
C’
D(기울기=-2) E(기울기=-1)
F(기울기=-(2/3)
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X(쌀)
두 상품(쌀, 옷)사이의
‘주관적’ 교환비율을 한계대체율
(Marginal Rate of Substitution; MRS) 이라고 부른다.
X(쌀) Y(옷)
0
한계대체율
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i
∆y
∆x C
C’
D(기울기=-2) E(기울기=-1)
F(기울기=-(2/3)
□ 두 상품간의 주관적 교환 비율
▪ 주어진 무차별곡선 위에서 이동할 때 한 상품은 덜고 다른 상품은 더하는 것이므로
∆x 와 ∆y는 항상 반대되는 부호를 갖는다.
☞ 한계대체율을 정의할 때는
기울기에 (–)부호를 덧붙임으로써
전체의 값이 양이 되도록 만드는 것이 보통이다.
기울기 무차별곡선의
x MRS XY y
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쌀과 옷 사이의 한계대체율이 2라고 한다면;
소비자가 현재 갖고 있는
상품묶음에서 옷 2단위를 덜어 내고 대신
쌀 1단위를 더 주어도 그의 효용에 아무 변화가 생기지 않 는다.
☞그 소비자가 쌀에서 얻는 한계효용(MUX)이 옷에서 얻는 한계효용(MUY)의 두배 에 해당된다는 뜻.
Y(옷)
0
한계대체율
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i
∆y
∆x C
C’
D(기울기=-2) E(기울기=-1)
F(기울기=-(2/3)
X(쌀)
C점에서 C’점으로 이동할 때 옷의 양이 ∆y만큼 변화함으로 써 생기는 효용의 변화를 MUY∙ ∆y로 평가할 수 있으며, 마찬가지로 쌀의 양이 ∆x만큼 변화함으로써 생기는 효용의 변화는 MUX∙ ∆x로 쓸 수 있다.
즉, 한계대체율은 두 상품 사이의 한계효용의 비율
XY Y
X XY
dx MRS dy MU
dy MU y
dx U x
U U
y x U U
x MRS y
0 )
, (
기울기 무차별곡선의
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한계대체율 체감의 법칙
(Law of Diminishing MRS)
;원점에 대하여 볼록
D점에서 -2이던 무차별곡선 의 기울기가
E점에서는 -1이 되고,
F점에서는 –(2/3)로 절대값 이 떨어져
한계대체율체감의 법칙이 작용하고 있는 것을 보여줌.
2
0
2
dx y d
X(쌀) Y(옷)
0
i
∆y
∆x C
C’
D(기울기=-2) E(기울기=-1)
F(기울기=-(2/3)
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한계대체율 체감의 법칙
한계대체율(MRS)이 체감한다는 뜻.
어떤 재화가 풍부할 때는 다른 재화를 얻기 위해 풍부한 재화를 상대적으 로 더 많이 포기할 용의가 있다는 뜻.
X(쌀) Y(옷)
0
MRS
1
동일한 무차별곡선 상의 두 점간의 기울기는 한계 대체율이다.
1
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한계효용체감의 법칙 VS.
한계대체율 체감의 법칙
• 한계효용체감의 법칙이 성 립해야만 한계대체율 체감 의 법칙이 성립하는 것은 아니다.
예) 옷의 한계효용은 언제나 일정하고 쌀의 한계효용 만이 체감하는 경우에도 한계대체율체감의 법칙이
성립할 수 있다. X(쌀)
Y(옷)
0
i
C C’
D(기울기=-2) E(기울기=-1)
F(기울기=-(2/3)
y x y
x
MRS
dx dy MU
MU
,
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▣ 예외적인 선호체계의 무차별곡선
• 완전대체재:
무차별곡선이 마이너스 기울기를 갖는 직선이다.
– 왜? 한계대체율이 일정할 테니까.
• 완전보완재:
무차별곡선이 L자형이다.
– 왜? 한계대체율이 (-)무한대에서 0으로 급 변하니까
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완전대체재
50원짜리 동전
0 10원짜리 동전
1 2 10
5
I
1I
215
3
I
3완전대체재인 경우 중요한 점은 무차별곡선이 직선.
기울기 자체는 다를 수 있다.
예)U = 5X + Y
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완전보완재
오른쪽신발
0
왼쪽 신발
7 5
7
5 I
1I
2 예)U = min(X, Y)park@chosun.ac.kr
한 상품이 비재화인 경우
0
쌀 공해물질
•환경문제일 경우
•(참고)거시경제학에서
토빈의 자산 선택 이론을 배울 때 보게 되는데 자산의 구성을 결정할 때 수익성과 위험성의 두 가지를 고려하여 의사결정
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한 상품이 중립재인 경우
0 쌀 헌옷
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그 밖의 경우
0 X
Y 다른 예) 사전편찬법적 선호 →
무차별곡선이
아예 존재하지 않는다
(연속성 위배, 강단조성 위배)park@chosun.ac.kr