2020 EBS 수능감잡기 수학(Ⅱ) 답지 정답

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(1)EBS 수능 감 잡기 수학Ⅱ. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 1. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(2) 01-1. Ⅰ. 함수의 극한과 연속. 01. x<1일 때, x-1<0이므로 -(x-1) lim |x-1| = lim x`Ú 1- (x+1)(x-1) xÛ`-1. x`Ú 1-. 좌극한과 우극한. 수능 유형 체크. 본문 7쪽. 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 함수 y=f(x) 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.. . ZG Y. . 0. . . . . =-. 1 2. x>2일 때, x-2>0이므로 x`Ú 2+. Z. . -1 = lim x`Ú 1- x+1. xÛ`-x-2 (x-2)(x+1) = lim lim |x-2| x-2 x`Ú 2+. 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다. . . . = lim (x+1). . =2+1. . =3. x`Ú 2+. 따라서. Y. xÛ`-x-2 1 =- +3 lim |x-1| + lim 2 x`Ú 2+ |x-2| xÛ`-1. . x`Ú 1-. . =. . 5 2. lim `f(x)=1, lim `f(x)=1이므로. x`Ú 2-. ⑤. x`Ú -1+. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1=2. x`Ú 2-. x`Ú -1+. . ④. | 다른 풀이 |. 01-2. lim `f(x)=1이고. x`Ú 2-. lim `f(x)= lim (xÛ`-x+a). lim `f(x)에서 x=-t라 하면. x`Ú -1-. x`Ú -1-. x`Ú -1+. =1+1+a. f(-x)=-f(x)이고 x`Ú-1+일 때 t`Ú1-이므로. =2+a. lim `f(x)= lim `f(-t). x`Ú -1+. lim `f(x)= lim (-x+2a). t`Ú 1-. x`Ú -1+. x`Ú -1+. = lim {-f(t)}. =- lim `f(t). 이때 lim `f(x)의 값이 존재하므로. =-(-1)=1. 2+a=1+2a. =1+2a. t`Ú 1-. t`Ú 1-. x`Ú -1. 따라서. a=1. lim `f(x)+ lim `f(x)=1+1. x`Ú 2-. 따라서. x`Ú -1+. =2. ( xÛ`-x+1. f(x)=p[{ -x+2 이므로. (x<-1) (-1Éx<1). 9 3xÛ`+2x-1 (x¾1). lim `f(x)= lim (3xÛ`+2x-1). x`Ú 1+. x`Ú 1+. =3+2-1 수능의 감을. 01-1. 2. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ⑤. 01-2. ④. 01-3. 본문 8 ~9쪽. ①. 01-4. ②. =4 ④. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 2. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(3) 01-3. 02. 모든 실수 x에 대하여 f(x+4)=f(x)이므로 lim f(x)=-1 lim f(x)=x`Ú -1-. 수능 유형 체크. x`Ú 15-. lim f(x)= lim f(x)=-2. x`Ú 22+. 본문 11쪽. lim ("ÃxÛ`+x+1-x). x`Ú -2+. x`Ú¦. 따라서 lim f(x)+ lim f(x)=(-1)+(-2). x`Ú 15-. 함수의 극한값의 계산. =lim x`Ú¦. x`Ú 22+. =-3 ①. =lim x`Ú¦. ("ÃxÛ`+x+1-x)("ÃxÛ`+x+1+x)` "ÃxÛ`+x+1+x. xÛ`+x+1-xÛ`` "ÃxÛ`+x+1+x. x+1 "ÃxÛ`+x+1+x 1 1+ x =lim x`Ú¦ 1 1 ¾¨1+ + +1 x xÛ` =lim x`Ú¦. 01-4. 1 1+1. 주어진 그래프에서 lim `f(x)=-1이고. =. lim `f(1-x)에서 1-x=t라 하면. =;2!;. x`Ú-1-. x`Ú0+. x Ú 0+일 때, t Ú 1-이므로. ③. lim `f(1-x)= lim `f(t)=1. x`Ú0+. t`Ú1-. 따라서 lim `f(x)+ lim `f(1-x)=-1+1. x`Ú-1-. x`Ú0+. =0 ②. 수능의 감을. 02-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ①. 02-2. ②. 02-3. 본문 12 ~13쪽. ②. 02-4. ③. 02-1 lim 2xÜ`-xÛ`-4x-4 x`Ú 2 xÛ`-x-2 (x-2)(2xÛ`+3x+2) =lim (x-2)(x+1) x`Ú 2 2xÛ`+3x+2 =lim x+1 x`Ú 2 =. 8+6+2 3. =:Á3¤: ①. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 3. 3. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(4) 02-2. ㄴ. f(x)=x(x-2)+2이므로. 'x-2 2 _ } lim 2 {1- 2 }=lim { x-4 x`Ú4 x-4 x`Ú4 'x 'x. 에서 ‌ x Ú 0-일 때 (분모) Ú 0, (분자) Ú 5이므로 극한값이. 2('x-2)('x+2) =lim x`Ú4 'x(x-4)('x+2). . (x-1)(x-3)+2 f(x-1) = lim lim x x x`Ú0 x`Ú0 존재하지 않는다.. 2 =lim x`Ú4 'x('x+2). x-3 ㄷ. lim x`Ú3 'Äf(x)-4-1 x-3 =lim x`Ú3 'Äx(x-2)+2-4-1. . =. =lim . . =;4!;. (x-3)("ÃxÛ`-2x-2+1) =lim xÛ`-2x-3 x`Ú3. (x-3)("ÃxÛ`-2x-2+1) =lim (x-3)(x+1) x`Ú3. "ÃxÛ`-2x-2+1 =lim x+1 x`Ú3. x=-t로 놓으면 x Ú -¦일 때 t Ú ¦이므로. =. x`Ú-¦. "ÃtÛ`-2t-1+t+1 =lim -4t+3 t`Ú¦. =;2!;. 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 2(x-4) =lim x`Ú4 'x(x-4)('x+2). . 2 2_4. ②. 02-3. "ÃxÛ`+2x-1-x+1 lim 4x+3. x`Ú3. (x-3)("ÃxÛ`-2x-2+1)` ("ÃxÛ`-2x-2-1)("ÃxÛ`-2x-2+1). 1+1 4. ③. 2 1 1 ¾¨1- - +1+ t t tÛ ` =lim t`Ú¦ 3 -4+ t 1+1 = -4 =-;2!; ②. 02-4 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)가 f(0)=f(2)=2를 만족시키므로 f(x)-2=x(x-2) 라 하자. x-2 x-2 ㄱ. lim =lim x`Ú2 f(x)-2 x`Ú2 x(x-2) . 1 =lim x`Ú2 x. . =;2!;. 4. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 4. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(5) 03. 03-2. 함수의 극한에 대한 성질. 수능 유형 체크. 본문 15쪽. 2f(x)+3g(x)=p(x) . yy`㉠. 4f(x)-g(x)=q(x) . yy`㉡. 라 하면 lim p(x)=3, lim q(x)=13. xÜ`-2xÛ`-9 에서 lim x`Ú3 f(x-3). ㉠+㉡_3에서. x-3=t라 하면. 14f(x)=p(x)+3q(x). x`Ú2. x Ú 3일 때 t Ú 0이므로. x`Ú2. 즉, f(x)=. xÜ`-2xÛ`-9 (t+3)Ü`-2(t+3)Û`-9 =lim lim x`Ú3 t`Ú0 f(x-3) f(t). p(x)+3q(x) 이므로 14. p(x)+3q(x) 3+3_13 = =3 lim `f(x)=lim x`Ú2 x`Ú2 14 14. . =lim tÜ`+7tÛ`+15t t`Ú0 f(t). . t(tÛ`+7t+15) =lim t`Ú0 f(t). 7g(x)=2p(x)-q(x). . =lim t _lim(tÛ`+7t+15) t`Ú0 f(t) t`Ú0. 즉, g(x)=. . =;3!;_15. . =5. ㉠_2-㉡에서 2p(x)-q(x) 이므로 7. 2p(x)-q(x) 2_3-13 = =-1 lim `g(x)=lim x`Ú2 x`Ú2 7 7 따라서 lim {`f(x)+g(x)}=lim `f(x)+lim `g(x) ③. x`Ú2. x`Ú2. x`Ú2. =3+(-1) =2 ②. 수능의 감을. 03-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ①. 03-2. ②. 03-3. 본문 16 ~17쪽. 19. 03-4. ②. f(x)+g(x) =h(x)라 하면 f(x)-g(x) {h(x)-1}f(x)={h(x)+1}g(x)에서. 03-1. g(x) h(x)-1 = f(x) h(x)+1. f(x) =5이므로 lim x`Ú0 x. lim h(x)=2이므로 이고 x`Ú¦. f(x) -3x+5 f(x)-3xÛ`+5x x =lim lim x`Ú0 x`Ú0 2xÝ`+3x 2xÜ`+3 . 03-3. g(x) h(x)-1 =lim lim f(x) x`Ú¦ h(x)+1. x`Ú¦. f(x) lim -lim 3x+lim 5 x`Ú0 x`Ú0 x`Ú0 x = lim 2xÜ`+lim 3 x`Ú0. x`Ú0. 5-0+5 0+3. . =. . =:Á3¼:. 2-1 2+1. . =. . =;3!;. 따라서. ①. g(x) 33f(x)-g(x) f(x) =lim lim g(x) x`Ú¦ 2f(x)+5g(x) x`Ú¦ 2+5_ f(x). 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 5. 5. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(6) 3-;3!;. . =. . =;1¥1;. 2+5_;3!;. =. ;3*;. 04. :Á3Á:. 미정계수와 함수식의 결정. 수능 유형 체크. 본문 19쪽. f(x)-5x+1 =1에서 x Ú 3일 때 (분모) Ú 0이고 극한 lim x`Ú3 xÛ`-9. 이므로 p=11, q=8 즉, p+q=11+8=19 19. 값이 존재하므로 (분자) Ú 0이어야 한다. 즉, lim {`f(x)-5x+1}=0이므로 x`Ú3. f(3)-15+1=0 f(3)=14 함수 f(x)가 일차함수이므로 f(x)=ax+b`(a, b는 상수, a+0). 03-4. 라 하면. 모든 양의 실수 x에 대하여 g(x)Éh(x)Éf(x)이므로. f(3)=3a+b=14에서. x>1일 때,. b=14-3a. g(x)-4 h(x)-4 f(x)-4 É É x-1 x-1 x-1. 즉, f(x)=ax+14-3a이므로 f(x)-5x+1 (a-5)x+15-3a =lim lim x`Ú3 x`Ú3 xÛ`-9 xÛ`-9. 이때 f(x)-4 xÜ`-3xÛ`+x+1 = lim lim x`Ú1+ x-1 x-1. x`Ú1+. . (x-1)(xÛ`-2x-1) = lim x`Ú1+ x-1. . = lim (xÛ`-2x-1). . =-2. x`Ú1+. -xÛ`(x+1)(x-1)` = lim x`Ú1+ x-1. . = lim (-xÜ`-xÛ`). . =-2. (a-5)(x-3) =lim x`Ú3 (x+3)(x-3). . a-5 =lim x`Ú3 x+3. . = a-5 =1 6. 에서 a=11. g(x)-4 -xÝ`+xÛ` = lim lim x`Ú1+ x`Ú1+ x-1 x-1 . . 따라서 f(x)=11x-19이므로 f(2)=11_2-19 =3 ③. x`Ú1+. h(x)-4` 이므로 lim =-2 x`Ú1+ x-1 마찬가지 방법으로 0<x<1일 때,. `f(x)-4` h(x)-4` g(x)-4` 이고 É É x-1 x-1 x-1. `f(x)-4` g(x)-4` = lim =-2이므로 lim x`Ú1x-1 x-1. 수능의 감을. x`Ú1-. 04-1. h(x)-4` =-2 lim x-1. x`Ú1-. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ①. 04-2. ⑤. 04-3. 본문 20 ~21쪽. ③. 04-4. ②. 따라서. 04-1. h(x)-4` =-2 lim x`Ú1 x-1. xÛ`+2ax+b =2b에서 x Ú a일 때 (분모) Ú 0이고 극한 lim x-a x`Úa. ②. 6. 값이 존재하므로 (분자) Ú 0이어야 한다. 즉,. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 6. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(7) lim (xÛ`+2ax+b)=aÛ`+2aÛ`+b x`Úa. =. a 3+3. =. a =-1 6. =3aÛ`+b=0 yy`㉠. b=-3aÛ` xÛ`+2ax-3aÛ` (x-a)(x+3a) =lim lim x-a x-a x`Úa x`Úa . =lim (x+3a) x`Úa. . =4a=2b. b=2a. 따라서 a=-6, b=21이므로 a+b=-6+21 =15 ⑤. yy`㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면 2a=-3aÛ` 3aÛ`+2a=0, a(3a+2)=0. 04-3. a+0이므로 a=-;3@;. f(x) 조건 (다)에서 lim =0이므로 f(x)는 차수가 2 이하인 x`Ú¦ xÜ`. 따라서 a=-;3@; 를 ㉡에 대입하면 b=-;3$;이므로. 다항식이다. yy`㉠. 즉, f(x)=axÛ`+bx+c (a, b, c는 상수) . a+b=-;3@;-;3$;. 로 놓을 수 있다.. =-2 ①. 이때 조건 (나)에서 x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재 하므로 (분자) Ú 0이어야 한다. 즉, lim`f(x)=0이므로 x`Ú0. f(0)=0 ㉠에서 c=0. 04-2. 'Äax+b-3 =-1 lim x-2 x`Ú2. 조건 (나)의 식에 f(x)=axÛ`+bx를 대입하면 yy`㉠. 에서 x Ú 2일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이어야 한다.. 즉, lim('Äax+b-3)=0이므로 'Ä2a+b=3, 2a+b=9. ㉠, ㉡에서. 'Äax+b-3 lim x-2 x`Ú2. 'Äax-2a+9-3 =lim x-2 x`Ú2. . =lim (ax+b). . =b=7. x`Ú0. 즉, f(x)=axÛ`+7x이고 조건 (가)에서 f(1)=10이므로. x`Ú2. b=-2a+9. f(x) axÛ`+bx =lim lim x`Ú0 x`Ú0 x x. f(1)=a+7=10에서 yy`㉡. a=3 따라서 f(x)=3xÛ`+7x이므로 f(2)=3_2Û`+7_2 =26 ③. ('ÄÄax-2a+9-3)('Äax-2a+9+3) =lim x`Ú2 (x-2)('Äax-2a+9+3) ax-2a+9-9 =lim x`Ú2 (x-2)('Ä¶ax-2a+9+3) a(x-2) =lim x`Ú2 (x-2)('Ä¶ax-2a+9+3) a =lim x`Ú2 'Ä¶ax-2a+9+3. 04-4. 1 (x-1)Ü` f { }-2 x-1 =3 lim x`Ú1+ xÛ`-x. 에서 x-1=t라 하면 x`Ú1+일 때 t`Ú0+이므로. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 7. 7. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(8) 1 1 (x-1)Ü` f { tÜ` f { }-2 }-2 x-1 t lim = lim x`Ú1+ t`Ú0+ xÛ`-x tÛ`+t 1 2 f { }t tÜ ` = lim t`Ú0+ 1 1 + t tÛ`. . 05 yy`㉠. 함수의 극한의 활용. 수능 유형 체크. 본문 23쪽. 점 P(t, tÛ`)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은. ㉠에서 ;t!;=s라 하면 t`Ú0+일 때 s`Ú¦이므로. y-tÛ`=x-t, 즉 y=x+tÛ`-t. 1 2 f { }f(s)-2sÜ` t tÜ` lim =lim 1 1 s`Ú¦ t`Ú0+ s+sÛ` + t tÛ` f(x)-2xÜ` =lim =3 x`Ú¦ x+xÛ`. xÛ`-x-tÛ`+t=0. xÛ`=x+tÛ`-t에서 xÛ`-x-t(t-1)=0 (x-t)(x+t-1)=0 yy`㉡. ㉡에서 극한값이 3이므로 f(x)-2xÜ`은 최고차항의 계수가 3 인 이차식이어야 한다.. 이때 점 P의 x좌표가 t이므로 점 Q의 x좌표는 -t+1이다. 다음 그림과 같이 직선 PQ가 y축과 만나는 점을 R, 두 점 P, Q에서 y축에 내린 수선의 발을 각각 HÁ, Hª라 하자.. 따라서 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+ax+b (a, b는 상수). x=t 또는 x=-t+1. ). 로 놓을 수 있다.. 조건 (나)에서 x`Ú !2일 때 (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므. 1. 3. 로 (분자)`Ú !0이어야 한다.. 2. 즉, lim`f(x)=f(2)=0에서 x`Ú2. )m Y. 0. 28+2a+b=0이므로 yy`㉣. b=-2a-28. ZY. Z. yy`㉢. ORÓ=tÛ`-t, PHÁÓ=t, QHªÓ=t-1이므로 f(t)=(삼각형 OPQ의 넓이). ㉣을 ㉢에 대입하면 f(x)=2xÜ`+3xÛ`+ax-2a-28. =(삼각형 OPR의 넓이)+(삼각형 ORQ의 넓이). 이므로. =;2!;_ORÓ_PHÁÓ+;2!;_ORÓ_QHªÓ. f(x) 2xÜ`+3xÛ`+ax-2a-28 =lim . lim x`Ú2 xÛ`+x-6` x`Ú2 xÛ`+x-6. =;2!;_ORÓ_(PHÁÓ+QHªÓ). (x-2)(2xÛ`+7x+a+14). =lim x`Ú2 (x-2)(x+3). =;2!;(tÛ`-t)(2t-1). 2xÛ`+7x+a+14. =lim x`Ú2 x+3 = 이때. 따라서 f(t) (tÛ`-t)(2t-1) = lim lim t-1 t`Ú1+ 2(t-1). a+36 5. t`Ú1+. a+36 =:ª5¤:이므로 5. a=-10. . t(2t-1) = lim t`Ú1+ 2. . =;2!;. 따라서 f(x)=2xÜ`+3xÛ`-10x-8이므로. ③. f(1)=2+3-10-8 =-13 ② 수능의 감을. 05-1. 8. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ③. 05-2. ⑤. 05-3. 본문 24 ~25쪽. ④. 05-4. 1. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 8. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(9) 05-1. 05-3. 삼각형 ABP는 ∠APB=90ù인 직각삼각형이고. 삼각형 BPQ는 ∠QBP=60ù, ∠BPQ=90ù인 직각삼각형이. APÓ=t, BPÓ=. 므로 BPÓ=x이면 BQÓ=2x이다.. 2t 6 -2= t-3 t-3. 따라서. 이므로 삼각형 ABP의 넓이 S(t)는. f(x)=(삼각형 BPQ의 넓이). S(t)=;2!;_APÓ_BPÓ. =;2!;_t_. =. =;2!;_x_2x_sin`60ù. 6 t-3. =. 3t t-3. 이때 AQÓ=3-2x이므로 ARÓ=2(3-2x). 따라서. =6-4x. 3t lim S(t)=lim t`Ú¦ t`Ú¦ t-3 =lim t`Ú¦. '3 xÛ` 2. 또, CRÓ=3-(6-4x)=4x-3에서 CSÓ=2(4x-3). 3. =8x-6. 1-;t#;. 이므로. =3 ③. g(x)=(삼각형 SCR의 넓이) =;2!;_(4x-3)_(8x-6)_sin`60ù =. '3 (4x-3)Û` 2. 따라서. '3 '3 (4x-3)Û`xÛ` g(x)-f(x) 2 2 =lim lim x`Ú1 x`Ú1 x-1 x-1 . =. '3 15xÛ`-24x+9 lim x-1 2 x`Ú1. OBÓ="ÃtÛ`+4tÛ`='5t,. . =. (x-1)(5x-3) 3'3 lim x-1 2 x`Ú1. P( f(t), 0)이므로. . =. 3'3 lim (5x-3) 2 x`Ú1. . =. 3'3 _2 2. . =3'3. 05-2. ABÓ="Ã(t-2)Û`+(2t-0)Û`="Ã5tÛ`-4t+4이고 OBÓ`:`ABÓ=OPÓ`:`PAÓ. 즉, '5t`:`"Ã5tÛ`-4t+4=f(t)`:`{2-f(t)} '5t{2-f(t)}=f(t)"Ã5tÛ`-4t+4. 2'5t 이므로 f(t)= '5t+"Ã5tÛ`-4t+4. ④. 2'5t lim f(t)=lim t`Ú¦ t`Ú¦ '5t+"Ã5tÛ`-4t+4. . 2'5 =lim t`Ú¦ '5+¾¨5- 4 + 4 t tÛ` 2'5 '5+'5. . =. . =1. 05-4. 두 삼각형 OPQ와 QPR는 닮음이고 PQÓ="Ã1-xÛ`이므로 ⑤. x`:`1="Ã1-xÛ``:`QRÓ에서. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 9. 9. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(10) f(x)=QRÓ =. 06. "Ã1-xÛ` x. 또, 두 삼각형 OPQ와 OQR가 닮음이므로. 수능 유형 체크. x`:`1=1`:`ORÓ에서 ORÓ=;[!;이고. 본문 27쪽. lim `f(x)= lim (x+2)=2. x`Ú0-. g(x)=ARÓ. x`Ú0-. lim `f(x)= lim (-x+a)=a. x`Ú0+. =;[!;-1 =. 함수의 연속. x`Ú0+. f(0)=2이므로 함수 f(x)가 x=0에서 불연속이 되려면 a+2 yy`㉠. 이다.. 1-x x. 한편,. 따라서. lim `f(x)f(x-1)= lim `f(x) lim `f(t). "Ã1-xÛ` 1-x } lim {`f(x)-g(x)}= lim { x`Ú0+ x`Ú0+ x x. . "Ã1-xÛ`-(1-x) = lim x`Ú0+ x. . (1-xÛ`)-(1-x)Û` = lim x`Ú0+ x{"Ã1-xÛ`+(1-x)}. . 2x(1-x) = lim x`Ú0+ x{"Ã1-xÛ`+(1-x)}. . 2(1-x) = lim x`Ú0+ "Ã1-xÛ`+(1-x). x`Ú1-. x`Ú1-. t`Ú0-. lim (-x+a) lim (t+2) =x`Ú1t`Ú0-. . =(-1+a)_2 =2(a-1) lim `f(x)f(x-1)= lim `f(x) lim `f(t). x`Ú1+. x`Ú1+. t`Ú0+. lim (-x+a) lim `f(-t+a) =x`Ú1+ t`Ú0+. . =(-1+a)_a =aÛ`-a f(1)f(1-1)=f(1)f(0)=(-1+a)(0+2)=2(a-1)이므. . =;2@;. 로 함수 f(x)f(x-1)이 x=1에서 연속이 되려면. . =1. 2(a-1)=aÛ`-a 1. 이어야 한다. 즉, aÛ`-3a+2=0 (a-1)(a-2)=0 a=1 또는 a=2 ㉠에서 a+2이므로 a=1 ④. 수능의 감을. 06-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ③. 06-2. ⑤. 06-3. 본문 28 ~29쪽. ④. 06-4. ⑤. 06-1 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=2에서 연속 이어야 하므로 lim`f(x)=f(2)이어야 한다. x`Ú2. 이때 lim `f(x)= lim (ax-3)=2a-3. x`Ú2+. x`Ú2+. lim `f(x)= lim (x+1)=3. x`Ú2-. 10. x`Ú2-. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 10. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(11) 06-3. f(2)=3 이므로 함수 f(x)가 x=2에서 연속이 되려면. h(x)=f(x)g(x-k)라 하자.. 2a-3=3. 함수 h(x)가 x=-1에서 연속이 되려면. 따라서 a=3 ③. lim h(x)=h(-1)이어야 한다.. x`Ú-1. 이때 lim h(x)= lim `f(x)g(x-k). x`Ú-1+. 06-2 ㄱ. lim `f(x)=1, lim g(x)=1이므로 x`Ú1+. x`Ú-1-. lim `p(x)= lim f(x)g(x). x`Ú1+. . x`Ú1+. = lim f(x)_ lim g(x) x`Ú1+. . =-1_(1-k). . =k-1. . =1_(1-k). . =1-k. =1-k 이므로 함수 h(x)가 x=-1에서 연속이 되려면. x`Ú1-. k-1=1-k. x`Ú1-. 즉, k=1이어야 하므로. =-1_(-1). a=1. =1. 이므로 lim`p(x)=1. 이때 p(1)=f(1)g(1)=-1_(-1)=1이므로. x`Ú-1-. =1_(1-k). = lim f(x)_ lim g(x) x`Ú1-. x`Ú-1-. h(-1)=f(-1)g(-1-k). x`Ú1+. lim `p(x)= lim f(x)g(x). x`Ú1-. x`Ú-1-. = lim `1_ lim (x-k+2). =1. . x`Ú-1+. . =1_1. x`Ú-1+. x`Ú-1-. x`Ú-1-. ㄴ. p(x)=f(x)g(x)라 하자.. = lim (xÛ`-2)_ lim (x-k+2). lim h(x)= lim `f(x)g(x-k). lim `f(x)+ lim g(x)=2 (참). x`Ú1+. x`Ú-1+. . 한편, 함수 h(x)가 x=1에서 연속이 되려면. x`Ú1. lim h(x)=h(1)이어야 한다. x`Ú1. 이때. lim`p(x)=p(1)이다. x`Ú1. lim h(x)= lim `f(x)g(x-k). 따라서 함수 f(x)g(x)는 x=1에서 연속이다. (참). x`Ú1+. x`Ú1+. ㄷ. q(x)=2f(x)g(x)-1이라 하자.. . = lim 1_ lim (x-k+2). 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이므. . =1_(3-k)=3-k. x`Ú1+. lim h(x)= lim `f(x)g(x-k). 로 함수 q(x)도 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이다.. x`Ú1-. q(-1)=2f(-1)g(-1)-1. . =2_1_(-1)-1. x`Ú1-. = lim (xÛ`-2)_ lim (x-k+2) x`Ú1-. x`Ú1-. =-1_(3-k). =-3<0. x`Ú1+. =k-3. q(1)=2f(1)g(1)-1. h(1)=f(1)g(1-k). =2_(-1)_(-1)-1. =1_(3-k). =1>0. =3-k. 이므로 사잇값 정리에 의하여 q(x)=0인 x가 구간 . 이므로 함수 h(x)가 x=1에서 연속이 되려면. (-1, 1)에 적어도 하나 존재한다.. k-3=3-k. 즉, 방정식 2f(x)g(x)-1=0은 구간 (-1, 1)에서 실근. 즉, k=3이어야 하므로 b=3. 을 갖는다. (참). 따라서 a+b=1+3=4. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. ④. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 11. 11. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(12) 06-4. Z. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다. Z. ZI Y. Y. 0 ZG Y. . 0 . Y. . Z ZH Y. lim `h(x)= lim `h(x)=0 x`Ú1+0. x`Ú1-0. 즉, lim `h(x)=0 x`Ú1. 한편, h(1)=0이므로 lim `h(x)=h(1) x`Ú1. 따라서 함수 h(x)=f(x)+f(-x)는 x=1에 대하여 연 속이다. (참) ㄷ. y=g(|x|)의 ‌ 그래프는 x¾0일 때 y=g(x)의 그래프를. . 0 . 그린 후 이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프이므. Y. 로 그림과 같이 함수 g(|x|)는 모든 실수 x에서 연속이다. Z. ㄱ. y=|f(x)|의 ‌ 그래프는 y=f(x)의 그래프 중 x축의 윗부. ZH ]Y]. 분은 그대로 두고 x축의 아랫부분을 x축에 대하여 대칭이 동한 그래프이므로 그림과 같다.. 0. Z. . Y. Z]G Y ]. 따라서 함수 f(x)g(|x|)가 모든 실수 x에서 연속이려면 함수 f(x)가 불연속인 x=-1과 x=1에서 연속인지를 Y. 0. 조사하면 된다.. 따라서 함수 |f(x)|는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) ㄴ. y=f(-x)의 ‌ 그래프는 y=f(x)의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프이므로 그림과 같다. Z. ZG Y. lim `f(x)g(|x|)=0. x`Ú-1. f(-1)g(|-1|)=f(-1)g(1)=(-1)_0=0. lim`f(x)g(|x|)=0. f(1)g(|1|)=f(1)g(1)=1_0=0. x`Ú1. 그러므로 함수 f(x)g(|x|)가 x=-1과 x=1에서 연속 이므로 함수 f(x)g(|x|)는 실수 전체의 집합에서 연속이 다. (참). 0. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. . Y. ⑤. . 따라서 h(x)=f(x)+f(-x)의 그래프는. 다음 그림과 같다.. 12. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 12. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(13) 07-1. Ⅱ. 다항함수의 미분법. 07. `f(x+1) =-1 lim x-1 x`Ú 1. yy`㉠. 에서 x`Ú 1일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로. 미분계수와 도함수. (분자)`Ú 0이어야 한다. 즉, lim`f(x+1)=0이어야 하므로 f(2)=0 x`Ú 1. 수능 유형 체크. 본문 31쪽. `f(t)-f(2) =f '(2)=-1 lim t-2 t`Ú 2. x<-1일 때, f(x)=(x+1)(xÛ`-4) x>-1일 때, f(x)=xÛ`+ax+b. 따라서. 이므로 x+-1일 때 함수 f(x)는 미분가능하다. 따라서 f(x)가 모든 실수 x에서 미분가능하려면 x=-1에서 미분가능하면 된다.. lim `f(x)= lim `f(x)=f(-1). x`Ú -1-. x`Ú -1+. yy`㉠. 즉, 0=1-a+b에서 b=a-1. =(-1)_(0-4). `f(x)-f(-1) x`Ú -1x-(-1). = lim. (x+1)(xÛ`-4)-(1-a+b) x+1. = lim. (x+1)(xÛ`-4)-0 x+1. lim (xÛ`-4) =x`Ú -1-. =-3. lim. x`Ú -1-. =4 ②. 07-2. `f(x)-f(-1) x-(-1). lim. x`Ú -1+. `f(x)-f(2) =lim _lim{`f(x)-4} x-2 x`Ú 2 x`Ú 2 =f '(2)_{`f(2)-4}. Û 미분계수 f '(-1)이 존재해야 하므로. x`Ú -1-. {`f(x)}Û`-4f(x) lim x-2 x`Ú 2 `f(x){`f(x)-4} =lim x-2 x`Ú 2. Ú 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이어야 하므로. ㉠에서 x+1=t로 놓으면. f(x)-2 =3에서 x Ú ! 2일 때 (분모)! Ú 0이고 극한값이 존 lim x-2 x`Ú2. xÛ`+ax+b-(1-a+b) x+1 x`Ú -1+. = lim. (x+1)(x-1)+a(x+1) = lim x+1 x`Ú -1+. 즉, lim { f(x)-2}=f(2)-2=0 x`Ú2. = lim {(x-1)+a}. f(2)=2. =-2+a. 따라서. 에서 -3=-2+a, a=-1. 이 값을 ㉠에 대입하면 b=-2. 따라서 a+b=-3. 재하므로 (분자) Ú 0이어야 한다.. x`Ú -1+. f(x)-2 f(x)-f(2) =lim =f '(2)이므로 lim x-2 x-2 x`Ú2 x`Ú2 f '(2)=3 ⑤. g(x)=(xÛ`+x)f(x)에서 g'(x)=(2x+1)f(x)+(xÛ`+x)f '(x) 따라서 g'(2)=5f(2)+6f '(2) =5_2+6_3. 수능의 감을. 07-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ②. 07-2. ⑤. 07-3. 본문 32 ~33쪽. ④. 07-4. =28. ④. ⑤. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 13. 13. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(14) 07-3. =lim [ x`Ú2. Ú 함수 g(x)가 x=1에서 연속이어야 하므로. =f '(4)_. lim g(x)= lim g(x)=g(1). x`Ú1-. x`Ú1+. x`Ú1+. 이차함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로 위의 식에서. f(1)=-f(1)+b. a+3=-a-3+b. 2a-b=-6. 가 성립한다. 조건 (나)에서 f '(-2)=2, f '(-4)=-3이므로 f '(2)=lim . yy`㉠. Û 미분계수 g'(1)이 존재해야 하므로 lim . x`Ú1-. g(x)-g(1) x-1. = lim . x`Ú1-. =f '(1)=2+a. g(x)-g(1) lim x`Ú1+ x-1. = lim . =- lim . =-f '(1)=-2-a. 에서 2+a=-2-a, a=-2. 이 값을 ㉠에 대입하면. b=2. 따라서 f(x)=xÛ`-2x+2이므로. g(3)=-f(3)+2. x`Ú1+. =lim [. f(-2-h)-f(-2) _(-1)] -h. =-2 f '(4)=lim h`Ú0. f(4+h)-f(4) h. =lim [ h`Ú0. f(-4-h)-f(-4) _(-1)] -h. =-f '(-4) =-(-3) =3. -f(x)+b-{-f(1)+b} x-1. x`Ú1+. f(2+h)-f(2) h. =-f '(-2). `f(x)-f(1) x-1. h`Ú0. h`Ú0. `f(x)-{-f(1)+b} = lim x`Ú1x-1. yy`㉠. 대칭이므로 함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=f(x). lim `f(x)= lim {-f(x)+b}=-f(1)+b. x`Ú1-. 4 f '(2). 한편, 조건 (가)에서 함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여. 즉,. f(xÛ`)-f(4) (x+2)(x-2) _ ] f(x)-f(2) xÛ`-4. 따라서 ㉠에서. `f(x)-f(1) x-1. f '(4)_. 4 4 =3_. -2 f '(2) =-6 ④. =-(9-2_3+2)+2 =-3 ④. 07-4 lim x`Ú2. f(xÛ`)-f(4) f(x)-f(2). =lim [ x`Ú2. 14. f(xÛ`)-f(4) xÛ`-4 _ ] f(x)-f(2) xÛ`-4. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 14. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(15) 08. 08-2. 접선의 방정식. y=xÛ`-2x에서 y'=2x-2이므로. 수능 유형 체크. 본문 35쪽. 곡선 y=xÛ`-2x 위의 점 P(t, tÛ`-2t)에서의 접선의 방정식은 y-(tÛ`-2t)=(2t-2)(x-t). y=xÛ`에서 y'=2x. (2t-2)x-y-tÛ`=0. 곡선 y=xÛ` 위의 점 (t, tÛ`)에서의 접선의 방정식은. 이 접선과 원점 O 사이의 거리 f(t)는. y-tÛ`=2t(x-t) yy`㉠. y=2tx-tÛ` . f(t)=. 점 P(a, b)는 직선 y=x-2 위의 점이므로. =. b=a-2이고, 직선 ㉠은 점 (a, a-2)를 지나므로. 따라서. a-2=2ta-tÛ`. lim. tÛ`-2at+a-2=0. t`Ú¦. t에 대한 이 이차방정식의 두 근을 a, b로 놓으면 근과 계수의. |-tÛ`| "Ã(2t-2)Û`+(-1)Û` tÛ` "Ã4tÛ`-8t+5. `f(t) tÛ` =lim t t`Ú¦ t"Ã4tÛ`-8t+5 t "Ã4tÛ`-8t+5 1 =lim t`Ú¦ 8 5 ¾¨4- + t tÛ` =lim. 관계에 의하여. t`Ú¦. a+b=2a 직선 AB의 기울기가 3이므로 bÛ`-aÛ` =b+a=2a=3 b-a. =;2!;. a=;2#;. ③. 따라서 a+b=a+(a-2) =2a-2 =2_;2#;-2 =1 ②. 08-3 y=xÜ`+axÛ`-2x+5에서 y'=3xÛ`+2ax-2 수능의 감을. 08-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ⑤. 08-2. ③. 08-3. 본문 36 ~37쪽. ②. 08-4. 구하는 접선의 기울기는 m이므로 두 점 A, B의 x좌표는 이차방정식. ①. 3xÛ`+2ax-2=m. 08-1. 즉, 3xÛ`+2ax-2-m=0의 두 근이므로. 이차함수 f(x)=xÛ`+ax+b의 그래프가. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. x축과 두 점 A(a, 0), B(b, 0) (a<b)에서 만나므로 f(x)=(x-a)(x-b)라 하자.. - 2a =-4, -2-m =3 3 3. f '(x)=(x-b)+(x-a). 2a=12, -2-m=9. 따라서 곡선 y=f(x) 위의 점 B(b, 0)에서의 접선의 기울기. 따라서 a=6, m=-11이므로. 는 f '(b)이므로. a+m=6+(-11). f '(b)=b-a=5. =-5 ⑤. ②. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 15. 15. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(16) 08-4 `f(x)-1 =3에서 x`Ú 2일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 lim x-2 x`Ú 2 존재하므로 (분자)`Ú 0이어야 한다.. 09. 함수의 극대, 극소. 수능 유형 체크. 본문 39쪽. f(x)=2xÜ`+(a-2)xÛ`+(a-2)x+5에서. 즉, lim{`f(x)-1}=f(2)-1=0이므로 x`Ú 2. f '(x)=6xÛ`+2(a-2)x+(a-2). f(2)=1. f(x)가 극값을 갖지 않으려면 방정식 f '(x)=0이 허근을 갖. 한편,. 거나 중근을 가져야 한다.. `f(x)-f(2) f '(2)=lim x-2 x`Ú 2. 즉, 방정식 f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 D =(a-2)Û`-6(a-2)É0 4. `f(x)-1 =lim =3 x-2 x`Ú 2. (a-2)(a-8)É0. 이고, y=xf(x)에서 y'=f(x)+xf '(x)이므로. 2ÉaÉ8. 곡선 y=xf(x) 위의 x=2인 점에서의 접선의 기울기는. 따라서 구하는 모든 정수 a의 값의 합은. f(2)+2_f '(2)=1+2_3 =7. 2+3+4+y+8=. 구하는 접선의 방정식은. 7(2+8). 2. =35. y-2f(2)=7(x-2). ④. y=7x-14+2_1 =7x-12 따라서 a=7, b=-12이므로 a+b=-5 ①. 수능의 감을. 09-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제 09-2. ①. ④. 본문 40 ~41쪽. 09-3. 09-4. ①. ③. 09-1 f(x)=xÜ`-;2#;xÛ`-6x+a에서 f '(x)=3xÛ`-3x-6=3(x+1)(x-2) f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -1. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극댓값 ;2#;을 가지므로 f(-1)=-1-;2#;+6+a=;2#; a=-2. 16. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 16. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(17) 또한, 함수 f(x)는 x=2에서 극솟값 b를 가지므로. Ý x>d일 때, (x-b)f '(x)>0이고 x-b>0이므로. b=f(2)=8-6-12+a. f '(x)>0. =-10-2. 따라서 f(x)는 증가한다.. =-12. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.. 따라서 a+b=-2+(-12) =-14 ①. x. y. a. y. y. d. y. f '(x). -. 0. +. +. 0. +. f(x). ↘. 극소. ↗. ↗. b. ↗. ㄱ. f(x)는 열린구간 (a, b)에서 증가한다. (참) ㄴ. f(x)는 x=b에서 극솟값을 가지지 않는다. (거짓) ㄷ. f(x)는 x=0, x=d에서 모두 극솟값을 가지지 않는다.. 09-2. . 조건 (가)에 의해 사차함수 f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.. (거짓). 칭이므로. ①. f(x)=xÝ`+axÛ`+b (a, b는 상수) 라 하자. f '(x)=4xÜ`+2ax 조건 (나)에 의해 f '(1)=0, f(1)=-2 이므로 f '(1)=4+2a=0. 09-4. f(1)=1+a+b=-2. f(x)=xÜ`+3xÛ`-9x+a에서. 즉, a=-2, b=-1. f '(x)=3xÛ`+6x-9=3(xÛ`+2x-3)=3(x+3)(x-1). 따라서 f(x)=xÝ`-2xÛ`-1이므로. f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1. f(2)=16-8-1=7. 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ④. x. y. -3. y. 1. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. 09-3. 즉, 함수 f(x)는 x=-3일 때 극댓값 f(-3)=a+27, x=1. (x-b)f '(x)=0에서 x=a 또는 x=b 또는 x=d. 일 때 극솟값 f(1)=a-5를 갖는다.. 함수 g(x)=(x-b)f '(x)의 그래프에서. Z. Ú x<a일 때, (x-b)f '(x)>0이고 x-b<0이므로. f '(x)<0. 따라서 f(x)는 감소한다.. B

(18) . Û a<x<b일 때, (x-b)f '(x)<0이고 x-b<0이므로. f '(x)>0. 따라서 f(x)는 증가한다.. Ü b<x<d일 때, (x-b)f '(x)>0이고 x-b>0이므로. ZG Y. 0. . Y. B. 함수 g(x)=|`f(x)|가 x=a, x=b`(a<b)에서 극댓값을. f '(x)>0. 가지려면 a+27>0이고 a-5<0이어야 한다.. 따라서 f(x)는 증가한다.. 따라서 -27<a<5. yy`㉠. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 17. 17. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(19) Ú a+27>-(a-5)일 때 Z. 10. Z]G Y ] B

(20) . 0 B. 함수의 최대, 최소. 수능 유형 체크. 본문 43쪽. P(t, f(t))이므로 Q(t, 0), R(0, f(t)). Y. 직사각형 OQPR의 넓이를 g(t) (0<t<2)라 하면 g(t)=t_f(t)=-tÝ`+4tÛ`. Û a+27<-(a-5)일 때. g'(t)=-4tÜ`+8t=-4t(t+'2)(t-'2) Z. g'(t)=0에서 t=0 또는 t=-'2 또는 t='2. Z]G Y ]. 0<t<2에서 함수 g(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음. B. 과 같다. . 0. . B

(21) . (0). t. Y. g'(t). Ú, Û에서 g(a)=f(-3)=a+27이고. (0). g(t). g(b)=-f(1)=-a+5이므로. y. '2. y. +. 0. -. ↗. 극대. ↘. (2). (0). 따라서 함수 g(t)의 최댓값은. | g(a)-g(b)|=|a+27+a-5|. g('2)=-4+8. =|2a+22|>12. =4. 이때 2a+22>12에서 a>-5이므로 ㉠과 공통 범위는. ③. -5<a<5 또한, 2a+22<-12에서 a<-17이므로 ㉠과 공통 범위는 -27<a<-17 따라서 정수 a는 -4, -3, y, 3, 4의 9개와 -26, -25, y, -18의 9개이므로 모두 18개이다. ③. 수능의 감을. 10-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ③. 10-2. ③. 10-3. 본문 44 ~45쪽. 24. 10-4. ①. 10-1 f(x)=xÝ`+2ax+b에서 f '(x)=4xÜ`+2a f '(-1)=0에서 -4+2a=0 a=2 따라서 f(x)=xÝ`+4x+b이고 f '(x)=4xÜ`+4=4(x+1)(xÛ`-x+1)=0에서 함수 f(x)의 증가와 감소를 조사하면 f(x)는 x=-1일 때 최소이다. 즉, f(-1)=1-4+b=5에서 b=8 따라서 a+b=2+8=10 ③. 18. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 18. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(22) 10-2. g'(m)=;2!;(3mÛ`-32m+64). 사차함수 y=f(x)의 도함수 y=f '(x)는 삼차함수이다.. =;2!;(3m-8)(m-8)=0. 조건 (가)에 의해 도함수 y=f '(x)의 그래프는 원점에 대하여. m=;3*; 또는 m=8. 대칭이고, f '(0)=0이다. 조건 (나)에서 f '(a)=0이므로 f '(-a)=0이다. 조건 (다)에서 구간 [0, b]에서 함수 f '(x)의 최댓값은 f '(c) 이므로 도함수 y=f '(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.. ZGA Y. B. 같다. y. ;3*;. y. g '(m). +. 0. -. g(m). ↗. 극대. ↘. (0). m. Z. D. 0<m<8에서 g(m)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과. 0 D B. C. Y. (8). g(m)은 m=;3*;일 때, 극대이면서 최대가 되므로 k=;3*;. 방정식 f '(x)=0의 해는 위의 그래프에서. 따라서 9k=9_;3*;=24. x=-a 또는 x=0 또는 x=a. 24. 이므로 사차함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -a. y. 0. y. a. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. 0. -. f(x). ↗. 극대. ↘. 극소. ↗. 극대. ↘. 따라서 닫힌구간 [-a, a]에서 함수 f(x)는 x=0일 때, 극소 인 동시에 최소이므로 f(x)의 최솟값은 f(0)이다. ③. 10-4 f(x)=-xÜ`+;2#;axÛ`-aÛ`에서 f '(x)=-3xÛ`+3ax =-3x(x-a) f '(x)=0에서 x=0 또는 x=a Ú 0<aÉ2일 때, 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면. 10-3 곡선 f(x)=-xÛ`+8x와 직선 y=mx의 교점의 x좌표는 -xÛ`+8x=mx에서 x(x+m-8)=0 x=0 또는 x=-m+8 따라서 점 P의 좌표는. 다음과 같다. y. a. y. f '(x). +. 0. -. f(x). ↗. 극대. ↘. 0. x. 2. P(-m+8, -mÛ`+8m). 따라서 닫힌구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 최댓값 g(a)는. 삼각형 POQ의 넓이를 g(m)이라 하면. g(a)=f(a). g(m)=;2!;(-m+8)(-mÛ`+8m). =-aÜ`+;2#;aÜ`-aÛ`. =;2!;(mÜ`-16mÛ`+64m). =. aÜ` -aÛ` 2. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 19. 19. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(23) Û a>2일 때, 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다. y. 2. y. (a). f '(x). +. +. +. 0. -. f(x). ↗. ↗. ↗. 극대. ↘. 0. x. 11. 도함수의 방정식과 부등식에의 활용. 수능 유형 체크. 본문 47쪽. 조건 (가)에서 f '(-2)=f '(3)=0이므로 f(x)는 x=-2와 x=3에서 극값을 갖는다.. 따라서 닫힌구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 최댓값 g(a)는. 조건 (나)에서 f(-2)f(3)<0이므로. g(a)=f(2)=-aÛ`+6a-8. 방정식 f(x)=0은 서로 다른 세 실근 a, b, c를 가지며 a, b,. Ú, Û에서. c는 -2, 3과는 다른 값이다.. aÜ` -aÛ` (0<aÉ2) g(a)= 2 p[-aÛ`+6a-8 (a>2). 따라서 방정식 f(x)f '(x)=0의 근은. [. [. g'(a)=. ;2#;aÛ`-2a . p[-2a+6. f(x)=0 또는 f '(x)=0 의 근이므로 서로 다른 실근은 a, b, c, -2, 3의 5개이다.. (0<aÉ2). ③. (a>2). g'(a)=0에서 a=;3$; 또는 a=3 함수 g(a)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. (0). a. ;3$;. -. g '(a) g(a). y. (0). ↘. 극소. y. 3. +. 0. -. 11-1. ↗. 극대. ↘. 11-1. 수능의 감을. 쑥쑥 키워주는 수능 유제 11-2. ②. 11-3. ③. 따라서 함수 g(a)는 a=3일 때 최댓값. xÜ`-9x-a=3x-5에서. g(3)=-3Û`+18-8=1. xÜ`-12x+5=a. 을 갖는다.. f(x)=xÜ`-12x+5로 놓으면 ①. 본문 48 ~49쪽. 11-4. ③. ④. f '(x)=3xÛ`-12 =3(xÛ`-4) =3(x+2)(x-2) f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=2 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. y. -2. y. 2. y. f '(x). +. 0. -. 0. +. f(x). ↗. 21. ↘. -11. ↗. 즉, y=f(x)의 그래프는 그림과 같다. Z. ZG Y. ZB. 0. . Y. . 20. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 20. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(24) Z. 따라서 방정식 f(x)=a가 서로 다른 두 개의 음의 근과 한 개. ZG Y. 의 양의 근을 가지려면 5<a<21이어야 하므로 조건을 만족시 키는 정수 a는 6, 7, 8, y, 20의 15개이다. ②. =. 11-2. 0. >. Y. 그러므로 f(a)f(b)<0 (참). ㄷ. [반례] ab>0이면 a>0, b>0인 경우에 y=f(x)의 그래프 가 다음 그림과 같이 f(a)f(b)<0인 경우가 있을 수 있다.. f(x)=xÜ`-9xÛ`+15x+a로 놓으면. f '(x)=3xÛ`-18x+15=3(x-1)(x-5). 그러므로 항상 f(a)f(b)>0인 것은 아니다. (거짓). f '(x)=0에서 x=1 또는 x=5. Z. ZG Y. x¾0에서 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. x. 0. f '(x) f(x). a. y. y. 1. 5. y. +. 0. -. 0. +. ↗. a+7. ↘. a-25. ↗. 0 =. >. Y. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. x¾0에서 함수 f(x)는 x=5에서 극소이면서 최소이므로 모. ③. 든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)¾0이 성립하려면 f(5)=a-25¾0 a¾25 이어야 한다. 따라서 실수 a의 최솟값은 25이다. ③. 11-4 ㄱ. 모든 실수 x에 대하여 F'(x)<0이므로 함수 F(x)는 실 수 전체의 집합에서 감소한다. 따라서 함수 F(x)는 일대 일 대응이므로 역함수를 갖는다. (참). 11-3. ㄴ. 모든 실수 x에 대하여 F'(x)<0이므로 함수 F(x)는 실. f '(a)=f '(b)=0이고 삼차함수 f(x)의 최고차항의 계수가 양. 수 전체의 집합에서 감소하고 F(1)=0이므로 x>1일 때 . 수이므로 f(x)는 x=a에서 극댓값, x=b에서 극솟값을 갖는다.. F(x)<0, x<1일 때 F(x)>0이다. (거짓). 따라서 f(a)>f(b)이고 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 다. |참고| [반례] f(x)=3-3x, g(x)=1-x라 하면. 음 그림과 같다.. f '(x)=-3, g'(x)=-1이다.. F(1)=f(1)-g(1)=0-0=0. ZG Y. =. >. Y. ㄱ. f(x)가 x=a에서 극댓값을 가지므로 x<a에서. f(x)<f(a)이고 f(0)=0이므로 a>0이면 f(a)>0이다. (참). ㄴ. ab<0이면 a<0<b이다.. f(a)>f(b)이고 f(0)=0이므로. f(a)>0, f(b)<0이다.. 이고 모든 실수 x에 대하여. F '(x)=-3-(-1)=-2<0. 이 성립하지만. x=0일 때 f(0)=3, g(0)=1이므로. F(0)=3-1=2>0이다. (거짓). ㄷ. ㄴ에 의해 방정식 F(x)=0은 오직 한 개의 실근 x=1을 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 21. 21. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(25) 12. 따라서 t=;3@;일 때, 점 P의 가속도는. 속도와 가속도. 6_;3@;-14=4-14=-10. 수능 유형 체크. 본문 51쪽. ①. 주어진 그래프에서 0<t<a에서 f(t)는 증가하므로. 12-2. f '(t)>0 a<t<c에서 f(t)는 감소하므로. f(t)=2tÛ`-8t+5, g(t)=-tÛ`+4t+8에서. f '(t)<0. 두 점 P, Q의 시각 t에서의 속도를 각각 vP, vQ라 하면. c<t<e에서 f(t)는 증가하므로. vP=4t-8, vQ=-2t+4. f '(t)>0. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 시각은. ㄱ. t=a와 t=c의 좌, 우에서 f '(t)의 부호가 바뀌므로 점 P. 4t-8=-2t+4. 는 움직이는 동안 운동 방향을 두 번 바꾼다. (참). 6t=12. ㄴ. 원점을 통과할 때의 위치는 0이므로 f(t)=0에서 . t=2. t=b 또는 t=d. t=2일 때, 두 점 P, Q의 위치는 각각. 이다. 따라서 처음으로 원점을 통과할 때의 속도는 f '(b). f(2)=8-16+5=-3. 이다. (참). g(2)=-4+8+8=12. ㄷ. 0<t<a일 때와 c<t<e일 때 f '(t)>0이므로 점 P는 두 구간에서 양의 방향으로 움직인다. (참). 따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 |12-(-3)|=15. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. ④ ⑤. 12-3 x=tÜ`+atÛ`+bt+4이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면 수능의 감을. 12-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ①. 12-2. ④. 12-3. 본문 52 ~53쪽. ④. 12-4. ⑤. v=. dx =3tÛ`+2at+b dt. 점 P는 t=3에서 운동 방향을 바꾸므로 v=0. 12-1. 즉, 27+6a+b=0. x=tÜ`-7tÛ`+8t+4이므로 시각 t에서의 점 P의 속도를 v라 하면. 또한 t=3에서 점 P의 위치는 -5이므로. dx v= =3tÛ`-14t+8 dt. 6a+b=-27 27+9a+3b+4=-5. 3tÛ`-14t+8=0에서. 3a+b=-12. (3t-2)(t-4)=0. ㉠, ㉡에서. t=;3@; 또는 t=4. 따라서 v=3tÛ`-10t+3이고 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a 라 하면. 점 P가 처음으로 방향을 바꾸는 순간은 t=;3@;일 때이다.. a=. a=. 22. dv =6t-14 dt. yy`㉡. a=-5, b=3. 따라서 0<t<;3@;일 때 v>0이고, ;3@;<t<4일 때 v<0이므로. 시각 t에서의 점 P의 가속도를 a라 하면. yy`㉠. dv =6t-10 dt. 이므로 t=4에서 점 P의 가속도는 6_4-10=14 ④. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 22. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(26) 12-4. Ⅲ. 다항함수의 적분법. 시각 t에서의 두 점 P, Q의 위치가 각각 f(t)=tÛ`-8t+2. 13. g(t)=tÜ`-2tÛ` 이므로 두 점 P, Q의 속도를 각각 v¸(t), vÎ(t)라 하면 v¸(t)=2t-8. 수능 유형 체크. =2(t-4) vÎ(t)=3tÛ`-4t. 본문 55쪽. 삼차함수 f(x)가 x=-1에서 극댓값 1, x=1에서 극솟값. =t(3t-4). -3을 가지므로 f '(-1)=f '(1)=0, f(-1)=1, f(1)=-3. ㄱ. t=1일 때. 부정적분. v¸(1)=2_(1-4)=-6 (참). 이다.. ㄴ. vÎ(t)=t(3t-4)=0에서 t>0이므로. f '(x)=a(x+1)(x-1)=axÛ`-a`(a는 상수)라 하면. t=;3$;. 즉, t=;3$;의 좌우에서 vÎ의 부호가 바뀌므로 점 Q는 운동 방. 향을 한 번 바꾼다. (참). f(x)=: (axÛ`-a)dx =;3A;xÜ`-ax+C (단, C는 적분상수) 에서. ㄷ. t>0에서 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이려면. f(-1)=-;3A;+a+C. v¸(t)vÎ(t)<0이어야 한다.. 즉, v¸(t)vÎ(t)=2t(t-4)(3t-4)<0 . h(t)=2t(t-4)(3t-4)라 하면 함수 h(t)의 그래프의 개. 형은 다음 그림과 같으므로 t>0에서 부등식 ㉠의 해는. ;3$;<t<4이다.. =;3@;a+C=1. yy`㉠. yy`㉠. f(1)=;3A;-a+C =-;3@;a+C=-3. Z. yy`㉡. ㉠, ㉡에서 a=3, C=-1. ZI U. 따라서 f(x)=xÜ`-3x-1. 0. . . f(3)=27-9-1=17. U. ④ 그러므로 t>0에서 두 점 P, Q가 반대 방향으로 움직이는. 시간은 4-;3$;=;3*;이다. (참). 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 수능의 감을. 13-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ⑤. 13-2. 39. 13-3. 본문 56 ~57쪽. ①. 13-4. ⑤. 13-1 F(x)=xf(x)+xÝ`+xÛ`+4의 양변을 x에 대하여 미분하면 d d F(x)= {xf(x)+xÝ`+xÛ`+4} dx dx f(x)=f(x)+xf '(x)+4xÜ`+2x f '(x)=-4xÛ`-2 위의 식의 양변을 x에 대하여 적분하면. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 23. 23. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(27) f(3)=9-3+CÁ=5, CÁ=-1. f(x)=: (-4xÛ`-2)dx. 따라서. =-;3$;xÜ`-2x+C (단, C는 적분상수). xÛ`-x-1 (x>1) f(x)=[ (x<1) ax+2. f(0)=3에서 C=3. 이때 함수 f(x)가 x=1에서 연속이려면. 즉, f(x)=-;3$;xÜ`-2x+3이므로. f(1)= lim `f(x)= lim `f(x)이어야 하므로 x`Ú 1+. f(-3)=36+6+3. x`Ú 1-. f(1)= lim (xÛ`-x-1)= lim (ax+2)에서 x`Ú 1+. =45 ⑤. x`Ú 1-. f(1)=1-1-1=a+2 a=-3 ①. 13-2 f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy(x+y)+3에. 13-4. x=0, y=0을 대입하면 f(0)=-3. d : f '(x)dx=3xÛ`+4x+a에서 dx. (가). 조건 (나)에서 f '(0)=2이므로. f '(x)=3xÛ`+4x+a. `f(x+h)-f(x) f '(x)=lim h h`Ú 0. yy`㉠. `f(x) (나) lim =2a+1에서 x`Ú 1 x-1. `f(h)+4xh(x+h)+3 =lim h h`Ú 0. x Ú 1일 때, (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이어야 한다.. 4xh(x+h)+f(h)-f(0) =lim h h`Ú 0. 즉, lim`f(x)=0이므로 f(1)=0. =4xÛ`+f '(0). 이때. x`Ú 1. =4xÛ`+2. `f(x) `f(x)-f(1) =lim lim x-1 x`Ú 1 x-1 x`Ú 1. f(x)=: (4xÛ`+2)dx. . =;3$;xÜ`+2x+C (단, C는 적분상수). =f '(1)=2a+1. 이므로 ㉠에서. f(0)=-3이므로. f '(1)=7+a=2a+1. C=-3. a=6. 따라서 f(x)=;3$;xÜ`+2x-3이므로. 즉, f '(x)=3xÛ`+4x+6이므로 f(x)=: f '(x)dx. f(3)=36+6-3 =39. =: (3xÛ`+4x+6)dx 39. =xÜ`+2xÛ`+6x+C (단, C는 적분상수) 이고. 13-3. f(1)=1+2+6+C=0. 2x-1(x>1) 에서 f '(x)=[ (x<1) a. 이므로. xÛ`-x+CÁ (x>1) f(x)=[ (단, CÁ, Cª는 적분상수) ax+Cª (x<1). 따라서 f(x)=xÜ`+2xÛ`+6x-9이므로. f(0)=2, f(3)=5에서 f(0)=Cª=2. 24. C=-9 f(2)=8+8+12-9 =19 ⑤. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 24. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(28) 14. 14-2. 정적분의 성질과 계산. 3x-1 (x¾1) 에서 f(x)=[ x+1 (x<1). 수능 유형 체크. 본문 59쪽. :Ab (x+k)Û`f(x)dx. =kÛ`:Ab f(x)dx+2k:Ab xf(x)dx+:Ab xÛ`f(x)dx. :_2@ f(x)dx=:_1@ (x+1)dx+:!2 (3x-1)dx . :Ab f(x)dx=5, :Ab xf(x)dx=-10이고. . :Ab (xÛ`+2)f(x)dx=-15에서. =[;2!;xÛ`+x]1_@+[;2#;xÛ`-x]2!. =[{;2!;+1}-(2-2)]+[(6-2)-{;2#;-1}] =5 ③. :Ab xÛ`f(x)dx+2:Ab f(x)dx=-15. 14-3. :Ab xÛ`f(x)dx=-2:Ab f(x)dx-15. 함수 f(x)는 x=0과 x=2에서 극값을 가지므로 f '(0)=f '(2)=0이고 삼차함수 y=f(x)는 최고차항의 계수. =-2_5-15=-25. 가 양수이므로 함수 y=f '(x)의 그래프는 그림과 같다.. 따라서. :Ab (x+k)Û`f(x)dx=5kÛ`-20k-25. Z. 즉, k=2일 때 :Ab (x+k)Û`f(x)dx는 최솟값 -45를 갖는다.. ZGA Y. =5(k-2)Û`-45. 0. 따라서 a=2, m=-45이므로. . Y. a-m=47 ④ 따라서. 수능의 감을. 14-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ④. 14-2. ③. 14-3. 본문 60 ~61쪽. 30. 14-4. ②. :_2#|f '(x)|dx. =:_0#|f '(x)|dx+:)2 |f '(x)|dx. =:_0# f '(x)dx+:)2 {-f '(x)}dx. 14-1. :!4 f(x)dx-:@4 f(x)dx+:_1! f(x)dx. =[f(x)]0_#+[-f(x)]2). =:_4! f(x)dx+:$2 f(x)dx. =2f(0)-{ f(-3)+f(2)}. =:_1! f(x)dx+:!4 f(x)dx-:@4 f(x)dx. ={ f(0)-f(-3)}+{-f(2)+f(0)} =2f(0)-2=58. =:_2! f(x)dx. 따라서 2f(0)=60이므로 f(0)=30이다. 30. =:_2!`(xÛ`-4x+3)dx. | 다른 풀이 |. =[;3!;xÜ`-2xÛ`+3x]2_!. f '(x)=ax(x-2)(a>0)이라 하면. :_2#|f '(x)|dx=a:_0#x(x-2)dx-a:)2`x(x-2)dx. ={;3*;-8+6}-{-;3!;-2-3}. . =6 ④. . =a:_0#(xÛ`-2x)dx-a:)2`(xÛ`-2x)dx =a[;3!;xÜ`-xÛ`]0_#-a[;3!;xÜ`-xÛ`]2). 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 25. 25. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(29) . =18a+;3$;a. . =:°3¥:a=58. 15. 수능 유형 체크. 따라서 a=3이므로 f '(x)=3x(x-2)=3xÛ`-6x. 본문 63쪽. 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=f(x)이므로 :)2 f(x)dx=:_0@ f(x)dx=12. 즉, f(x)=xÜ`-3xÛ`+C (단, C는 적분상수) 이때. 모든 실수 x에 대하여 g(-x)=-g(x)이므로 :)2 g(x)dx=-:_0@ g(x)dx. f(-3)+f(2)=-54+C-4+C =-58+2C=2. . 함수의 성질을 이용한 정적분. 2C=60, C=30. =-{-:)-`~2 g(x)dx}=8. . 따라서 f(x)=xÜ`-3xÛ`+30이므로. 따라서. f(0)=30. :)2 {3f(x)-2g(x)}dx=3:)2 f(x)dx-2:)2 g(x)dx . =3_12-2_8. . =20 ②. 14-4 f '(x)=3xÛ`-2x+1=3{x-;3!;} +;3@;에서 2. 모든 실수 x에 대하여 f '(x)>0이므로 함수 f(x)는 실수 전 체의 집합에서 증가한다. 0ÉaÉ4에서. 수능의 감을. g(a)=:)a {-f(x)+f(a)}dx+:A4 { f(x)-f(a)}dx. 15-1. xÝ` xÜ` xÛ` + - +f(a)x]a) 4 3 2 xÝ` xÜ` xÛ` +[ - + -f(a)x]4A 4 3 2 aÝ` aÜ` aÛ` 152 =2[- + - +af(a)]+ -4f(a) 4 3 2 3 =[-. 15-2. ⑤. ①. 15-3. 본문 64 ~65쪽. 32. 15-4. ③. 15-1. :_2@ f(x)dx=:_2@`(2xÜ`+3xÛ`-x-3)dx =2:)2 (3xÛ`-3)dx. =2[xÜ`-3x]2)`. 이므로 g'(a)=2{-aÜ`+aÛ`-a+f(a)+af '(a)}-4f '(a). =2_(8-6). =2{-aÜ`+aÛ`-a+aÜ`-aÛ`+a+a f '(a)}-4 f '(a). =4. :_1!`xf(x)dx=:_1!`(2xÝ`+3xÜ`-xÛ`-3x)dx. =2a f '(a)-4 f '(a) =2(a-2)f '(a) 이고, f '(a)>0이므로 g '(a)=0에서 a=2. =2:)1 (2xÝ`-xÛ`)dx. =2[;5@;xÞ`-;3!;xÜ`]1). 따라서 g(a)의 증가와 감소를 조사하면 g(a)는 a=2에서 극 소이면서 최솟값 152 g(2)=2[-4+;3*;-2+2f(2)]+ -4f(2) 3. =2_{;5@;-;3!;}. =44. =;1ª5;. 를 갖는다. ②. 26. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. 이므로. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 26. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(30) [ :_2@ f(x)dx]Û`=a:_1!`xf(x)dx. 15-3 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)이므로 g(x)=xf(x). 에서 16=;1ª5;a. 라 하면. 따라서 a=120. g(-x)=-xf(-x)=-x{-f(x)}=xf(x)=g(x) ⑤. 이므로 함수 y=xf(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. 또한, h(x)=xÛ`f(x)라 하면 h(-x)=(-x)Û`f(-x)=xÛ`{-f(x)}=-xÛ`f(x)=-h(x) 이므로 함수 y=xÛ`f(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서. :_2@`(xÛ`+2x)f(x)dx=:_2@`xÛ`f(x)dx+2:_2@`xf(x)dx. 15-2 f(x)=2xÜ`-8x의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로. =0+4:)2 xf(x)dx. 조건 (가)에서. :_2@ f(x)dx=:_2@`(2xÜ`-8x)dx. =4_8 =32. =0. 32. 조건 (나)에 의해. :_2@ f(x)dx=:_-^ 2 f(x)dx. =:_-! 6) f(x)dx =0. :_2@ f(x)dx=:@6 f(x)dx. =:^1`0 f(x)dx. 따라서. =y=:#3$8 f(x)dx=0. :_4!0) f(x)dx=:. -6. -10. 15-4 (가)에서 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+4)이므로. f(x)dx+:_-^ 2 f(x)dx+:_2@ f(x)dx. f(x+20)=f(x+16)=y=f(x+4)=f(x) 따라서. +y+:#3$8 f(x)dx+:#4*0 f(x)dx. =:#4*0 f(x)dx. :!2 f(x+20)dx=:!2 f(x)dx (나)에서. f(1+x)+f(1-x) =0이므로 -1ÉxÉ3에서 함 2. 수 y=f(x)의 그래프는 점 (1, 0)에 대하여 대칭이다.. =:_0@ f(x)dx. (다)에서 :!3 f(x)dx=-6이므로 :_1! f(x)dx=6. =:_0@(2xÜ`-8x)dx. 한편, :_2! f(x)dx=18이므로. =[;2!;xÝ`-4xÛ`]0_@ =0-(8-16). :!2 f(x)dx=:_2! f(x)dx-:_1! f(x)dx . =18-6. =8. . =12 ③. ①. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 27. 27. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(31) 16. 16-2. 정적분으로 표현된 함수. 수능 유형 체크. 본문 67쪽. yy`㉠. f(x)=:!/ (4tÛ`+at+3)dt ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. :)/ f(t)dt=2xÜ`+xÛ`:!2 f(t)dt. 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=6xÛ`+2x:!2 f(t)dt. :!2 f(t)dt=a (a는 상수)라 하면 f(x)=6xÛ`+2ax이므로. f '(x)=4xÛ`+ax+3. :!2 (6tÛ`+2at)dt=a. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. [2tÜ`+atÛ`]2!=a. f(1)=0 `f(x)-f(1) `f(x) =lim lim x`Ú 1 xÛ`-1 x`Ú 1 (x+1)(x-1) . `f(x)-f(1) 1 =lim _lim x-1 x`Ú 1 x+1 x`Ú 1. . =;2!; `f '(1)=4. (16+4a)-(2+a)=a 14+3a=a, a=-7 따라서 f(x)=6xÛ`-14x이므로 f(3)=54-42=12. 에서 f '(1)=8. ①. 즉, f '(1)=4+a+3=8 따라서 a=1 ③. 16-3. :_/! f(t)dt=xf(x)+3xÛ`-4xÜ` . yy`㉠. ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. f(x)=f(x)+xf '(x)+6x-12xÛ` f '(x)=12x-6 수능의 감을. 16-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ⑤. 16-2. ①. 16-3. 본문 68 ~69쪽. ④. 16-4. f(x)=: f '(x)dx=:`(12x-6)dx. ①. ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면. :@/ f(t)dt=xÝ`-4xÜ`+ax. 0=-f(-1)+3+4이므로 f(-1)=7 ㉡에서 f(-1)=6+6+C=7이므로 C=-5. 의 양변에 x=2를 대입하면. 따라서 f(x)=6xÛ`-6x-5. 0=16-32+2a. ㄱ. f(0)=-5 (참). a=8. :@/ f(t)dt=xÝ`-4xÜ`+8x. yy`㉠. ㄴ. f '(x)=12x-6=0에서 x=;2!; 함수 f(x)의 증가와 감. ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면. 소를 표로 나타내면 오른. f(x)=4xÜ`-12xÛ`+8. 쪽과 같다. 그러므로 구간 {0, ;2!;}에. 따라서 f(2)=32-48+8. x. y. ;2!;. y. f '(x). -. 0. +. f(x). ↘. 극소. ↗. 서 f(x)는 감소하고, 구. =-8 ⑤. 28. yy`㉡. =6xÛ`-6x+C (단, C는 적분상수) . 16-1. 간 {;2!;, 1}에서 f(x)는 증가한다. (거짓). EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 28. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(32) ㄷ. f(x)=6xÛ`-6x-5이므로. g(x)=6xÜ`-6xÛ`-5x. g'(x)=18xÛ`-12x-5. 이차방정식 g '(x)=0의 판별식을 D라 하면. D =36+90=126>0 4. 17. 넓이. 수능 유형 체크. 본문 71쪽. f(x)=xÜ`-4x+1이라 하면 f '(x)=3xÛ`-4. 이므로 방정식 g '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 가진다. 그러므로 삼차함수 g(x)는 극댓값과 극솟값을 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④. 곡선 y=xÜ`-4x+1 위의 점 (1, -2)에서의 접선의 기울기가 f '(1)=3-4=-1 이므로 접선의 방정식은 y-(-2)=(-1)_(x-1) y=-x-1 Z. ZY Y

(33) . ZY. 16-4. 0. Y. 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=f(x)를 만족시키는 이차함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. 또한,. . g(x)=:)/ (x-t)f(t)dt. 곡선과 접선의 교점의 x좌표를 구하면 xÜ`-4x+1=-x-1, xÜ`-3x+2=0. =x:)/ f(t)dt-:)/ tf(t)dt. (x-1)Û`(x+2)=0에서. 의 양변을 x에 대하여 미분하면. x=-2 또는 x=1. g'(x)=:)/ f(t)dt+xf(x)-xf(x). 따라서 구하는 도형의 넓이 S는. S=:_1@`{(xÜ`-4x+1)-(-x-1)}dx. =:)/ f(t)dt. =:_1@`(xÜ`-3x+2)dx. ㄱ. g'(0)=:)0 f(t)dt=0 (참) ㄴ. g'(x)=:)/ f(t)dt이고 이차함수 y=f(x)의 그래프가 y. ={;4!;-;2#;+2}-(4-6-4). 축에 대하여 대칭이므로 모든 실수 x에 대하여. =[;4!;xÝ`-;2#;xÛ`+2x]1_@. g'(-x)=:)-` / f(t)dt =-:_0? f(t)dt. =;4#;+6 =:ª4¦:. =-:)/ f(t)dt=-g'(x) (거짓). ③. ㄷ. g'(0)=0이고 g'(-x)=-g'(x)이므로 x>0일 때와 x<0일 때의 g'(x)의 값의 부호가 달라진다. 즉, g(x)는 x=0에서 극값을 갖는다. 하지만 x=0의 좌우 에서 g'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는지, 음에서 양으 로 바뀌는지 알 수 없다.. 즉, 극댓값을 갖는지 극솟값을 갖는지 알 수 없다. (거짓) 수능의 감을. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. ①. 17-1. 쑥쑥 키워주는 수능 유제. ①. 17-2. ③. 17-3. 본문 72 ~73쪽. ①. 17-4. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 29. ④. 29. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(34) 17-1. 17-3. 곡선 y=xÛ`+2x-1과 직선 y=2의 교점의 x좌표는. 점 A(0, a)에서 곡선 y=xÛ`에 접선을 그을 때, 한 접점의 좌표. xÛ`+2x-1=2, xÛ`+2x-3=0. 를 (t, tÛ`) (t>0)이라 하면. (x+3)(x-1)=0에서. y=xÛ`에서 y'=2x이므로. x=-3 또는 x=1. 구하는 접선의 방정식은 Z. y-tÛ`=2t(x-t), y=2tx-tÛ`. ZY

(35) Y. 따라서 두 접선과 곡선 y=xÛ`으로 둘러싸인 도형의 넓이 S는. Z. S=2:)t`(xÛ`-2tx+tÛ`)dx 0. . . =2[;3!;xÜ`-txÛ`+tÛ`x]t). Y. . =;3@;tÜ`=18 t=3. 닫힌구간 [-3, 1]에서 xÛ`+2x-1É2이므로. 한편, 접선 y=2tx-tÛ`이 점 A(0, a)를 지나므로. 구하는 도형의 넓이 S는. S=:_1#`{2-(xÛ`+2x-1)}dx. a=-tÛ`=-3Û` =-9. =:_1#`(-xÛ`-2x+3)dx =[-. ①. xÜ` -xÛ`+3x]1_# 3. ={-;3!;-1+3}-(9-9-9). 17-4. =;3%;+9. (나)에 의해. =:£3ª:. f '(x)=ax(x+2)(x-2) ①. =a(xÜ`-4x) (a>0) 이라 하면 f(x)=:`f '(x)dx =a:`(xÜ`-4x)dx =a{;4!;xÝ`-2xÛ`}+C (단, C는 적분상수). 17-2. 한편, f '(x)의 부호는 x=0의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므. 주어진 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 :)4 {xÛ`(x-4)-ax(x-4)}dx=0. 로 f(x)는 x=0에서 극댓값을 갖는다. (다)에서 f(0)=C=4. 즉, :)4 {xÜ`-(4+a)xÛ`+4ax}dx=0에서 [. 즉, f(x)=a{;4!;xÝ`-2xÛ`}+4. xÝ` 4+a 4+a xÜ`+2axÛ`]4)= 64_64+32a 4 3 3. (가)에서 곡선 y=f(x)는 점 (2, 0)을 지나므로 f(2)=a(4-8)+4. =-:¤3¢:+:£3ª:a=0. =-4a+4=0 a=1. 따라서 a=2 ③. 30. 따라서 f(x)=;4!;xÝ`-2xÛ`+4이다.. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 30. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(36) Z. ZG Y. 수능의 감을. 18-1. . 쑥쑥 키워주는 수능 유제 18-2. ②. ④. 본문 76 ~77쪽. 18-3. ③. 18-4. ③. 18-1 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t (t¾0)에서의 위치 x가 . 0. . Y. x=tÜ`+atÛ`. 위의 그림에서 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이. 이므로 시각 t에서 점 P의 속도 v(t)는 v(t)=. 를 S라 하면. S=:_2@ f(x)dx. dx =3tÛ`+2at dt. v(2)=12+4a=0. =:_2@`{;4!;xÝ`-2xÛ`+4}dx. a=-3 따라서 v(t)=. dx =3tÛ`-6t이므로 dt. =2:)2``{;4!;xÝ`-2xÛ`+4}dx. t=0에서 t=2까지 점 P의 움직인 거리는. =2[{;5*;-:Á3¤:+8}-0]. . :)2 |v(t)|dt=:)2 |3tÛ`-6t|dt. =2[;2Á0;xÞ`-;3@;xÜ`+4x]2) =:Á1ª5¥:. ④. . =:)2 (6t-3tÛ`)dt =[3tÛ`-tÜ`]2) =12-8=4. ②. 18. 18-2. 속도와 거리. 수능 유형 체크. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위 본문 75쪽. 치를 x(t)라 하면 x(t)=0+:)t (3-2t)dt. v(t)<0에서. =[3t-tÛ`]t). v(t)=tÛ`-5t+4<0 (t-1)(t-4)<0. =3t-tÛ`. 즉, 1<t<4 따라서 점 P가 처음 출발할 때의 방향과 반대 방향으로 움직인 거리는. :!4 |tÛ`-5t+4|dt. =-t(t-3) 이때 x(t)=0에서 t=0 또는 t=3이므로 점 P는 t=3일 때 다 시 원점을 지난다. 따라서 점 P가 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리는. :)3 |3-2t|dt=:) `(3-2t)dt+: 3 `(2t-3)dt ;2#;. =:!4 (-tÛ`+5t-4)dt. ;2;#. =[-;3!;tÜ`+;2%;tÛ`-4t]4!. . ={-:¤3¢:+40-16}-{-;3!;+;2%;-4}. . =;2(;. . =[3t-tÛ`] +[tÛ`-3t]3 ;2#; 0. ;2#;. ={;2(;-;4(;}+[(9-9)-{;4(;-;2(;}] =;4(;+;4(;=;2(;. ③. ④. 정답과 풀이. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 31. 31. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

(37) 18-3 원점을 출발한 후 t=a`(a>0)에서 두 점 P, Q가 다시 만난다. :)2 (atÛ`+bt)dt=[;3A;tÜ`+;2B;tÛ`]2). =;3*;a+2b=:ª3¼:. 고 하면. :)a t`dt=:)a (-3tÛ`+6t)dt. 4a+3b=10 . [;2!;tÛ`]a)=[-tÜ`+3tÛ`]a). t=2에서 점 P의 운동 방향이 바뀌므로. aÛ`{a-;2%;}=0에서. ㉠, ㉡에서. a>0이므로 a=;2%;. v(t)=-5tÛ`+10t. 따라서 두 점 P, Q는 출발한 후 t=;2%;일 때 다시 만난다.. :)3 |v(t)|dt=:)3 |-5tÛ`+10t|dt. v(2)=0 v(2)=4a+2b=0. ;2!;aÛ`=-aÜ`+3aÛ`, aÜ`-;2%;aÛ`=0. 2a+b=0 . . yy`㉡. a=-5, b=10 따라서 시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는. 두 점 P, Q가 원점을 출발한 후 t=;2%;가 될 때까지 움직인 거 리는 각각. A=:) `|t|dt. =:)2 (-5tÛ`+10t)dt+:@3 (5tÛ`-10t)dt =[-;3%;tÜ`+5tÛ`]2)+[;3%;tÜ`-5tÛ`]3@. ;2%;. =[;2!;tÛ`]) =:ª8°: ;2%;. =[{-:¢3:¼ +20}-0]+[(45-45)-{:¢3:¼ -20}]. B=:) `|-3tÛ`+6t|dt ;2%;. =:) `|-3t(t-2)|dt. yy`㉠. =:¢3¼: ③. ;2%;. =:)2 (-3tÛ`+6t)dt+:@ `(3tÛ`-6t)dt ;2%;. =[-tÜ`+3tÛ`]2)+[tÜ`-3tÛ`]. ;2%; 2. ={(-8+12)-0}+[{. 125 75 - }-(8-12)] 8 4. 7 39 =4+ = 8 8 따라서 A+B=. 25 39 64 + = =8 8 8 8 ③. 18-4 t=2일 때, 점 P의 위치가 :ª3¼:이므로 :)2 v(t)dt=:ª3¼:. 32. EBS 수능 감 잡기 - 수학Ⅱ. 2019_EBS_수능 감 잡기_수학2_해설(001-032).indd 32. 2019. 10. 21. 오후 3:40.

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