우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (8)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

퀴즈2 검토 퀴즈 (2) 검토: 1) 다음의 극한값을 구하라 (1)

lim

𝑥→1 𝑥2+𝑥−2 𝑥2₋₁

=

0 0

부정형 (1): 분수함수 (인수분해) 

lim

𝑥→1 𝑥2+𝑥−2 𝑥2−1

= lim

𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+2) (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

𝑥→1 𝑥+2 𝑥+1

=

3 2 (2)

lim

𝑥→∞ 3𝑥+1 𝑥2_−2𝑥+1

=

∞ ∞ 부정형 (2): 분수함수 (분모의 최고차

𝑥

2 _{로 양변을 나눔)} 

lim

𝑥→∞ 3 𝑥+ 1 𝑥2 1−2_𝑥+1 𝑥2

=

0₁

= 0

(3)

lim

𝑥→0 4+𝑥−2 𝑥

=

0 0 부정형 (1): 무리함수 (무리수를 유리화) 

lim

𝑥→0 4+𝑥−2 𝑥

= lim

𝑥→0 4+𝑥−2 4+𝑥+2 𝑥 4+𝑥+2

= lim

𝑥→0 𝑥 𝑥 4+𝑥+2

= lim

𝑥→0 1 4+𝑥+2

=

1 4 2) 다음에 주어진

𝑥

값에서, 함수

𝑓 𝑥 =

2𝑥2+2 𝑥+1 의 연속성을 확인하라.

𝑥 = 0

함수값:

𝑓(0) = 2

𝑥 = 0

(지난 시간 강의 복습) 2-3. 연속함수  연속의 조건



𝑥 = 𝑎

에서 함수의 값

𝑓 𝑎

가 정의 되어야 함.



𝑥 = 𝑎

에서 극한값

lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

가 존재하여야 함.



𝑥 = 𝑎

에서의 극한값과

𝑓(𝑎)

가 같아야 함.

∴

lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)

 연속함수 (continuous function)  함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

가

𝑥 = 𝑎

에서 연속의 조건을 만족하면,

𝑥 = 𝑎

에서 연속이라 하고,  함수

𝑓(𝑥)

가 모든 점

𝑥

에서 연속의 조건을 만족할 때, 이 함수를 연속함수 라고 한다. 지난 시간 강의 복습

3. 삼각함수의 극한 3. 삼각함수의 극한 3-1. 삼각함수  호도법 (Radian)  반지름 r인 원(그림 1) 에서 반지름과 같은 길이의 원호에 대한 중심각

∠𝐴𝑂𝐵

의 크기를 1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레:

2π𝑟

(반지름의

2π

배)

2π𝑟: 𝑟 = 360

°

: 1 [𝑟𝑎𝑑]

∴ 360° = 2π [𝑟𝑎𝑑]

 부채꼴에서 호의 길이와 면적  중심각

𝜃

인 호의 길이

𝑙

은?

1 𝑟𝑎𝑑

일 때, 호의 길이는

𝑟

이므로,

1: 𝑟 = 𝜃: 𝑙

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

60분법 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° 360° 호도법 ₀ π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 π 3π 2 2π (그림 1) 𝑂 𝐵 𝐴 𝑟

∙

𝑟 ※ ∠𝐴𝑂𝐵 = 1 [𝑟𝑎𝑑] θ

∙

3-2. 삼각함수의 극한값 

𝑥 → 0

일 때

𝑓 𝑥 =

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

, (𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)

의 극한값: 𝑥→0

lim

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

0 0  그림 (2) 에서

△

𝐴𝑂𝐵

의 중심각

𝑥

는

0 < 𝑥 <

𝜋 2 이고,

𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟

 이 때 각 도형의 면적관계는 (1/4 분면) (1)

△

𝐴𝑂𝐵 <

부채꼴

𝐴𝑂𝐵 < △𝐴𝑂𝑇

(2)

△

𝐴𝑂𝐵 =

1 2

𝑂𝐴 · 𝐵𝐻 =

1 2

𝑟 · 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =

1 2

𝑟

2

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥}

(3) 부채꼴

𝐴𝑂𝐵 =

1 2

𝑟

2

_𝑥

_※

_{𝑛𝑜𝑡𝑒:}

_{부채꼴의 면적}

_{S =}

1 2

𝑟

2

_𝜃

(4)

△

𝐴𝑂𝑇 =

1 2

𝑂𝐴 · 𝐴𝑇 =

1 2

𝑟 · 𝑟 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =

1 2

𝑟

2

_{𝑡𝑎𝑛 𝑥}

 (1~ (4) 에서, 1 2

𝑟

2

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥 <}

1 2

𝑟

2

_{𝑥 <}

1 2

𝑟

2

_{𝑡𝑎𝑛 𝑥}

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥 <}

_{𝑥 <}

_{𝑡𝑎𝑛 𝑥}

위 부등식을

𝑠𝑖𝑛 𝑥

로 나누면:

1 <

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

<

1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 

𝑥 → 0

일 때, 위 식의 극한값:

lim

𝑥→0

1 <

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

<

1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

1 < lim

_𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< lim

_𝑥→0 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

∴

1 < lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< 1

𝑥→0

lim

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

1

𝑂 𝐵 𝐴 (그림 2) 𝑥 𝑟 𝐻 𝑇 3. 삼각함수의 극한 부정형: case (1) 1/4 분면:

𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≥ 0

예제1) 다음의 극한값을 구하라. (1)

lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2𝑐𝑜𝑠 𝑥

=

𝑠𝑖𝑛 0 2 𝑐𝑜𝑠 0

=

0 2

= 0

(2)

lim

𝑥→𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

=

𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑐𝑜𝑠 2𝜋

=

−1 1

= −1

(3)

lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

=

0 0

∴

lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

= lim

_𝑥→0 1 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

1₁

= 1

(4)

lim

𝑥→𝜋₂ 5𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

=

5 𝑠𝑖𝑛 𝜋₂ 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂

=

5 0

= ∞

(5)

lim

𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

0 0 부정형 (1) ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

부정형 (1) ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

= 1

3. 삼각함수의 극한 확정형 확정형 불능형

예제2) 다음의 극한값을 구하라. (※

𝑅𝑒𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟!! 𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

)

1)

lim

𝑥→𝜋₃ 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

+ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =

1 𝑐𝑜𝑠 𝜋₃

+ 𝑠𝑖𝑛

𝜋 3

=

1 1 2

+

₂3

= 2 +

₂3 2)

lim

𝑥→𝜋₂ 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥

+

1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

=

𝜋 2 2 𝑠𝑖𝑛 𝜋₂

+

1 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂

=

𝜋 4

+

1 0

= ∞

3)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

=

0 0

∴

lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

=

4)

lim

𝑥→2𝜋 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥₄ 𝑠𝑖𝑛 𝑥

=

2 𝑠𝑖𝑛 𝜋₂ 𝑠𝑖𝑛 2𝜋

=

2 0

= ∞

5)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

=

0 0

∴ lim

𝑥→0 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

= lim

𝑥→0 𝑥∙𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

= lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

·

𝑥→0

lim

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1

확정형 확정형+불능형

lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

×

3 3

=

_𝑥→0

lim

3𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

×

1 3

=

1 3

× lim

_𝑥→0 3𝑥 𝑠𝑖𝑛 3𝑥

=

1 3 부정형 (1) ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

= 1

3. 삼각함수의 극한 불능형 부정형 (1)