우석대학교 에너지전기공학과

(1)

미적분학 (18)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

(2)

7-2-2. 부분 적분 (integration by part) (복습)

𝑓′ _{𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥}

 case 1: 𝑥2∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

cos 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 , 𝑥}2 _{= 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑔′(𝑥) = 2𝑥}

𝑥2 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2_{∙ sin 𝑥 − 2 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

_{𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 ∙ cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶} _{∴ 𝑥}2∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2_{∙ sin 𝑥 + 2𝑥 ∙ cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶}

(3)

7-2-2. 부분 적분 (integration by part) (복습) 𝑓′ _{𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥}  Case 2: 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 , ln 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 =} 1 2𝑥2, 𝑔′(𝑥) = 1 𝑥 _{𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 2𝑥2∙ 1 𝑥𝑑𝑥 = 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 2 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 = 1 2𝑥2∙ ln 𝑥 − 1 4𝑥2+ 𝐶

 Case 3: 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 ∶ 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 , sin 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑔′(𝑥) = cos 𝑥 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥}

𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 ∶ 𝑒}𝑥 _{= 𝑓}′ _{𝑥 , cos 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒}𝑥_{, 𝑔}′ _{𝑥 = − sin 𝑥}

𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥_{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ − sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

_{∴ 𝑒}𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

Finally, 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2 𝑒

(4)

7-2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예제 1) 2 𝑥2₋₁𝑑𝑥 를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해 2 𝑥2₋₁= 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)  항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2  그러므로, 2 𝑥2₋₁= 𝐴 (𝑥−1)+ 𝐵 (𝑥+1) = 1 (𝑥−1)− 1 (𝑥+1) 2 𝑥2₋₁𝑑𝑥 = 1 𝑥−1𝑑𝑥 − 1 𝑥+1𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 1 − ln 𝑥 + 1 + 𝐶 = ln 𝑥−1 𝑥+1 + 𝐶

𝐴 = 1, 𝐵 = −1

(5)

예제 2) 𝑥−8 𝑥2−𝑥−2

𝑑𝑥

를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해

𝑥−8 𝑥2−𝑥−2

=

𝑥−8 (𝑥−2)(𝑥+1)

=

𝐴 (𝑥−2)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−2) (𝑥−2)(𝑥+1)

=

𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−2𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)

 항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 1 −𝐴 + 2𝐵 = 8  그러므로, 𝑥−8 𝑥2_−𝑥−2 = 𝑥−8 (𝑥−2)(𝑥+1) = 𝐴 (𝑥−2)+ 𝐵 (𝑥+1) = −2 (𝑥−2)+ 3 (𝑥+1) 2 𝑥2₋₁𝑑𝑥 = −2 𝑥−2𝑑𝑥 + 3 𝑥+1𝑑𝑥 = −2 ln 𝑥 − 2 + 3 ln 𝑥 + 1 + 𝐶

𝐴 = −2, 𝐵 = 3