우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (23)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 복습) 7-2-2. 부분 적분 (integration by part) 계속  두 함수의 곱 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 에 관한 미분을 활용하여 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 ※_{𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥} 가 쉽게 계산될 수 있도록 𝑓 𝑥 와 𝑔 𝑥 를 setting. 예제) 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 를 구하라  𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & 𝑥 = 𝑔(𝑥) 로 놓으면 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 1 ∴ 𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ 1 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 ※ 만약 반대로, 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 로 놓으면 𝑓 𝑥 = 𝑥2 2 & 𝑔 ′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥 𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥₂2 ∙ 𝑒𝑥 − 𝑥₂2 ∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑥₂2 ∙ 𝑒𝑥 − 𝑥₂2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 _𝑔′ _𝑥 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥

 부분 적분 (integration by part) (정리) 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 1) case 1: 대수함수와 지수함수의 곱  setting: 지수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) (예시) 𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 1) 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & 𝑥2 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 ∴ _𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 2) 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & 2𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 2 ∴ _{2𝑥 ∙ 𝑒}𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 𝐶 𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2) 𝑥2∙ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 ∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2∙ 𝑒𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐶 7. 적분

2) case 2: 대수함수와 삼각함수의 곱

 setting: 삼각함수 = 𝑓′ 𝑥 & 대수함수 = 𝑔(𝑥) (예시) 𝑥2 + 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

1) cos 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 & 𝑥}2 _{+ 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔}′ _{𝑥 = 2𝑥 + 1}

∴ _𝑥2 + 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ∙ sin 𝑥 − 2𝑥 + 1 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥

2) sin 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 & 2𝑥 + 1 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = −cos 𝑥 & 𝑔}′ _{𝑥 = 2}

∴ _{2𝑥 + 1 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − 2𝑥 + 1 ∙ cos 𝑥 − −2cos 𝑥 𝑑𝑥} = − 2𝑥 + 1 ∙ cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 + 𝐶 𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2)

3) case 3: 대수함수와 로그함수의 곱  setting: 대수함수 = 𝑓′ 𝑥 & 로그함수 = 𝑔(𝑥) (예시) (2𝑥 + 1) ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥  2𝑥 + 1 = 𝑓′ 𝑥 & ln 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 1_𝑥 ∴ _{2𝑥 + 1 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥}2 _{+ 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥}2 + 𝑥 ∙_𝑥1𝑑𝑥 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 2𝑥 + 1 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥₂2− 𝑥 + 𝐶  𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥₂2+ 𝑥 + 𝐶 7. 적분

4) case 4: 지수함수와 삼각함수간의 곱

 setting: 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑡‼ (예시 1) 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥

1) 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & sin 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′(𝑥) = cos 𝑥 ∴ _𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

2) 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & cos 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = − sin 𝑥

∴ _𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 _{∙ cos 𝑥 − 𝑒}𝑥 _{∙ − sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶}

𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2)

 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ _{2 𝑒}𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 + 𝐶

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 =} 1

 setting: 𝐼𝑓 𝑡ℎ𝑒 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 & 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠ℎ𝑜𝑢𝑙𝑑 𝑛𝑜𝑡 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐t, (예시 2) 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥

1) 𝑒𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & sin 𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 & 𝑔′(𝑥) = cos 𝑥 ∴ _𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

2) 𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥

 cos 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 & 𝑒}𝑥 _{= 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔}′ _{𝑥 = 𝑒}𝑥

∴ _𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝐹𝑟𝑜𝑚 1) & 2)

 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 ∴ _𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

𝑊ℎ𝑎𝑡 ℎ𝑎𝑝𝑝𝑒𝑛 ? ? ?

Trivial solution.

(예시 3) 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥

 sin 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 & 𝑒}𝑥 _{= 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = − cos 𝑥 & 𝑔′(𝑥) = 𝑒}𝑥

∴ 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 − −𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ cos 𝑥 𝑑𝑥}

𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒, 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 2 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 + 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝐶

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑒𝑥 _{∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 2 −𝑒 𝑥 _{∙ cos 𝑥 + 𝑒}𝑥 _{∙ sin 𝑥 + 𝐶} ※ 𝑁𝑜𝑡𝑒 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑜𝑟 1𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑓′(𝑥) 2𝑛𝑑 𝑠𝑒𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔: 𝑒𝑥 = 𝑓′(𝑥)

 cos 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 & 𝑒𝑥 = 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 & 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ∴ _𝑒𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 − 𝑒𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶